高中北師大版數(shù)學(xué)選修2-1 綜合檢測2

256|n||24256|n||24第二章

綜合檢測二空間向量與立幾何(時間：分鐘

滿分：120)一、選擇題本大題共小題，每小題5分，共50分．在每個題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1．已知向a，與向量＝(－，x，y平行，則，y的值分別是()A．6和－C．－6和－10

B．和D．6－10【解析】【答案】

－4x由a∥，得＝＝，∴x＝，＝－－3A2直的方向向量aα的法向量n結(jié)論成立的是)A．若a∥則aαC．若a∥則aα

B．n0則a⊥D．若an＝0，則a∥【解析】由直線的方向向量與平面的法向量的定義知應(yīng)選C于選項D，直線a平面α內(nèi)，也滿足n0.【答案】

C3．平α的一個法向量(1，，y軸與平面所成的角的大小為()π

B．

π4C.

π3

D．

3π4【解析】

ny的方向向量s＝，cos〈n，〉＝＝－，即軸2π與平面α所成角的正弦值是，故其所成的角是【答案】

B→→→4平行六面體－ABD向量AD兩兩的夾角均為60°，11

222771112122277111211219→→

→→且＝1D|＝2，AA＝3則等于()1A．5C．4

B．6D．8→→

→→→【解析】

設(shè)B＝D＝，＝c則A＝a＋＋c，AC＝＋11→＋c＋b＋2bc＋2ca＝，因此AC|＝5.1【答案】

A5．已知a＝(2－1,3)，＝－1,4，－2)，＝，λ，若a，b，三向量共面，則實數(shù)λ等于)62

B．

637C.

607

D．

657【解析】

∵a，不共線，∴存在，，使c＝xa＋．2x－＝7，∴＝5，3x－2＝λ，

65解得λ＝.【答案】

D6．已知平β是兩個不重合的平面，其法向量分別，給出下列結(jié)論：①若n∥，則α∥；②若，則α⊥；③若n＝，則α⊥β；④若n·n＝，則α∥.其中正確的是()A．①③C．②③【解析】【答案】

B．②D．②④由平面的法向量的定義知①③正確．A7．正方體ABCD－ABD中，MN分別為棱AA和的中點，則111→→sinCM，DN的值為)1

B．

459

19923221992322C.

259

D．

23【解析】設(shè)正方體棱長，以為坐標(biāo)原點，DA，DCDD所在直線分1→

→別為x，y，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可知，－2,1)，D＝，1→→→→－，〈，D〉＝－，sin〈，D〉＝11【答案】

B8．點M在z軸上，它與經(jīng)過坐標(biāo)原點且方向向量為＝(1，－1,1)的直線l的距離為6，則點M的坐標(biāo)是()A．，±2)C．，3)

B．，±3)D．，±1)【解析】

設(shè)M(0,0，)，直線的一個單位方向向s＝(0

333，－，)，3故點M到直線l的距離d＝

→

→

＝

1z－＝6，解得z＝|OM－OM|0【答案】

B9.如圖1，在四棱錐P－中，側(cè)面為正三角形，底面ABCD為正方形，側(cè)面⊥底面，M為底面ABCD內(nèi)的一個動點，且滿足MPMC.則點M在正方形內(nèi)的軌跡為()圖1

2222222222222222【解析】

如圖，以D為原點，DA、DC分別為x，y建立如圖所示空間a3直角坐標(biāo)系，設(shè)M(，設(shè)正方形邊長為，則(，，)，(0，a,，則MC＝x＋MP＝

ay＋a由MP＝|得x＝2，所1以M在正方形內(nèi)的軌跡為一條直線y＝x2【答案】

A10.如圖，在正三棱錐－ABC中，D是側(cè)棱PA中點，O底面的中心，則下列四個結(jié)論中正確的是()圖2A．∥平面PBCB．OD⊥C．OD⊥D．PA＝2OD【解析】連接AO依題意⊥即POA＝90°.∵D為的中

→33300→33300點，∴點在以PA為直徑的圓上，∴OD＝DA＝DP即＝2．【答案】

D二、填空題本大題共小題，每小題5，共20，把答案填在題中的橫線上)11若向a＝，x)＝(1,2,1)＝(1,1,1)，滿足條件－)·(2)－2，則x＝________.【解析】

