2023屆遼寧省遼陽市高三年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

絕密★啟用前遼陽市2023屆高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)考試一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．在等差數(shù)列中，，，則（）．A．8 B．9 C．10 D．112．設(shè)集合，，則（）．A． B． C． D．3．在四面體ABCD中，為正三角形，AB與平面BCD不垂直，則（）．A．AB與CD可能垂直 B．A在平面BCD內(nèi)的射影可能是BC．AB與CD不可能垂直 D．平面ABC與平面BCD不可能垂直4．若是定義在R上的奇函數(shù)，則下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（）．A． B．C． D．5．已知兩個(gè)單位向量，滿足與垂直，則（）．A． B． B． D．6．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線為l，P為l上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則的最小值為（）．A． B． C． D．7．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則“”是“為銳角三角形”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知A，B，C為橢圓D上的三點(diǎn)，AB為長(zhǎng)軸，，，，則D的離心率是（）．A． B． C． D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是它到直線的距離的8倍，則該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可以為（）．A． B． C． D．10．在矩形ABCD中，以AB為母線長(zhǎng)，2為半徑作圓錐M，以AD為母線長(zhǎng)，8為半徑作圓錐N，若圓錐M與圓錐N的側(cè)面積之和等于矩形ABCD的面積，則（）．A．矩形ABCD的周長(zhǎng)的最小值為B．矩形ABCD的面積的最小值為C．當(dāng)矩形ABCD的面積取得最小值時(shí)，D．當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最小值時(shí)，11．黃金三角形被稱為最美等腰三角形，因此它經(jīng)常被應(yīng)用于許多經(jīng)典建筑中，例如圖中所示的建筑對(duì)應(yīng)的黃金三角形，它的底角正好是頂角的兩倍，且它的底與腰之比為黃金分割比（黃金分割比）．在頂角為的黃金中，D為BC邊上的中點(diǎn)，則（）．A．B．C．在上的投影向量為D．是方程的一個(gè)實(shí)根12．已知是定義在R上的函數(shù)，且，，則（）．A．的最大值可能為0 B．在上單調(diào)遞減C．的最小值可能為0 D．可能只有兩個(gè)非負(fù)零點(diǎn)三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13．寫出一個(gè)滿足下列兩個(gè)條件的復(fù)數(shù)：______．①的實(shí)部為5；②z的虛部不為0．14．已知隨機(jī)變量X滿足，，則______，______．（本題第一空3分，第二空2分）15．如圖為一個(gè)開關(guān)陣列，每個(gè)開關(guān)只有“開”和“關(guān)”兩種狀態(tài)，按其中一個(gè)開關(guān)1次，將導(dǎo)致自身和所有相鄰（上、下相鄰或左、右相鄰）的開關(guān)改變狀態(tài)．若從這十六個(gè)開關(guān)中隨機(jī)選兩個(gè)不同的開關(guān)先后各按1次（例如：先按，再按），則和的最終狀態(tài)都未發(fā)生改變的概率為______．16．將3個(gè)6cm×6cm的正方形都沿其中的一對(duì)鄰邊的中點(diǎn)剪開，每個(gè)正方形均分成兩個(gè)部分，如圖（1）所示，將這6個(gè)部分接入一個(gè)邊長(zhǎng)為的正六邊形上，如圖（2）所示．若該平面圖沿著正六邊形的邊折起，圍成一個(gè)七面體，則該七面體的體積為______．四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)．（1）過BG作該正方體的截面，使得該截面與平面平行，寫出作法，并說明理由；（2）求直線DE與平面所成角的正弦值．18．（12分）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減．（1）求的最大值；（2）若的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，且在上的值域?yàn)椋髆的取值范圍．19．（12分）某體育館將要舉辦一場(chǎng)文藝演出，以演出舞臺(tái)為中心，觀眾座位依次向外展開共有10排，從第2排起每排座位數(shù)比前一排多4個(gè)，且第三排共有49個(gè)座位．（1）設(shè)第n排座位數(shù)為，求及觀眾座位的總個(gè)數(shù)；（2）已知距離演出舞臺(tái)最遠(yuǎn)的第10排的演出門票的價(jià)格為500元/張，每往前推一排，門票單價(jià)為其后一排的1.1倍，若門票售罄，試問該場(chǎng)文藝演出的門票總收入為多少元？（?。?0．（12分）2022年12月份以來，全國(guó)多個(gè)地區(qū)紛紛采取不同的形式發(fā)放多輪消費(fèi)券，助力消費(fèi)復(fù)蘇．記發(fā)放的消費(fèi)券額度為x（百萬元），帶動(dòng)的消費(fèi)為y（百萬元）．某省隨機(jī)抽查的一些城市的數(shù)據(jù)如下表所示．x33455668y1012131819212427（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說明y與x有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，并求出y關(guān)于x的線性回歸方程．（2）（?。