幾何操作型問(wèn)題在中考中的命題特點(diǎn)及主要解法

幾何操作型問(wèn)題在中考中的命題特點(diǎn)及主要解法

有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能單純地依賴(lài)模仿與記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式；強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過(guò)程。在這種背景下，幾何操作型試題就隨之產(chǎn)生了。近年來(lái)，“實(shí)踐操作”作為注重學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索的新型建模試題在各地市中考試卷中大量涌現(xiàn)，并成為近年中考的熱點(diǎn)題型之一。一、幾何操作型問(wèn)題試題的特點(diǎn)所謂幾何操作型問(wèn)題就是指利用指定的工具和材料，動(dòng)手操作，自主探究，適當(dāng)猜想，而后驗(yàn)證猜想，最終解決問(wèn)題的一種題型。比如各地命題中常見(jiàn)的三角板的操作，它能通過(guò)問(wèn)題的設(shè)置，探索圖形中存在的變化規(guī)律，讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，有效地考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)，也使學(xué)生在探索和解決問(wèn)題的過(guò)程中感受數(shù)學(xué)的美妙，領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力。它培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于動(dòng)手、勤于實(shí)踐的意識(shí)和習(xí)慣，切實(shí)貫徹提高學(xué)生的動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的指導(dǎo)思想。從以上分析，可以得出這樣的結(jié)論，實(shí)踐操作型試題的主要特點(diǎn)體現(xiàn)在操作上，讓學(xué)生在動(dòng)手做的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論與規(guī)律的得出過(guò)程，親自體驗(yàn)問(wèn)題情境，領(lǐng)略數(shù)學(xué)奧妙。解答操作型試題，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題。二、重點(diǎn)題型解析（一）幾何作圖型問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題是應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)生活中可實(shí)施性、操作性問(wèn)題進(jìn)行討論、歸納和動(dòng)手設(shè)計(jì)的題型，它涉及日常生活中的方方面面，出現(xiàn)的類(lèi)型有：尋找最佳點(diǎn)問(wèn)題、測(cè)量問(wèn)題、面積分配問(wèn)題、幾何設(shè)計(jì)問(wèn)題。這類(lèi)試題是讓學(xué)生通過(guò)具體的操作或借助計(jì)算機(jī)技術(shù)來(lái)獲得感性認(rèn)識(shí)，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，以達(dá)到動(dòng)手動(dòng)腦的目的。解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般需要經(jīng)歷觀察、操作、思考、想象、推理、交流、反思等實(shí)踐活動(dòng)過(guò)程，利用已有的感知去發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問(wèn)題。關(guān)鍵是要學(xué)生學(xué)會(huì)自覺(jué)地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)去觀察、分析、抽象、概括所給的實(shí)際問(wèn)題，揭示其數(shù)學(xué)本質(zhì)，并轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題，以適合現(xiàn)有的知識(shí)水平和實(shí)踐能力。例1：（2009年遼寧省本溪市）如下圖所示，正方形網(wǎng)格中，△ABC為格點(diǎn)三角形（即三角形的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上）。(3)如果網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，求點(diǎn)B經(jīng)過(guò)(1)、(2)變換的路徑總長(zhǎng)。分析：在正方形網(wǎng)格中找到適當(dāng)?shù)母顸c(diǎn)，利用網(wǎng)格中有些線段的端點(diǎn)在格點(diǎn)上，可以計(jì)算線段的長(zhǎng)度，從而利用平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)找到A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，將其順次連接即到問(wèn)題要作的圖形。對(duì)于第(3)小問(wèn)求點(diǎn)月經(jīng)過(guò)(1)、(2)變換的路徑總長(zhǎng)，要注意點(diǎn)B經(jīng)過(guò)(1)的路程是一條線段長(zhǎng)，B經(jīng)過(guò)(2)的路程是一條以為半徑，旋轉(zhuǎn)角為90°所成的圓弧。