大一下課件物理第八章靜電學(xué)

第八章

靜電學(xué)本章重點一.電場.電場強度二.高斯定理三.電場力做功電勢第一節(jié)電場電場強度8.1.1.庫倫定律實驗表明：在真空中相對于觀察者靜止的兩點電荷之間的相互作用力的大小與它們所帶電量的乘積成正比，與它們之間距離的平方成反比；作用力的方向沿著兩點電荷的連線，同號電荷相斥，異號電荷相吸。庫侖力的大小可表示為式中稱為真空電容率（介電常數(shù)）庫侖定律的適用條件1.真空中2.靜止的點電荷8.1.2.電場和電場強度1.電場(electricfield)

電場是存在于帶電體周圍空間的特殊物質(zhì)，任何電荷都會在周圍空間產(chǎn)生電場。

產(chǎn)生電場的電荷稱為場源電荷。

與觀察者相對靜止電荷產(chǎn)生的電場稱為靜電場。

處于電場中的任何電荷都會受到電場力的作用靜電場的重要特性：電荷電荷電場電荷之間的相互作用是通過電場實現(xiàn)的靜電場的性質(zhì)1.特殊性:不同于生活中常見的物質(zhì),看不見,摸不著,無法稱重,可以疊加。2.物質(zhì)性：是客觀存在的，具有物質(zhì)的基本屬性，動量和能量。3.基本性：引入電場中的任何帶電體都將受到電場力的作用。當帶電體在電場中移動時，電場力將對帶電體作功，這表示電場具有能量。

2.電場強度(electricfieldintensity)

電場中某點的電場強度在數(shù)值上等于單位正電荷在該點所受的電場力。電場強度是個矢量，它的方向為正電荷在該點所受電場力的方向。試探電荷q0在電場中所受的力與q0的比：，與試探電荷無關(guān)，僅由電場本身的性質(zhì)決定。電場強度定義：單位：N/Cv/m

一般的，電場空間各點的大小和方向都不相同；若電場空間各點的大小和方向都相同，則電場稱為均勻電場或勻強電場。8.1.3.電場強度的計算

1.單個點電荷產(chǎn)生的電場Q

設(shè)真空中有一點電荷，電量為Q，求距離其為r處P點的場強?！r+Q-Q

，表示沿方向的單位矢量則點電荷場強的矢量表達式為點電荷的場強公式是基本公式。用表示P點的矢徑或位置矢量，的方向由Q指向P點

,引入單位矢量2.多個點電荷（點電荷組）產(chǎn)生的電場

—場強疊加原理

若空間有n個點電荷q1、q2、q3…qn組成的點電荷組，求該點電荷組電場中任意一點的場強。

在P點引入試探電荷q0，則q0所受電場力應(yīng)為各個點電荷分別作用于q0的電場力的矢量和：兩邊同時除以q0，則得P點的場強為

點電荷系電場中任一點的場強，等于組成該帶電體系所有點電荷在該點場強的矢量和，這就是場強的疊加原理。上式又可以寫成

式中是P點對第個點電荷位置矢量的單位矢量。3.任意帶電體產(chǎn)生的電場

求帶電量為Q的任意帶電體在空間某點的場強.

任意帶電體的電荷是連續(xù)分布的，計算其場強的方法：Q

1）將帶電體分成無窮多個電荷元,任意電荷元的電量為dq，任意電荷元dq在P的場強為—

微分過程2）應(yīng)用場強疊加原理積分求總場強—

積分過程

上式是矢量積分，要考慮方向。一般是將分解成分量：，然后分別求出則總場強為1.

體電荷密度

帶電體的電荷為體分布，單位體積中含有的電荷，稱為體電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個體元，任意元dv的電量為電荷元dq，則補充材料：電荷密度2.

面電荷密度

帶電體的電荷沿表面分布，單位面積上帶有的電荷，稱為面電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個面元，任意面元ds的電量為電荷元dq，則3.

線電荷密度

帶電體的電荷沿線度分布，單位長度上帶有的電荷稱為線電荷密度。

可將帶電體分成無窮多個線元，任意線元dl的電量為電荷元dq，則

利用點電荷的電場強度公式及電場強度疊加原理求電場強度的步驟：（1）任選一電荷元dq;（2）確定電荷元dq在所求點的場強的方向;

（3）把矢量分解為分量，則矢量積分變?yōu)闃肆糠e分;（4）積分求出的大小和方向。電場強度的總結(jié)1.方向性.