┤粼撌城市在2023年2月份準(zhǔn)備發(fā)放一輪額度為10百萬元的消費(fèi)券，利用（1）中求得的線性回歸方程，預(yù)計(jì)可以帶動(dòng)多少消費(fèi)？（ⅱ）當(dāng)實(shí)際值與估計(jì)值的差的絕對(duì)值與估計(jì)值的比值不超過10％時(shí)，認(rèn)為發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是理想的．若該省A城市2月份發(fā)放額度為10百萬元的消費(fèi)券后，經(jīng)過一個(gè)月的統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)實(shí)際帶動(dòng)的消費(fèi)為30百萬元，請(qǐng)問發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇是否理想？若不理想，請(qǐng)分析可能存在的原因．參考公式：，，．當(dāng)時(shí)，兩個(gè)變量之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．參考數(shù)據(jù)：．21．（12分）已知函數(shù)．（1）求的最小值．（2）若，且．證明：（?。唬áⅲ?2．（12分）已知等軸雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為．（1）求C的方程；（2）若C上有兩點(diǎn)P，Q滿足，證明：是定值．高三數(shù)學(xué)考試參考答案1．D 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．C 8．D 9．BD 11．ABD 12．ACD 13．（本題答案不唯一，只要滿足，即可，例如）14．2；1.2 15． 16．108 17．解：（1）取的中點(diǎn)H，連接，，BH，GH，即截面為要求作的截面．理由如下：因?yàn)镋，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．在正方形中，因?yàn)镚為的中點(diǎn)，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同上可得平面．又，所以平面平面．連接，易證，，則，所以，B，H，G四點(diǎn)共面，從而截面為要求作的截面．（2）如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，．設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以．故直線DE與平面所成角的正弦值為．評(píng)分細(xì)則：[1]第（1）問中，若得到的截面為，且證明了截面平面，第（1）問只得3分．[2]第（2）問中，平面的法向量不唯一，只要與共線即可．18．解：（1）依題意可得，解得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不等式無解．故的最大值為．（2）因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所．因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，，則，解得，所以m的取值范圍是．評(píng)分細(xì)則：[1]第（1）問中，得到后，還可以由，得，所以，故的最大值為．[2]第（2）問中，若得到，但最后沒有寫成區(qū)間形式，不扣分．19．解：（1）由題意可知是公差為4的等差數(shù)列，因?yàn)?，所以．觀眾座位的總個(gè)數(shù)為．（2）設(shè)第n排座位的門票價(jià)格為元/張，則為等比數(shù)列，，由，得，因此．記門票售罄該場(chǎng)文藝演出的門票總收入為T元，則，，則，兩式相減得，則，所以，故若門票售罄，則該場(chǎng)文藝演出的廣]票總收入為元．評(píng)分細(xì)則：[1]第（1）問中，得到“是等差數(shù)列”，但未寫公差，不扣分；未寫“”，但得到“”，不扣分．[2]第（2）問中，得到“”但未寫“故該場(chǎng)文藝匯演的門票總收人為元”，不扣分．20．解：（1），．，，，代入公式可得相關(guān)系數(shù)．由于且r非常接近1，所以y與x具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．經(jīng)計(jì)算可得，．所以所求線性回歸方程為．（2）（?。┊?dāng)時(shí)，，所以預(yù)計(jì)能帶動(dòng)的消費(fèi)達(dá)35.25百萬元．（ⅱ）因?yàn)?0％，所以發(fā)放的該輪消費(fèi)券助力消費(fèi)復(fù)蘇不是理想的．發(fā)放消費(fèi)券只是影響消費(fèi)的其中一個(gè)因素，還有其他重要因素，比如：A城市經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平不高，居民的收入水平直接影響了居民的消費(fèi)水平；A城市人口數(shù)量有限、商品價(jià)格水平、消費(fèi)者偏好、消費(fèi)者年齡構(gòu)成等因素一定程度上影響了消費(fèi)總量（只要寫出一個(gè)原因即可）．評(píng)分細(xì)則：[1]第（1）問中，x，y的平均數(shù)只求對(duì)了一個(gè)，不給分．[2]第（2）問的第（ⅱ）問涉及的其他因素很多，比較主觀，考生只要答出一個(gè)比較合理的原因即可．21．（1）解：．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以．（2）證明：（?。┯桑?）可知，，因?yàn)?，所以，，則，所以．（ⅱ）由得，要證，只需證，只需證，即證．令函數(shù)，則，所以，因?yàn)椋?，在上單調(diào)遞減．所以，則，故．評(píng)分細(xì)則：[1]第（1）問中，考生得到“當(dāng)時(shí)，”，但沒有寫單調(diào)遞減，不扣分；考生得到“當(dāng)時(shí)，”，但沒有寫單調(diào)遞增，同樣不扣分．[2]“”，扣1分．22．（1）解：設(shè)C的方程為，不妨設(shè)右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．右