2022-2023學(xué)年陜西省西安市“名校”教育聯(lián)合體高一年級下冊學(xué)期第一次考練數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年陜西省西安市“名?！苯逃?lián)合體高一下學(xué)期第一次考練數(shù)學(xué)試題一、單選題1．下列說法正確的是（

）①有向線段三要素是始點、方向、長度；

②向量兩要素是大小和方向；③同向且等長的有向線段表示同一向量；

④在平行四邊形中，．A．① B．①② C．①②③ D．①②③④【答案】D【分析】根據(jù)有向線段的定義、向量的定義，同一向量的定義逐一判斷即可.【詳解】由有向線段、向量、同一向量的定義可以判斷①②③正確，由平行四邊形的性質(zhì)可知，顯然④正確，故選：D2．在平行四邊形ABCD中，A(1，2)，B(3，5)，＝(－1，2)，則＋＝（

）A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)【答案】A【分析】利用平行四邊形法則，結(jié)合向量坐標的加減運算，計算結(jié)果.【詳解】在平行四邊形ABCD中，因為A(1，2)，B(3，5)，所以.又，所以，，所以.故選:A.3．已知，是平面內(nèi)的一組基底，，，，若A，B，C三點共線，則實數(shù)k的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】A，B，C三點共線可轉(zhuǎn)化為，結(jié)合向量的運算與向量相等即可求解【詳解】因為，，，所以，，又因為A，B，C三點共線，所以，即，所以，解得，故選：A4．已知向量，夾角的余弦值為，且，，則（

）A．－36 B．－12 C．6 D．36【答案】A【分析】展開后直接利用向量數(shù)量積公式計算可得答案.【詳解】．故選：A．5．在中，為的重心，為上一點，且滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】首先根據(jù)為的重心得到，結(jié)合以及向量的線性運算，求得的表達式.【詳解】因為為的重心，所以.又，所以，所以，故選：B.【點睛】本小題主要考查平面向量的線性運算，考查三角形重心的向量表示，屬于基礎(chǔ)題.6．已知點P是所在平面內(nèi)一點，若，則與的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先依據(jù)共線向量幾何意義判斷出點P的位置，再去求與的面積之比【詳解】由可得，即點P在線段BC上，且則與的面積之比等于故選：B7．三角形兩邊之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，面積為14，此三角形是（

）．A．鈍角三角形； B．銳角三角形； C．直角三角形； D．不能確定．【答案】B【分析】由題意，利用余弦定理求得三邊，再求得三角的余弦值判斷.【詳解】解：設(shè)三角形兩邊a，b之差為2，且這兩邊的夾角的余弦值為，則，，，由，得，解得，由余弦定理得，則，所以，所以三角形是銳角三角形，故選：B8．如圖，在中，，，與交于，，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，利用三點共線和三點共線分別表示，根據(jù)平面向量基本定理求解即可【詳解】∵，，∴，同理，向量還可以表示為，所以解得，所以，所以，，所以為，故選：A．二、多選題9．設(shè)向量，滿足，且，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．向量，夾角為【答案】AC【分析】先由題給條件求得，從而得到選項A判斷正確，選項D判斷錯誤；求得的值判斷選項B；求得的值判斷選項C.【詳解】由，可得，又，則，即，則.則選項A判斷正確；選項D判斷錯誤；，則選項B判斷錯誤；，則選項C判斷正確.故選：AC10．在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（

