轉(zhuǎn)動(dòng)慣量計(jì)算

關(guān)于計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的一些想法書(shū)中原有內(nèi)容的簡(jiǎn)單回顧新的方法（原創(chuàng)）總結(jié)與反思結(jié)束放映第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日書(shū)中原有內(nèi)容回顧轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義。(這個(gè)是基礎(chǔ))轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算。(積分法，幾乎是萬(wàn)能的)平行軸定理。(于質(zhì)心聯(lián)系，適用廣泛)薄面的正交軸定理。標(biāo)度變換法。(很好的方法，巧妙而簡(jiǎn)潔)趙老師的書(shū)中關(guān)于這部分的東西很多，雖然頁(yè)數(shù)較少，但是內(nèi)容豐富，主要有如下幾點(diǎn)：書(shū)中內(nèi)容是根本，望大家好好理解并掌握。第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日新的方法沿軸延伸定理。垂軸延伸定理。殼體定理。關(guān)于空心圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式的解釋。

這是我在看書(shū)上轉(zhuǎn)動(dòng)慣量部分，參看P143表4-1時(shí)，想到的一些東西，而后又做了一些計(jì)算和證明，是自己原創(chuàng)的。我認(rèn)為對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算有一定的作用。返回第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日沿軸延伸定理公設(shè)：回顧我們課上講的桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算，如果，我們?cè)谠到y(tǒng)的基礎(chǔ)上再加上一個(gè)一模一樣的桿，那這個(gè)新系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量又是什么呢？是不是兩者的疊加（就是原來(lái)的二倍，亦即將質(zhì)量改為原來(lái)的兩倍）？答案是肯定的。其實(shí)我們可以這樣想：原來(lái)的那個(gè)桿不是可以看成是兩個(gè)桿的“無(wú)縫連接”嗎？！質(zhì)量m與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I是線性關(guān)系，完全相同的物體按同種方式轉(zhuǎn)動(dòng)，如果組合到一起，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱系數(shù)k是不變的，只不過(guò)是要改變一下質(zhì)量而已。證明：設(shè)原物體質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,則它沿軸延伸為質(zhì)量為M的物體后，相當(dāng)于n個(gè)原物體的疊加。因此，定理內(nèi)容：一物體沿轉(zhuǎn)軸方向延伸，其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱系數(shù)k不變，只是質(zhì)量改為延伸后新物體的質(zhì)量。第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日垂軸延伸定理公設(shè)：微積分的正確性。平行軸定理。

證明：設(shè)原物體的質(zhì)量為m，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的量綱為ML2,所以設(shè)I=kml2,垂軸延伸的距離為R，則：

定理內(nèi)容：一物體垂直與轉(zhuǎn)軸方向延伸，延伸長(zhǎng)度為R,新物體的質(zhì)量為M，則其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為kMl2+1/3MR2。第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用舉例（一）由沿軸延伸定理和垂軸延伸定理我們可以比較簡(jiǎn)單的求出立方體沿過(guò)中心且與一面垂直的軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。即立方體可以看成桿先垂軸延伸成平方形，再沿軸延伸成立方體。設(shè)立方體質(zhì)量為M，因?yàn)闂U的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱系數(shù)k為1/12,所以：返回第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日殼體定理（一）公設(shè)：極限思想、微積分中求積思想的正確性。

證明：殼體，即圓與圓盤(pán)、圓環(huán)與圓柱、圓帽與圓錐等。下面先介紹一下“殼的維數(shù)”。這個(gè)概念是在幾何體維數(shù)的基礎(chǔ)上發(fā)展的，唯一的區(qū)別在于如果殼在沿軸方向上是相同的，則維數(shù)減一。例如圓環(huán)（圓柱的殼）是二維圖形，但其殼的維數(shù)卻是一。而圓帽是二。體實(shí)際上是無(wú)數(shù)個(gè)逐漸變小的殼的疊加。設(shè)體的質(zhì)量為M，殼的維數(shù)為,殼體的共同面（圓盤(pán)的原面、圓柱的底、圓錐的底面）的量度為R，設(shè)殼體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的無(wú)量綱系數(shù)為k，t為體的“積”（面積或體積）的計(jì)算公式中的常數(shù)，如2等。則有：第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日殼體定理（二）定理內(nèi)容：內(nèi)容顯而易見(jiàn)，如證明中的公式一樣，殼體定理只是揭示了殼與體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之間的關(guān)系。第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日應(yīng)用舉例（二）有了殼體定理，我們可以減少一部分計(jì)算，即知道殼或體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量后，我們經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的判斷，就可以知道對(duì)應(yīng)的體或殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。例如：薄圓盤(pán)所對(duì)應(yīng)的殼——圓的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是mR2（等效為質(zhì)點(diǎn)來(lái)計(jì)算）,我們可以由此馬上得知薄圓盤(pán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1/2mR2，因?yàn)?，殼，圓的維數(shù)為1，由殼體定理的公式，簡(jiǎn)單計(jì)算即可求得。類(lèi)似地，我們可以由圓球殼的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)推出圓球的；由正方型面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)推出正方型框的。返回第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日關(guān)于空心圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)

慣量公式的解釋所謂空心圓柱體，即半徑為R2的圓柱，其中間為以R1為半徑的空心的幾何體。書(shū)上給出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量公式為：然而，根據(jù)常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)判斷，明明是少了一塊，為什么公式當(dāng)中反而是加號(hào)呢？有人可能會(huì)說(shuō)，計(jì)算結(jié)果就是這樣！不對(duì)。我認(rèn)為物理是聯(lián)系實(shí)際、是應(yīng)該可以被主觀理解的一門(mén)科學(xué)，所以我對(duì)這個(gè)公式研究了一番，發(fā)現(xiàn)“相減”的想法是正確的。為什么呢？請(qǐng)聽(tīng)我慢慢道來(lái)！第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解釋—續(xù)我們假設(shè)未成空心前的圓柱的質(zhì)量為M，空心的那一塊的質(zhì)量為m0,那么按照“相減”的想法，則有：由于空心部分和圓柱的密度相同（否則未成空心前的那個(gè)幾何體就不能稱(chēng)之為圓柱了），所以有：

即，（1）（2）(1)+(2),得：第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日解釋—完結(jié)而(M-m0)就是空心圓柱體的質(zhì)量，所以：因此：返回第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期日總結(jié)與反思以上的那些定理名字挺大、挺嚇人，其實(shí)都是我自己起的，沒(méi)什么東西。我到網(wǎng)上查資料時(shí)，發(fā)現(xiàn)現(xiàn)在都有專(zhuān)門(mén)用于計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的軟件了！我這點(diǎn)東西實(shí)在是········不過(guò)，這些東西雖不怎么樣，但都是我認(rèn)真思考，獨(dú)立完成的。其原創(chuàng)性毋庸置疑，而且，好像還從來(lái)沒(méi)有人做過(guò)。生