2023屆高三數(shù)學小題專練-正弦定理和余弦定理4（含解析）

一、單選題

1.在銳角△回（?中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,S為△ABC的面積，且

2s=。2-僅-c）,2,則彳h的取值范圍為（）

233435

A.B.C.D.

P231245,3

TT

2.在△45C中，。也。是角4伉。的對邊，已知/!=§,。=7,則以下判斷錯誤的是（）

497r

A.△ABC的外接圓面積是深;

B.AosC+ccosg=7；

C.b+c可能等于14；

D.作A關于BC的對稱點4,則|A4'|的最大值是挈.

3.在△ABC中，sin（A—3）+sinB=sinC,點。在邊8c上，且CD=28。，設

sinZA8D

,則當左取最大值時，sinZACD=()

sinZBAD

A/6+yfl.

A.B.

4-4~

3+6(3-@vn

C.D.

66

、

AB7r

4.已知點P是AABC所在平面內的動點，且滿足0P=0A+2目+=a>o）,射

線AP與邊8C交于點。，若/84。二年，\AD\=lf則|及|的最小值為（）

A.gB.2C.2百D.4A/3

5.在△MC中，內角A、B、C的對邊分別是〃、b、c,且3c邊上的高為正Q,若

6

sinC=*sinB,則當％取最小值時，內角A的大小為（）

A.71

2

71_2萬

C.D--

6.已知F是拋物線C：丁2=2外（〃>0）的焦點，直線/與拋物線C相交于P,。兩點,

2乃d

滿足/尸產。=丁，記線段PQ的中點A到拋物線。的準線的距離為小則兩的最大值

為（）

A.3B.&C.BD,-

33

7.銳角△ABC中，角A,B,。所對的邊分別為mb,a若片+〃=5q2,則的

取值范圍是（）

1后

(z-）B.（|，1）

\23

AU.

4啦

[-4

5，3）D.[y,1）

8.在鈍角AABC中，dc分別是AABC的內角AB,C所對的邊，點G是AABC的重心，

若AGL8G,貝hosC的取值范圍是（）

9.若。是AABC外接圓圓心，48、。是4M。的內角，若上空通+竺￡祝=2M而,

smCsmB

則實數(shù)團的值為（）

A.1B.sinAC.cos>4D.tanA

222

10.已知△ABC中，AB-AC=-3AB=29cosA+sinB+sinC+sinBsinC=l,D

是邊BC上一點，NC4O=3/R4D.則49=（）

A6R3石「的n

5427

11.已知。是三角形ABC的外心，若生A夙+絲A/ACj=2，〃（ACiy,且

ABAC'）

sin3+sinC=V5,則實數(shù)機的最大值為（）

92

12.已知雙曲線C:?-5=1（〃>0力>0）,其左右焦點分別為耳（-療,0）,心（近,0）,

點尸是雙曲線右支上的一點，點/為的內心（內切圓的圓心），可=xPF\+y%，

若NE桃=60。，y=3x,則APK芯的內切圓的半徑為（）

A4石°R4V3-V2T

33

C.izJl.D.2+—

33

13.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為。，b,c,AABC的面積為5=土,

2

則（）

〃2

A.a2^bcsinAB.------------=tanA

試卷第2頁，共6頁

I7

C.2+搟的最大值為石D.，的最大值1

cbhe

14.已知雙曲線一3=1的左右焦點分別為再，心,點”是雙曲線右支上一點，滿

足=0,點N是線段片每上一點，滿足耳了=/1耳",.現(xiàn)將AM耳心沿MN折成直

二面角F「MN-F2,若使折疊后點K，心距離最小，則幾=()

12a34

A.5-B.5-5-D.5-

15.如圖所示，在直三棱柱ABC-A|B|C|中，AAt=],AB=BC=⑸cosZABC=1,

P是4#上的一動點，貝IJAP+PG的最小值為()

A.75B.幣C.1+6D.3

16.已知雙曲線5-￡=1(°>08>0)的左、右焦點分別為耳,苞，M為右支上一點，

NMf；K=120。,4用耳向的內切圓圓心為Q,直線M。交x軸于點M\MQ\=2\QN\,則

雙曲線的離心率為()

