研究生固體物理第三章晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(下)

研究生固體物理第三章晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)(下)其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動的總能量為：將對j的求和改為積分——晶體的零點能——與溫度有關(guān)的能量g()：晶格振動的模式密度，m：截止頻率晶格熱容：g()d：頻率在－＋d之間的振動模式數(shù)二、晶格熱容模型Dulong－Petit定律

經(jīng)典統(tǒng)計理論的解釋：能量均分定理Dulong－Petit定律：在常溫下大多數(shù)固體的熱容量差不多

都等于6cal/mol·K一摩爾晶體的振動能為：

經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實驗結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實驗值明顯偏小，且當(dāng)T0時，

CV0，經(jīng)典的能量均分定理無法解釋。2.Einstein模型在一定溫度下，由N個原子組成的晶體的總振動能為：

假設(shè)：晶體中各原子的振動相互獨(dú)立，且所有原子都

以同一頻率0振動。即：定義Einstein溫度：

高溫下：T>>E

即

在低溫下：T<<E

即當(dāng)T0時，CV0，與實驗結(jié)果定性符合。根據(jù)Einstein模型，T0，但實驗結(jié)果表明，T0，CV∝T3;Einstein模型

金剛石熱容量的實驗數(shù)據(jù)3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看

成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。這表明，在q空間中，等頻率面為球面。為簡單，設(shè)橫波和縱波的傳播速度相同，均為c。在－＋d之間晶格振動的模式數(shù)為由m定義Debye溫度：對于大多數(shù)固體材料：D?102K元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金剛石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450作變換：

在高溫下：T>>D，即

在低溫下：T<<D，即利用Taylor展開式：利用積分公式：

這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV∝T3的實驗結(jié)果。

由此可見，用Debye模型來解釋晶格熱容的實驗結(jié)果是相當(dāng)成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。幾種材料晶格熱容量理論值與實驗值的比較TqyqxmqmqT

在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會被熱激發(fā)，而被“冷凍”下來。所以的聲子對熱容幾乎沒有貢獻(xiàn)；只有那些的長波聲子才會被熱激發(fā)，對熱容量有貢獻(xiàn)。在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約要低到T~D/50，即約10K以下才能觀察到CV隨T3變化。Debye模型在解釋晶格熱容的實驗結(jié)果方面已經(jīng)證明是相當(dāng)成功的，特別是在低溫下，Debye理論是嚴(yán)格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一個近似的理論，仍有它的局限性，并不是一個嚴(yán)格的理論。In的Debye溫度D隨溫度的變化三、模式密度g()dSdqqxqy0在q空間中，處在－＋d兩等頻面之間的振動模式數(shù)（只考慮其中第j支格波）為由于例：求一維單原子鏈晶格振動的模式密度一維單原子鏈晶格振動的色散關(guān)系：§3.7非簡諧效應(yīng)一、晶格的自由能與狀態(tài)方程

有dF=dU-d(TS)=－pdV－SdT狀態(tài)方程：f(p,V,T)=0自由能的定義：F=U－TS熱力學(xué)第一定律：dU=TdS－pdV由統(tǒng)計物理可知，F(xiàn)2=－kBTlnZ晶格自由能

F=F1+F2

F1=U(V)只與晶體的體積有關(guān)，而與溫度（或晶格

振動）無關(guān)，U(V)實際上是T=0時晶體的內(nèi)能。

F2與晶格振動有關(guān)，即與溫度有關(guān)。Z：晶格振動的配分函數(shù)對于頻率為j的格波，其配分函數(shù)為晶格自由能為：系統(tǒng)的總配分函數(shù)：其中是表征頻率隨體積變化的量，設(shè)與j無關(guān)。晶格狀態(tài)方程：——Grüneisenconst.與晶格振動的非簡諧性有關(guān)二、熱膨脹

熱膨脹指的是在不加壓的情況下，晶體體積隨溫度升高而增大的現(xiàn)象。令p=0，有：平衡時：對于大多數(shù)固體，溫度變化時，其體積變化不大，因此可將在靜止晶格的平衡體積V0展開只保留V的一次項，有：為靜止晶格的壓縮模量

當(dāng)溫度變化時，上式右邊主要是振動能發(fā)生變化，對溫度求微商可得體積膨脹系數(shù)：——Grüneisen定律

對許多固體材料的測量結(jié)果證實了Grüneisen定律，的值一般在1~2之間。

由于與晶格振動的非簡諧性有關(guān)，若晶格振動是嚴(yán)格的簡諧振動，就不會有熱膨脹。以雙原子分子為例來定性討論熱膨脹問題。向左運(yùn)動：較大向右運(yùn)動：

較小受力：三、晶格的熱傳導(dǎo)1.晶格熱傳導(dǎo)熱傳導(dǎo)規(guī)律：（K為熱導(dǎo)率）用聲子的輸運(yùn)過程半定量地說明晶格的熱傳導(dǎo)。在一定溫度下，頻率為j的聲子的平均聲子數(shù)為考慮一各向同性、均勻的絕緣棒，沿x方向放置。T1T2S1S2S（設(shè)T1>T2

）由i聲子所貢獻(xiàn)的熱流為總熱流密度：比較得影響聲子平均自由程的主要因素有：

聲子與聲子間的相互散射；

固體中的缺陷對聲子的散射；

聲子與固體外部邊界的碰撞等。2.聲子間相互作用對聲子平均自由程的影響

由于晶格振動非簡諧性，不同格波間可以交換能量，才能達(dá)到統(tǒng)計平衡的。用“聲子”語言表述，不同格波間的相互作用，表示為聲子間的“碰撞”。在熱傳導(dǎo)問題中，聲子的碰撞起著限制聲子平均自由程的作用。

聲子間的相互碰撞必須滿足能量守恒和準(zhǔn)動量守恒。以兩個聲子碰撞產(chǎn)生另一個聲子的三聲子過程為例。a.聲子間的相互作用

Gn＝0，N過程只改變動量的分布，而不改變熱流的方向，不影響聲子的平均自由程，這種過程不產(chǎn)生熱阻?！?guī)過程，或N過