解：(1)、(2)如下圖。說(shuō)明：本題屬格點(diǎn)作圖問(wèn)題。平移、旋轉(zhuǎn)的簡(jiǎn)單作圖多以網(wǎng)格和坐標(biāo)系為背景，借點(diǎn)的坐標(biāo)的變化引起圖形的變化。因此，畫(huà)平移、旋轉(zhuǎn)后的圖形時(shí)，關(guān)鍵是確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)，然后根據(jù)相應(yīng)頂點(diǎn)的平移方向、平移距離、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度都不變的性質(zhì)作出關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，這種“以局部代整體”的作圖方法是平移和旋轉(zhuǎn)作圖中最常用的方法。（二）操作探究型操作型問(wèn)題是指通過(guò)動(dòng)手測(cè)量、作圖、取值、計(jì)算等實(shí)驗(yàn)，猜想獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的探索研究性活動(dòng)，這類(lèi)活動(dòng)完全模擬以動(dòng)手為基礎(chǔ)的手腦結(jié)合的科學(xué)研究形式，需要?jiǎng)邮植僮?、合情猜想和?yàn)證，不但有助于實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，更有助于養(yǎng)成實(shí)驗(yàn)研究的習(xí)慣，符合課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)的發(fā)現(xiàn)式學(xué)習(xí)、探究式學(xué)習(xí)和研究式學(xué)習(xí)的要求，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行“微科研”活動(dòng)，提倡要積極引導(dǎo)學(xué)生從事實(shí)驗(yàn)活動(dòng)和實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生樂(lè)于動(dòng)手、勤于實(shí)踐的意識(shí)和習(xí)慣，切實(shí)提高學(xué)生的動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的指導(dǎo)思想。因此，實(shí)驗(yàn)操作問(wèn)題將會(huì)繼續(xù)成為今后中考的熱點(diǎn)題型。例2：（2009年湖南省衡陽(yáng)市）如圖，直線y=-x+4與兩坐標(biāo)軸分別相交于A、B點(diǎn)，點(diǎn)M是線段AB上任意一點(diǎn)（A、B兩點(diǎn)除外），過(guò)M分別作MC⊥OA于點(diǎn)C，MD⊥OB于D。(1)當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，你認(rèn)為四邊形OCMD的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；(2)當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形OCMD的面積有最大值？最大值是多少？(3)當(dāng)四邊形OCMD為正方形時(shí)，將四邊形OCMD沿著x軸的正方向移動(dòng)。設(shè)平移的距離為a(0＜a＜4)，正方形OCMD與△AOB重疊部分的面積為S。試求S與a的函數(shù)關(guān)系式并畫(huà)出該函數(shù)的圖象。分析：此題作為一道動(dòng)手題目，要能看懂題意并能按要求規(guī)范操作，明確點(diǎn)M和正方形OCMD的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，才能正確解決問(wèn)題。對(duì)于(1)問(wèn)，可設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4，即可求得四邊形OCMD；對(duì)于(2)問(wèn)，可用M的橫坐標(biāo)x表示出四邊形OCMD的面積為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出四邊形OCMD面積的最大值；對(duì)于(3)問(wèn)，當(dāng)0＜a＜2時(shí)，正方形OCMD與△AOB重疊部分的形狀為五邊形，其面積等于正方形OCMD的面積減去一個(gè)直角邊長(zhǎng)為平移距離的等腰直角三角形的面積，2≤a＜4時(shí)，正方形OCMD與△AOB重疊部分的形狀是一個(gè)直角邊長(zhǎng)為4-a的等腰直角三角形。求出S與a的函數(shù)關(guān)系式后可畫(huà)出該函數(shù)的圖象。解：(1)設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為x，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為-x+4(0＜x＜4，x＞0，-x+4＞0)；則：MC=｜-x+4｜=-x+4，MD=｜x｜=x；所以當(dāng)點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OCMD的周長(zhǎng)不發(fā)生變化，總是等于8。(2)根據(jù)題意得：所以四邊形OCMD的面積是關(guān)于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)x(0＜x＜4)的二次函數(shù)，并且當(dāng)x=2，即當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到線段AB的中點(diǎn)時(shí)，四邊形OCMD的面積最大且最大面積為4；說(shuō)明：第(1)問(wèn)的操作對(duì)第(2)問(wèn)有提示作用，啟示第(2)問(wèn)的解題思路，第(3)問(wèn)隨著平移距離的不同，正方形OCMD與△AOB重疊部分的形狀也不同，學(xué)生可以先畫(huà)圖分析再得出結(jié)論，形成的圖形則考查了學(xué)生的發(fā)散思維以及觀察推斷能力。