∵＝，a＝(1,1，)，∴c－a＝(0,0,1－)，∴(－)＝－)(2,4,2)＝－x)＝－2，∴x＝2.【答案】

212若直線l的方向向量與平面的法向量的夾角等于120°則直線l平面α所成的角為________．【解析】【答案】

由題設(shè)，lα所成的角＝90°－－120°)＝13平面α經(jīng)過點且一個法向量(1，－1，－，則軸與平面α的交點坐標(biāo)_→【解析】設(shè)交點M(x,0,0)，AM＝0，2)，平面的一個單位法向量是333n＝(，－，－)，M到平面α的距離＝|AMn＝x＋＝0得x＝2，故軸與平面α交點坐標(biāo)是(－．【答案】

－14已知三棱錐－各頂點的坐標(biāo)分別是(1,0,0)，，B－，(0,0,2)則該三棱錐底面ABC的高＝→→→【解析】

由已知，P＝(－1，－1,0)A(4，－C＝(0，－1,2)．設(shè)平面的法向量n＝，y，)，→nA－4x－＝0，→nA－y＋2＝，

4，則2

取x＝－1，得－1,4,2)．

|n722212|n722212→|n－1×21則h＝＝＝.＋2【答案】

217三、解答題本大題4題，共50，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．)15(本小滿分12如圖，在△ABC中，∠ABC＝，BAC＝AD是BC上的高，沿把△折，使∠＝90°.證明：平面ADB⊥平面BDC；→→設(shè)E為BC的中點，求AD角的余弦值．【解】

圖3證明：∵折起前是上的高，∴當(dāng)△折起后AD⊥DCAD⊥DBDB∩＝D⊥平面BDC，∵AD平面ABD，∴平面ABD⊥平面BDC.由∠BDC＝及(1)知DA，DB兩兩垂直，不妨設(shè)＝1，以為→→→坐標(biāo)原點，以DB，DA所在直線為，，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，易得：13D，C(0,3,0)，A，3)，(，，0)，→→所以E＝(，，－3)，(1,0,0)，

D→→2222221212D→→2222221212→→→→∴DB＝|E|·|

＝

1×

12

224

22＝，22→→所以E與夾角的余弦值是16(本小題分)如圖4在正方體ABCD－CD中，E、分別11是BB、CD的中點．1圖4證明：AD⊥DF；1求與DF所成的角；1證明：面AED⊥面FD.11【解】以D為原點DD為z建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)11正方體的棱長為1則有(1,0,0)(1,1，，(0，，0)D(0,0,1)A(1,0,1)．1→→→→證明：由AD－1,0,0)DF＝(0，，，DDF＝，∴ADDF11→→→AE＝(0,1，，A·DF＝，∴AE⊥DF，AE與DF所成的角為90°.111證明：由以上可知DF⊥平面，又F在平面AFD內(nèi)，∴面AED111⊥面FD1117.(本小題滿分12分)如圖5所示棱錐－ABCD中⊥底面，AB⊥AD⊥CD∠＝60°，PA＝＝E是的中點．證明：圖5

24→→33131324→→2424→→33131324→→24→→4313142⊥；PD⊥平面【證明】

、ADAP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)＝AB＝＝1，則(0,0,1)，∵∠ABC＝60°，∴△為正三角形，13∴C(，，0)(，，)，2323設(shè)D，0)，由⊥，CCD＝0，＝，則D(0，0)，→→∴C＝(－，，0)，又AE＝(，，)，1133∴ECD＝－×＋×＝，→→∴E⊥D，即AE⊥CD法一

→∵P(0,0,1)，∴D＝，

233

，－1)，3又ED＝×＋×(－1)＝0，→→∴D⊥A即PD⊥AE，→→→(1,0,0)∴D0，∴PD，又AB∩＝A，∴PD平面法二

→→(1,0,0)，(，，)，設(shè)平面的一個法向量為n＝(x，y，)，

1142233114223333則

x＝0，＋y＋z＝0，

令y＝2，則＝－，∴n＝，－3)，→→∵D＝，，－，顯然PD＝n.→→∵D∥∴D⊥平面，即PD平面ABE.18遼寧高考)(小題滿分12)如圖6，AB圓的直徑，垂直圓所在的平面，C是圓上的．圖6求證：平面⊥平面PBC；若＝2，1，PA＝1，求二面角A的余弦值．【解】

證明：由是圓的直徑，得AC，由PA⊥平面，BC?面，得⊥.又PA∩＝A?，AC?面PAC，所以⊥平面.因為?面PBC.所以平面PBC⊥平面過CCM∥，則CM⊥平面ABC.如圖，以點C坐標(biāo)原點，分別以直線CB，，CM為軸，軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．在Rt△中，因為＝2，AC＝1，所以3.又因為PA＝1，所以，(30,0)，(0,1,1)．→→故C＝(30,0)，CP＝(0,1,1)．設(shè)平面BCP的法向量為n＝(x，，z)，1111

11112