54廠廠

A.-B.-C.6D..72

43

17.在AABC中，角AB,C的對邊分別為a,b,c,已知c=2逐，且

247sinCcosB=asinA-Z?sinB+—/?sinC,點。滿足)+而+反=0,cosNCAoJ,

28

貝UAABC的面積為

A.叵B.3非C.5&D.底

3

18.設銳角的三個內角A.5.C的對邊分別為。.從。，且c=l,A=2C,則AMC

周長的取值范圍為()

A.(0,2+721B.(0,3+由C.(2+&,3+我D.[2+后+石]

19.在銳角AABC中，若6sin4（變4+^^）=sinBsinC,且抬sinC+cosC=2,則

的取值范圍是（）

A.（2^,4]B.（2,26]C.（0,4]D.（2,4]

20.已知非等腰AABC的內角A,8,C的對邊分別是“，b,。，且“4=2c?,

a~+b

若C為最大邊，則字的取值范圍是（）

2c

二、填空題

21.拿破侖是十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數(shù)學也很有興趣，他發(fā)現(xiàn)并證明

了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這三

個等邊三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點“，在△ABC中，以AB,BC,CA為

邊向外構造的三個等邊三角形的中心依次為O,E,F,若NBAC=30,。尸=4,利用拿

破侖定理可求得AB+AC的最大值為一.

22.已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c.角B為鈍角.設△ABC的面

積為S,若4bS=a（b2+c2-a2）,則sinA+sinC的最大值是.

23.在銳角AABC中，角A,B,C的對邊分別為〃，b,c.若2sinAcosB=2sinC-sinB,

b=5,ACBC=5>則AABC的面積為.

24.己知四邊形ABC￡>是邊長為3的菱形，把加。沿AC折起，使得點。到達點P,

則三棱錐P-45c體積最大時，其外接球半徑為.

25.我校高一同學發(fā)現(xiàn)：若。是AMC內的一點，ABOC、△AOC、的面積分別

為S.、Sg、S-則存在結論與?麗+SB?麗+Sc?元=6,這位同學利用這個結論開始

研究：若。為A/1BC內的一點且為內心，AABC的內角A、B、C的對邊分別為。、b、

C,且cosB=W，若的=》而+了的，則x+y的最大值為__________.

6

22

26.已知雙曲線E：餐-斗?=1（a>0,b>0）的左、右焦點分別為K，過原點

a'b'

的直線與E的左、右兩支分別交于8,A兩點，直線4鳥交雙曲線E于另一點C（A,

C在巴的兩側）.若因。=2恒q，且NBgC=60,則雙曲線E的漸近線方程為.

27.趙爽是我國古代數(shù)學家，大約在公元222年，他為《周髀算經》一書作序時，介紹

了“刈股圓方圖”，亦稱為“趙爽弦圖“（1弦為邊長得到的正方形由4個全等的直角三角

試卷第4頁，共6頁

形再加上中間的一個小正方形組成）.類比，可構造如圖所示的圖形，它是由三個全等

的三角形與中間一個小等邊三角形組成的一個較大的等邊三角形，設而=/1而+〃/

且。尸=3AF,則可推出之+〃=.

22

28.已知雙曲線C:[-方=l（a>0力>0）的左、右焦點分別為"，6,過"的直線與

C的右支交于A,B兩點，若/耳4工=44工小怩耳=2|入山，則C的離心率為.

29.⑴若數(shù)列｛%｝的通項公式為4=〃-7分，則該數(shù)列中的最小項的值為.

（2）若（2-d）（f++）的展開式中含有常數(shù)項，則〃的最小值等于.