通過(guò)本題，說(shuō)明操作探究型試題一般閱讀量大，對(duì)學(xué)生研究問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力提出了挑戰(zhàn)，作為一道操作題，學(xué)生在可能的情況下一定要?jiǎng)邮植僮?，感受?wèn)題的形成和延伸過(guò)程，更主要的是要對(duì)操作認(rèn)真觀察和分析，找出問(wèn)題的實(shí)質(zhì)所在，同時(shí)要借助給出的操作示例運(yùn)用類(lèi)比的思想，尋找問(wèn)題解決的策略。（三）幾何應(yīng)用型問(wèn)題幾何應(yīng)用問(wèn)題是近幾年來(lái)中考的一大考點(diǎn)，它是把幾何知識(shí)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的一類(lèi)題型，其考查點(diǎn)常以全等的應(yīng)用、相似的應(yīng)用、解直角三角等有關(guān)幾何知識(shí)為主。這類(lèi)題型材料新穎，有很強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。此類(lèi)問(wèn)題的表現(xiàn)形式是：由幾何圖形的性質(zhì)通過(guò)計(jì)算、推理來(lái)說(shuō)明某種幾何設(shè)計(jì)是否最優(yōu)，或是設(shè)計(jì)出符合要求的幾何方案。解此類(lèi)問(wèn)題，要求學(xué)生除能有效地結(jié)合實(shí)際問(wèn)題的背景，抽象出幾何模型，利用幾何知識(shí)加以解決外，還要注意把設(shè)計(jì)代回到實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)行檢驗(yàn)、解釋、反思。因此，學(xué)生解題時(shí)應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合、分類(lèi)討論等數(shù)學(xué)思想的綜合運(yùn)用。1.三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用型例3：（2009年黑龍江省牡丹江市）有一塊直角三角形的綠地，量得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m，8m，現(xiàn)在要將綠地?cái)U(kuò)充成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，求擴(kuò)充后等腰三角形綠地的周長(zhǎng)。分析：本題以給出情境，讓考生自主設(shè)計(jì)等腰三角形來(lái)命制題目，有一定的開(kāi)放性，又有一定的實(shí)用性，可以較好地考查學(xué)生是否具有靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題的能力。解決的關(guān)鍵是問(wèn)題要求擴(kuò)充部分是以8m為直角邊的直角三角形，假設(shè)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，則應(yīng)在Rt△ABC外以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，以AC為一條直角邊作一個(gè)Rt△ACD，由于要求擴(kuò)充后是一個(gè)等腰三角形，故又要分△ABD的三條邊兩兩相等的3種情況進(jìn)行討論求出。解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，由勾股定理得：AB=10，擴(kuò)充部分為Rt△ACD，擴(kuò)充成等腰△ABD，應(yīng)分以下3種情況。①如下圖左側(cè)三角形，當(dāng)AB=AD=10時(shí)，可求出CD=CB=6?？傻谩鰽BD的周長(zhǎng)為32。說(shuō)明：這是一道與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，利用勾股定理來(lái)解決的幾何應(yīng)用問(wèn)題中的測(cè)量問(wèn)題，試題具有開(kāi)放性，要求學(xué)生既動(dòng)腦思考又動(dòng)手畫(huà)圖，它著重考查學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力。解決這類(lèi)問(wèn)題主要是靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)（如全等、相似、勾股定理）找出線段間的相等關(guān)系，正確列方程求解，在計(jì)算過(guò)程中要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性和技巧性。解這類(lèi)問(wèn)題的要領(lǐng)是：針對(duì)給出的實(shí)際問(wèn)題，結(jié)合數(shù)學(xué)中的分類(lèi)討論思想，畫(huà)出符合要求的圖形，然后按問(wèn)題要求進(jìn)行論證或計(jì)算。2.有關(guān)方案設(shè)計(jì)問(wèn)題應(yīng)用型例4：（2009年甘肅省蘭州市）某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米?，F(xiàn)以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，OM所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。