正電荷受力的方向。2.唯一性.

某點的電場強度是唯一的，與檢驗點荷無關(guān)。3.迭加性.在同一空間里，如果有幾個靜止電荷，在空間同時產(chǎn)生電場，那么空間某點的場強是各場源電荷單獨存在時在該點所產(chǎn)生的場強的矢量和。

例1.

一半徑為a的均勻帶電細圓環(huán)，所帶電荷量為q。試計算在圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x0處P點的場強。xx0aOqrP?解：取軸線為x軸在環(huán)上取一線元dl，則線元dl所帶電荷的電量為xx0aOqrP?

將dE分解成沿軸線的x向分量dEx和垂直軸線的y向分量dEy，dEy互相抵消，因此dEy＝0。所以P點的場強應(yīng)為各電荷元x方向場強分量dEx的疊加dExdEy電荷元dq在P點的場強為dE，方向如圖式中xx0aOqrdEdExdEyP?

沿x軸正方向xx0aOqrdEdExdEyP?

例2(P192.8-13題).

一半徑為R的均勻帶電圓盤，面電荷密度為。試求圓盤軸線上距盤心為x處P點的場強。解：利用上題結(jié)果

將圓盤分成無窮多同心細圓環(huán)，任選一半徑為r、厚dr的細圓環(huán)，其電量為dq，則利用圓環(huán)軸線上距環(huán)心為x處P點的場強結(jié)果：,則沿x軸正向

例題3.一長L、帶電量為q的均勻細直棒。棒外一點P到棒的距離為a，P點至棒兩端的連線與棒間的夾角分別為。求P點的場強。

解：取坐標系如圖，P點到棒垂線的垂足為原點。

棒上電荷均勻分布，則線電荷密度為

將棒分成無窮多個線元，在棒上距o點為x處任選一線元dx，dx到P點的距離為l。線元dx所帶的電量為電荷元dq，即電荷元dq在P點場強的大小為:與x軸正向的夾角為。將分解為x向分量和y向分量，則得變量代換：將變量均用變量表示由圖可知對上式兩邊同時微分，得則有同理，可得所以，所求結(jié)果為[注：總場強為]若細棒為無限長，則，可得

即，場強的方向與棒身垂直，且與細棒等距的點場強的大小相等。解：建立坐標系如圖

將板分成無窮多與x軸垂直的無限長均勻帶電的細長條。距o點為x處任選一寬度為dx的細長條，應(yīng)用無限長均勻帶電細直棒的場強結(jié)果：

例題4.一無限長的均勻帶電平面，寬度為a，面電荷密度為。求與板同一平面且距板一側(cè)為b處P點的場強?？傻么思氶L條在P點的場強為方向沿x軸正向。式中為此細長條的線電荷密度。因此

則與板同一平面距板一側(cè)為b處P點的場強為上式的積分，即方向沿x軸正向。

例題5.一半徑為R的無限長均勻帶電1/3圓柱面面電荷密度為求其軸線上任一點的場強。取截面并建立坐標系:如圖

無限長均勻帶電1/3圓柱面可看作由無窮多平行的均勻帶電無限長細長條元組成。

在截面圖的弧上與x軸夾角為處任選一弧元dl，dl對圓心O張的角度為，則解：dl對應(yīng)寬度為dl的無限長細長條元利用無限長均勻帶電細直棒的場強結(jié)果：可得此細長條元在o點（即軸線上）的場強為，方向如圖

由于對稱性，場強dE的y分量抵消，只有x分量，即方向沿x軸正向.第二節(jié)高斯定理及其應(yīng)用8.2.1.電場線電通量1.電場線（electricfieldline)

為了形象的描述電場的分布，在電場中引入一系列曲線，這些曲線上每一點的切線方向都與該點場強的方向一致，這樣的曲線稱為電場線。電場線可以描述場強的方向（1）起于正電荷（或來自無限遠處）,止于負電荷（或伸向無限遠處）；（2）不是閉合曲線，且不會在沒有電荷的地方中斷；（3）任何兩條電場線不會相交。電場線的性質(zhì)：