（3）如圖所示的數(shù)陣中，用A（m,〃）表示第m行的第〃個數(shù)，則以此規(guī)律A（8,2）為

1

3

11

66

J_J_J_

101210

J_J_J_J_

15222215

J_1J_J__1_

2137443721

（4）△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為。、b、c.E^sinA:sin5:sinC=ln2:ln4:lm,

2

ECACB=me2?有下列結論：?2<r<8；?--<m<2；?Z=4,a=ln2時，△ABC

的面積為幽迨；④當2有8時，為鈍角三角形.其中正確的是

8

.（填寫所有正確結論的編號）

30.已知雙曲線C：4-4=|<?>0,/>>0）,耳，鳥分別是雙曲線C的左、右焦點，P為右

支上一點（y,#0）,在線段尸石上取“△尸耳用的周長中點“M，滿足

|陰+仍用=|M用+用用，同理可在線段PF1上也取“△「/例的周長中點"N.若“PMN

的面積最大值為1,則6=.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.D

A

【分析】根據已知條件，利用余弦定理和面積公式，結合倍角公式求得tan],進而求得A

的各個三角函數(shù)值，再利用正弦定理邊化角求得&關于C的函數(shù)表達式，根據銳角三角形的

C

條件得到0<]-c<A<p利用三角函數(shù)的性質求得取值范圍即可.

【詳解】解：△ABC中/=從+。2_2bccosA,S=1/?csinA,

由2s=/-(b-c)2,得bcsinA=2bc-2bccosA,sinA=2()-cosA)；

A1

即2sin-cos-=4sin2—,**sin—>0,

2222

???sinA=-,cosA=-

55

.b_sinB_sin(A+C)_sin4cosC+cosAsinC_43

>?——----------------------------------------------------------------------------------1—,

csinCsinCsinC5tanC5

71

ZVIBC為銳角三角形,AA+O-.?.o杉-C<A磴

2

,4

<tanA=—,

3

.343443255

_____________1___V__y____I___—_____—__

'*55tanC5535-15-3

故選：D.

2.D

【分析】對人利用正弦定理可求得的外接圓半徑，即可求解AABC的外接圓面積；

對8：利用余弦定理角化邊，即可求解；對C：利用正弦定理邊化角，再結合兩角和差的正

弦公式，即可求解；對。：利用三角形面積公式和余弦定理，及均值不等式，即可求解.

TT

【詳解】解：對人=a=7,

Q_77A

???由正弦定理可得而了一耳一,即AABC的外接圓半徑/?=任，

T3

/.△ABC的外接圓面積是萬R?二4x=等，故A選項正確;

答案第1頁，共27頁

對8：由余弦定理可得力COSC+ccosB=b,=4=7,故8選項正確;

2ab

n

對C由正弦定理可得b+c=2/?(sinB+sinC)=a+sin■—+a=14cos?,

3

共

——<a<—

33

.）+C￡（7,14],故C選項正確;

對。：設A關于8C的對稱點我4,A到的距離為〃,

，E|Jh=^-bc,

...1—ah,=—1b入cs.\n萬—

22314

又由余弦定理可得/=〃+c2-2bccos^=b2+c2-bc..2bc-bc=bc,當且僅當Z?二c時等號成立,

所以人打哈X73即心哈

所以14rl的最大值是76，故。選項錯誤.

故選：D.

3.B

【分析】根據sin（A-8）+sin8=sinC,利用兩角和與差的正弦公式化簡得到sinB=2cosAsin8,

進而求得A,根據點。在邊BC上，且8=29，得到％=上黑=黑=嗡，再由余

sinZ.BADBDBC

4c9

iur?uuur\ixir4r-2+/72+2bc7-十二+2c

弦定理結合AO=￡AB+gAC兩邊平方，得到公o=:,/,=互4—，令[=/，得

33c+b~-becbb

--1---1

bc

1c

4A1+-+24產+2,+1

到左2=，（/）=-r-=———用導數(shù)法求得最大值時a,b,C的關系，再利用正弦

z+l-l尸一+1

t

定理求解.