）A．若，則 B．若，則該三角形有兩解C．周長有最大值12 D．面積有最小值【答案】ABC【分析】對于ABC，根據(jù)正，余弦定理，基本不等式，即可解決；對于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.【詳解】對于A，，，由正弦定理得所以，故A正確；對于B，由正弦定理得得，所以，因為有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確；對于C，由，得，所以，當且僅當時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C對；對于D，由得,故由于，無最小值，所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.故選：ABC11．如圖，在平行四邊形ABCD中，已知F，E分別是靠近C，D的四等分點，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】結(jié)合圖形，利用平面向量的線性運算與數(shù)量積運算，對選項逐一判斷即可.【詳解】對選項A：，正確；對選項B：，錯誤；對選項C：，錯誤；對選項D：，正確.故選：AD12．已知向量，，且，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．的值為【答案】BD【分析】根據(jù)向量的模長的計算公式可判斷A，根據(jù)單位圓以及向量的加法平行四邊形法則即可判斷BC，由模長公式以及垂直關(guān)系即可判斷D.【詳解】，，即有，故選項A錯誤；不妨設(shè)，如圖，設(shè)點、、的坐標為，，，即可得點，在單位圓上.根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，四邊形為正方形，據(jù)此不妨設(shè)，，從而可得：，，即可得選項B成立，選項C錯誤.由可得：，可得：，，則可得：，故選項D成立.故選：BD三、填空題13．若向量與相等，其中，則=_________.【答案】-1【詳解】試題分析：由可得，又，所以=0且=2，解得.考點:向量的端點坐標與向量坐標間的關(guān)系，相等向量坐標間關(guān)系.14．已知向量滿足且，則在方向上的投影向量為__________.【答案】【分析】先根據(jù)數(shù)量積的運算律求，進而求在方向上的投影向量.【詳解】∵，且，則，解得，故在方向上的投影向量為.故答案為：.15．在中，點是的三等分點，，過點的直線分別交或其延長線于不同的兩點，且，若的最小值為，則正數(shù)的值為________.【答案】【分析】利用平面向量的線性運算法則求得，可得，則，展開后利用基本不等式可得的最小值為，結(jié)合的最小值為列方程求解即可.【詳解】因為點是的三等分點，則，又由點三點共線，則，，當且僅當時，等號成立，即的最小值為,則有,解可得或(舍），故，故答案為2.【點睛】本題主要考查平面向量的運算法則，以及利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最?。?；三相等是，最后一定要驗證等號能否成立（主要注意兩點，一是相等時參數(shù)是否在定義域內(nèi)，二是多次用或時等號能否同時成立）.16．如圖所示，要在兩山頂間建一索道，需測量兩山頂間的距離.現(xiàn)選擇與山腳在同一平面的點為觀測點，從點測得點的仰角點的仰角以及，若米，米，則等于__________米.【答案】【分析】在中根據(jù)求出，在中根據(jù)求出，在中由余弦定理得：求解.【詳解】在中，，所以，在中，，，所以，在中，，，，由余弦定理得：所以(米).故答案為：.四、解答題17．計算：(1)；(2).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用平面向量線性運算的運算律進行計算.（2）利用平面向量線性運算的運算律進行計算.【詳解】（1）原式=.（2）原式=.18．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角A的大?。?2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，根據(jù)正弦定理化簡得，利用余弦定理求得，即可求解；（2）由的面積為，求得，結(jié)合余弦定理，求得，即可求解.【詳解】（1）由題意及正弦定理知，，，，.（2），又，由①，②可得，所以的周長為.19．已知，，.(1)求與的夾角；(2)求與的夾角的余弦值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）先由已知求出，再代入兩個向量夾角的余弦公式求得夾角；（2）先求出與，同樣代入兩個向量夾角的余弦公式求得夾角；【詳解】（1）由已知，得，因為，所以.又，所以cos，因為，所以.（2）因為，所以，因為，所以.所以.20．海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑、兩點間的距離，先在珊瑚群島上取兩點、，測得米，，，.（1）求，兩點的距離；（2）求、兩點的距離.【答案】（1）米；（2）米.【分析】（1）根據(jù)已知條件可求出、，在中由正弦定理即可求；（2）根據(jù)已知條件求出、，在中由余弦定理即可求解.【詳解】（1）由題意可知，，.所以，，在中，由正弦定理，得.所以.所以，兩點的距離為米.（2）在中，，，所以，，所以米.在中，由余弦定理得：，所以，所以、兩點的距離為米.21．如圖，已知，設(shè)向量是與向量垂直的單位向量.（1）求單位向量的坐標；（2）求向量在向量上的投影向量的模；（3）求的面積.【答案】（1）或；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)出向量坐標，根據(jù)模長為1，以及與向量垂直，列方程組求解即可；（2）計算出向量的坐標，再根據(jù)（1）中所求，利用投影計算公式即可求得；（3）由（2）可知三角形的高，再利用向量的坐標求得底邊長，即可求面積.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)題意可得又因為與垂直，即可得故可得：解得，或所以或.（2）設(shè)向量與單位向量的夾角為，在上的投影向量為，則；又因為，故當時，；當時，.所以向量在向量上的投影向量的模為.（3）由（1）可知：，由（2）可知，故.【點睛】本題綜合考查向量的坐標運算，涉及模長的求解，投影的求解，屬綜合性基礎(chǔ)題.22．記是內(nèi)角，，的對邊分別為，，.已知，點在邊上，.（1）證明：；（2）若，求.【答案】（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）根據(jù)正弦定理的邊角關(guān)系有，結(jié)合已知即可證結(jié)論.（2）方法一：兩次應(yīng)用余弦定理，求得邊與的關(guān)系，然后利用余弦定理即可求得的值.【詳解】（1）設(shè)的外接圓半徑為R，由正弦定理，得，因為，所以，即．又因為，所以．（2）[方法一]【最優(yōu)解】：兩次應(yīng)用余弦定理因為，如圖，在中，，①在中，．②由①②得，整理得．又因為，所以，解得或，當時，（舍去）．當時，．所以．[方法二]：等面積法和三角形相似如圖，已知，則，即，而，即，故有，從而．由，即，即，即，故，即，又，所以，則．[方法三]：正弦定理、余弦定理相結(jié)合由（1）知，再由得．在中，由正弦定理得．又，所以，化簡得．在中，由正弦定理知，又由，所以．在中，由余弦定理，得．故．[方法四]：構(gòu)造輔助線利用相似的性質(zhì)如圖，作，交于點E，則．由，得．在中，．在中．因為，所以，整理得．又因為，所以，即或．下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因為，所以．以向量為基底，有．所以，即，又因為，所以．③由余弦定理得，所以④聯(lián)立③④，得．所以或．下同解法1．[方法六]：建系求解以D為坐標原點，所在直線為x軸，過點D垂直于的直線為y軸，長為單位長度建立直角坐標系，如圖所示，則．由（1）知，，所以點B在以D為圓心，3為半徑的圓上運動．設(shè)，則．⑤由知，，即．⑥聯(lián)立⑤⑥解得或（舍去），，代入⑥式得，由余弦定理得．【整體點評】(2)方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；方法二：等面