(1)直接寫(xiě)出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；(2)求這條拋物線的解析式；(3)若要搭建一個(gè)矩形“支撐架”AD-DC-CB，使C、0點(diǎn)在拋物線上，A、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)“支撐架”總長(zhǎng)的最大值是多少？分析：(1)由底部寬度OM為12米可知M(12，0)。拋物線過(guò)原點(diǎn)，可知OM的中點(diǎn)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，故該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=6（即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6），由拋物線最大高度為6米可知，拋物線開(kāi)口方向向下（即二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)），頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為6，故拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6，6)；(2)由于拋物線頂點(diǎn)P(6，6)坐標(biāo)已知，故求拋物線解析式可用頂點(diǎn)式；(3)由于“支撐架”為矩形，知CD與x軸平行，故點(diǎn)C、D縱坐標(biāo)相同，且C、D關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可設(shè)A、B、C、D這4個(gè)點(diǎn)中的任一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，就能表示出其他3個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出AD、CD、BC的長(zhǎng)度。解：(1)M(12，0)，P(6，6)。所以“支撐架”總長(zhǎng)AD+DC+CB是m的二次函數(shù)，且此二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向下。所以當(dāng)m=3米時(shí)，AD+DC+CB有最大值為15米。說(shuō)明：(1)圖形的設(shè)計(jì)問(wèn)題，目的是通過(guò)對(duì)圖形的操作，考查學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力、畫(huà)圖能力以及計(jì)算能力，它能培養(yǎng)學(xué)生思維的縝密性。解此類(lèi)問(wèn)題經(jīng)常要通過(guò)計(jì)算線段長(zhǎng)和面積來(lái)確定設(shè)計(jì)方案及其是否最優(yōu)，因此有關(guān)面（體）積公式要非常熟練，同時(shí)要熟悉解直角三角形、解四邊形（尤其是平行四邊形、矩形、菱形、正方形和梯形）的有關(guān)知識(shí)和技巧，并會(huì)將有關(guān)圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形或特殊四邊形再計(jì)算有關(guān)線段或面積，有時(shí)還要利用軸對(duì)稱(chēng)及其性質(zhì)解題。(2)本題將方案設(shè)計(jì)問(wèn)題與二次函數(shù)相結(jié)合，求二次函數(shù)的解析式是本題的關(guān)鍵，求二次函數(shù)的解析式主要有一般式（即已知拋物線經(jīng)過(guò)三點(diǎn)求解析式）和頂點(diǎn)式（即問(wèn)題中有與頂點(diǎn)相關(guān)的已知條件），如本題即可用頂點(diǎn)式，也可用一般式來(lái)求拋物線的解析式。3.綜合類(lèi)幾何應(yīng)用型例5：（2009年吉林?。┠硵?shù)學(xué)研究所門(mén)前有一個(gè)邊長(zhǎng)為4米的正方形花壇，花壇內(nèi)部要用紅、黃、紫3種顏色的花草種植成如圖所示的圖案，圖案中AE=MN。準(zhǔn)備在形如Rt△AEH的4個(gè)全等三角形內(nèi)種植紅色花草，在形如Rt△MEH的4個(gè)全等三角形內(nèi)種植黃色花草，在正方形MNPQ內(nèi)種植紫色花草，每種花草的價(jià)格如下表：設(shè)AE的長(zhǎng)為x米，正方形EFGH的面積為S平方米，買(mǎi)花草所需的費(fèi)用為W元，解答下列問(wèn)題：(1)S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=______；(2)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求所需的最低費(fèi)用是多少元；(3)當(dāng)買(mǎi)花草所需的費(fèi)用最低時(shí)，求EM的長(zhǎng)。分析：第(2)問(wèn)花草所需的費(fèi)用為W元，等于紅色區(qū)域（4塊直角三角形）費(fèi)用、黃色區(qū)域（4塊直角三角形）費(fèi)用與紫色區(qū)域（1塊小正方形）費(fèi)用的和；求所需的最低費(fèi)用是多少元即是找二次函數(shù)的頂點(diǎn)。(3)由(2)知，此時(shí)AE=1，AH=3，可用勾股定理求出，在Rt△EMH中，再用勾股定理求出EM的長(zhǎng)。說(shuō)明：解幾何應(yīng)用問(wèn)題要求學(xué)生必須具備扎實(shí)的幾何基礎(chǔ)知識(shí)，較強(qiáng)的閱讀理解能力，以及對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握能力。本題是2009年中考中一道