【詳解】因為sin（A-3）+sin8=sinC,

所以sin(A—B)+sin8=sin(4+8),即sinB=2cos/AsinB,

因為3$(0,乃)，

所以sin3w0,cosA=；,

因為A￡（0,4）,

答案第2頁，共27頁

TT

所以A=t，

因為點。在邊3C上，且CO=2BO,

.sinZABDAD3Ao

所以攵=--------=---=----,

sinABADBDBC

設AB=c,AC=b,BC=a,

則AQ=9&,

在AABC中，由余弦定理得片=c2+h2-2bccosA=c2+b2-be,

i.4-i

■.■AD=AB+BD=AB+-{BA+AC)=-AB+-AC,

所以而2=(1而+g回，

le,4o1o4

即一02公=_c2+±b2+_bccosN8AC,

9999

艮|]erk2=4c2+b2+2bc

4cb

4c2+〃+2歷4c2+/+2力c石+1+2

所以二=

a2c2+h2-hccb

—I---1

bc

4/+2/+1

令\=t,得k°=f(j)=

t2-t+\

/\-6廣+6，+3i./q

則/（'）="一+），令,⑺=0,解得，=號1，

當時，r（o>o,當時，r（/）<o,

所以當t=時，/?）取得最大值，此時￡=土已，

2b2

所以6=（g-l）c,解得a=46-3&=型瀘一c,

在AABC中，由正弦定理得一工=—解得sinC=ad=J^+&,

sinAsinea4

即sinZ.ACD="+近.

4

故選：B

【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是利用正弦定理得到無=處名整=條=嚶，然后利用

sinZBADBDBC

余弦定理表示BC,利用平面向量表示AD而得解.

答案第3頁，共27頁

4.C

【分析】由已知得AP=/l,所以點尸在N8AC的平分線上，即為44C的

V3

可知燈曰島+六〉結合三

角平分線，利用正弦定理得々八一2

DLJ一CD=—^—

sinBsinC

角函數(shù)的性質可求最小值.

ABAC

【詳解】同表示與通共線的單位向量，同表示與正共線的單位向量,

UIIIU11U

ABAC

的分向與ZBAC的平分線一致,

(mnuuui)

uinuuruunuuruiin

QOP=OA+AOP-OA=AP=ArutiT|+ytttnnr

UMHI

所以點尸在㈤C的平分線上，即AD為N8AC的角平分線,

兀一走

在中，ZBAD=~,|AD|=1,利用正弦定理知：.AD.n

3BDrD=----xsin—=—^2―

sinB3sinB

同理，在八4。￡＞中，AD.n

CD=----xsin—=——

sinC3sinC

其中B+C=?

百]

BCx2x_=2r

分析可知當8=c=g時，8C取得最小值，B|Jmi?=Y7^

6sin—

6

故選：C

5.C

【分析】根據sinC=Zsin8,由正弦定理得到左=：,根據BC邊上的高為巫”，結合正弦

b6

—x—6(X6!=—Z>csinA,再由余弦定理可得h2+c2=2y/3hcsinA+2hccosA,即

262

g+>2氐inA+2cosA=4sin(A+￡|,由，4sin(A+￡)44再根據左取最小值時求解.

【詳解】因為sinC=ZsinB,所以％=卷，因為BC邊上的高為且“，

b6

答案第4頁，共27頁

所以=—besinA,即/=2y/3bcsinA,

262

由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA9

所以〃+H=2百besinA+2bccosA，

gp—+—=2^3sinA+2cosA=4sin|A+—\<4,

cb\6J

bc\

-+-<4,BP)l+-<4,V-4jt+l<0,

cbk

解得2-百WZK2+G，所以左的最小值為2-6，

此時sin(4+g]=l,又0<A<?,5<A+5V?>，

V6J666

所以A+[=3，??.A=q.

623

故選：C

【點睛】本題主要考查正弦定理，余弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于較難題.

6.C

【分析】設|PF|=m，IQ用=〃，過點P,。分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為尸’,。',

進而得公絲雪二歲，再結合余弦定理得陽if

進而根據基本不

d2

等式求解得兩3-

【詳解】解：^\PF\=m,\QF\=n,

過點尸，。分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為P，Q',

則PP'=m,QQ'=n,

因為點A為線段尸。的中點，

所以根據梯形中位線定理得點A到拋物線C的準線的距離為d=IPP'MQ-='七

22

27r

因為NPFQ=7，

所以在△PFQ中，由余弦定理得|PQ『=+/-2mnCQS夸=加？+/+〃相，

d2_(m+n)2_(m+n)2_1

所以I尸4(/?t2+n2+mn)4[(加+”尸一[初i]4?mn

(m+n)2

j

又因為（〃，+"）』〃，〃,所以而存4"當且僅當*〃時等號成立,

答案第5頁，共27頁

1=1d

所以1電-4*（11）3,故函4N不

所以向的最大值為乎.

故選：C

【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查

運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，設IP用=九|。巴=〃，進而結合拋

物線的定于與余弦定理得4=等，122

\PQ\=fn+n+mn,再求最值.

7.C

【解析】先利用基本不等式求函數(shù)的最小值，再根據三角形是銳角三角形，得到"

3a2

的范圍，再求函數(shù)值域的上限.

2

2,2_a^+^

a+b

〃+從工~54（/+從）4x2而4,（當且僅

【詳解】由題意得C°sc=----------=------2-----=一

2ahlab\0ah10ab5

當a=b時取等號）,

/+從>3

5

a2+b2>c2

從+3>?2,解得2<與<3,所

由于三角形是銳角三角形，所以"+c2>a2,所以

53/2

a2+c2>b2

a2+fe2

2a+-->--b--2---

5

以坐4邛,2理+與，設

2ablah5ab

"。）=|（七），

-=x,xe（

a

因為函數(shù)/（X）在（半,1）單調遞減，在（1,乎）上單調遞增，所以函數(shù)/（X）無限接近

中的較大者，所以f（x）f/（等）=_76

-3,

所以cosC的取值范圍是

故選：C.

【點睛】本題的難點在求函數(shù)的值域的上限，解答利用了函數(shù)的思想，以2=x為自變量，先

a

求自變量的取值范圍逅＜2＜逅，再利用余弦定理求得cosC的解析式，最后換元求新函

3a2

答案第6頁，共27頁

數(shù)的值域得解.

8.C

3

【分析】延長CG交AB于￡>,由重心性質和直角三角形特點可求得CO=1c,由

cosZBDC-cosZADC,利用余弦定理可構造等量關系得到/+〃=5/,由此確定C為銳

222

角，則可假設A為鈍角，得到〃+^<〃，a+c>b,a>b,由此可構造不等式組求得2的

a

取值范圍，在AABC利用余弦定理可得cosC=^：+2l利用2的范圍，結合C為銳角可

5\ba)a

求得cosC的取值范圍.

【詳解】延長CG交A3于。，如下圖所示:

???G為△ABC的重心，???力為A6中點且CD=3DG,

133

-AG-LBG,:.DG=—AB,:.CD=-AB=-c；

222

~c2-b2

AD2+CD2-AC25c2—2方2

在△AQC中cosZ.ADC=,2_____

2ADCD323c2

—c

2

一522

BD2+CD2-BC2c--a'5c2-2a2

在中,cosZBDC=_2

2BDCD3c，2

,/Z.BDC+ZADC=7i,cosZ-BDC=-cosZADC,

即,一廣=_'W,整理可得：/+〃2=5c2>c2,.?.C為銳角;

3c23c2

222

設A為鈍角，則從+°2<〃2,6/4-C>/;,a>b,

a2+b2

a2>b2+

5

a2+b?

b2<a2+

5

答案第7頁，共27頁

\*a>b>090<—<如,

a3

〃2i/_2_「222+、

由余弦定理得：COSC=——

2ab5ab

又C為銳角,—<cosC<l,即cosC的取值范圍為

3

故選：C.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查解三角形中的取值范圍問題的求解，解題關鍵是能夠由兩角

互補得到余弦值互為相反數(shù)，由余弦定理得到/+6=502,確定C為銳角，從而得到三邊

之間的不等關系，求得2的范圍.

a

9.B

【分析】根據三角形外心的性質、正弦定理、兩角和的余弦公式，結合平面向量數(shù)量積的運

算性質和定義進行求解即可.

【詳解】設AB的中點為。，48、<7所對的邊為以反。，

因為。是AABC外接圓圓心，

所以

于是有荷?麗=（而+而）?麗=g而2+的?南=gc2,

由梃通+您￡恁=2,〃而=*而。笆而.通=2%荷?通

sinCsinBsinCsinB

cosBcosC..cosBcosCb

=>-------c2H---------b-c?cosA=2=>---------1-------------cosA=m

sinCsinBsinCsinBc

8sBcosCsin3

=--------1------------------cosA4=m

sinCsinBsinC

cos8cosCcosA-cosCcosA+sinCsinA+cosCcosA.

=>in=-------1-----------------=--------------------------------------------------=sinA,

sinCsinCsinC

故選：B

【點睛】關鍵點睛：對已知向量等式同時乘以而是解題的關鍵.

10.B

【分析】利用正弦定理及余弦定理可得人=等，結合條件可得6=3,然后利用余弦定理可

得cosC,tanC,進而可得A￡>=ACtanC,即得.

【詳解】設aABC中，角A,8,。的對邊為a也j

,**cos2A+sin2B+sin2C+sinBsinC=1,即sin?B+sin2C+sinBsinC=sin2A，

答案第8頁，共27頁

Z?2+c2+Z?c=a2>

FA"+黑-"=4,又A"),

4=，又AB-AC=-3，AB=2,

/.ABAC=2bcosA=2bx-3,即b=3,

：.a2=b2+c2+bc=31+?r+3x2=\9,

故〃=V19,

a2+b2-c219+9-44sinC=g,tanC=—,

cosC=，=----------=—

2ah6719一曬，V194

又NC4D=3N54O,A=——,

3

Z.CAD=—,AD—ACtanC=3x.

244

故選：B.

11.D

【分析】設A8=c,AC=b,ZBAO=0,ZCAO=a,由題設條件得到尻c、a、。、利的

關系：bcos0+ccosa=2m\O,

cA

由。是三角形ABC的外心可得8$。=；；^,cosa=——-,對h+c=20AO,消去AO,

2AO2AO

利用基本不等式求得m的范圍.

【詳解】如圖所示:

設A8=c,AC=b,NBAO=9,ZCAO=a,

AC——AR/\2

由"A&40+—ACAO=2m(AO]

48AC

b,

得—AOcosO+—AOcosa=2m-AO1,

cb

化簡得6cos0+ccosa=2mAO,

b

由。是三角形ABC的外心可知，0是三邊中垂線交點，得cos9=-----,cosa=,

2AO-------------2AO

答案第9頁，共27頁

代入上式得小2，-二殺.

hQ

根據題意知，AO是三角形A8C外接圓的半徑，可得sinB=73,sinC=-^-,

，/Z/lCz

代入sinB+sinC=V^"c=2"4O,

be

：.m=當且僅當'*=，"時，等號成立.

2AO2

故選：D.

12.B

【分析】依據題給條件列出關于心的內切圓半徑的方程，即可求得APK鳥的內切圓半

徑.

【詳解】由可=3所+y%結合點/是△W心的內切圓的圓心可知\xPF\=\yPF^,

又有y=3x,所以|崩卜3|罔，

又|崩卜3|陰|=2a,可得閥卜3a，阿卜a,

再根據/6「鳥=60。，由余弦定理可得(25丫=(3.)2+a2-2-36Z-r/cos60,

解之得a=2,則S=jw||P周sinN/^P鳥=g(W+P心+耳心

即gx6x2xq=g(6+2+2>/7)%,解之得%=4石§?

故選：B.

13.C

【分析】A、B由三角形面積公式及余弦定理判斷；C由A、B分析sinA+2cosA=：+2,結

bc

合輔助角公式、正弦函數(shù)性質即可確定目標式最大值；D根據C的分析，結合基本不等式

4

可得sinA+2cosAW2,應用同角三角函數(shù)關系及三角形內角性質求得0<sinA4二，根據A

的結論即可求目標式最大值.

【詳解】△A8C的面積為S=1bcsinA=幺，則c/ubcsinA,A錯誤；

22

由cosA=1+'——且sin4=幺，則tan4=,-----r，B錯誤；

2bcbeb2+c2-a2

答案第10頁，共27頁

ritA+c2—a''b~+c~-besinA.i人_bc..

由cosA=--------------=----------------------，貝m！J2ocosA=—i-----sinA,

2bc2bc