電場線不僅能表示電場強度的方向，而且根據(jù)電場線在空間的密度分布還能表示電場強度的大小。

2.電場線密度

定義：電場中任意一點場強的大小，在數(shù)值上等于穿過該點垂直于場強方向單位面積的電場線的條數(shù)。這個比值叫做該點的電場線密度

3.電通量（electricflux）

通過電場中某一給定面積S的電場線的數(shù)目稱為通過該面的電通量。用表示。(1)

平面與電場線垂直（勻強電場）S(2)

平面與電場線不垂直（勻強電場）

用表示S面的法線,與場強的夾角為。

顯然，通過S面的電場線的條數(shù)與通過S面在垂直場強方向的投影面S’的條數(shù)相等。qqSS’

或(3)

任意曲面和任意電場dsqES(4)

通過閉合曲面的電通量

對于閉合曲面規(guī)定：由閉合曲面內(nèi)指向曲面外的方向為面積元的法線正方向。因此，電場線由閉合曲面穿出，電通量為正；電場線由曲面外穿入閉合曲面內(nèi)，則電通量為負。電通量是標量,但可以取正值與負值，的正負，取決于曲面法線的選取，規(guī)定法線的正方向是垂直于曲面指向曲面的外側(cè)。

1.如果，電場線由里向外穿出電通量為正。2.如果，電場線由外向里穿過，電通量為負。8.2.2.高斯定理(Gausstheorem)

通過任意一個閉合曲面的電通量等于該閉合面內(nèi)包圍的所有電荷量的代數(shù)和除以真空電容率，而與閉合曲面外的電荷無關(guān)。高斯定理的數(shù)學(xué)表達式：

式中表示閉合曲面內(nèi)所有電荷的代數(shù)和;

閉合曲面S常稱為高斯面.

證明：（1）點電荷q被半徑為r的球面包圍，且q處于球心。E、nSq（2）任意閉合曲面包圍點電荷q即仍有上述形式，即

上面的結(jié)果表明，點電荷對包圍它的同心球面的電通量只與點電荷的電量有關(guān)，而與球面的半徑無關(guān)。點電荷發(fā)出電場線的總條數(shù)為，這些電場線會完全由任意半徑的同心球面穿出。SE、nq（3）任意閉合曲面包圍多個點電荷q1，q2,…,qn

根據(jù)場強疊加原理：則通過S面的電通量為:

上式表示，通過閉合曲面S的電通量，等于各個點電荷對曲面S的電通量的代數(shù)和（電通量的疊加原理）。結(jié)果也有高斯定理的形式。（4）任意閉合曲面不包圍電荷，點電荷q在S面外.結(jié)果也有高斯定理的形式。q?即（5）多個點電荷q1,q2,…,qn，其中k個在閉合曲面S內(nèi),n-k個在閉合曲面S外.

在閉合曲面S外的n-k個點電荷對曲面S的電通量無貢獻，通過閉合曲面S的電通量只決定于曲面S內(nèi)的k個點電荷，則有也有高斯定理的形式。（6）任意閉合曲面內(nèi)包圍一任意帶電體

將帶電體分成無窮多個體元，則任一體元所帶電量為

則由（3）可知（電通量的疊加原理），通過S面的電通量為

式中體積分是對高斯面所包圍的帶電體體積的積分；為帶電體的電量。上式也是高斯定理的形式。綜上所述，證明了高斯定理：注意：1）是包圍在高斯面內(nèi)的所有電荷的代數(shù)和;

應(yīng)用高斯定理求場強簡單且方便，應(yīng)用條件：帶電體系的電荷分布具有對稱性，或場強分布具有對稱性2）是空間的所有電荷（包括高斯面外）在高斯面上產(chǎn)生的合場強（矢量和）。即高斯面外的電荷只對高斯面上的場強有貢獻，對高斯面的電通量無貢獻。所以，若高斯面內(nèi)無電荷，高斯面上的場強不一定處處為零。8.2.3.高斯定理的應(yīng)用例2(P171).

求均勻帶電球面的場強分布。設(shè)帶電球面的半徑為R，帶電量為q。分析：從場源電荷的分布可知場強的分布呈球形對稱，場強方向沿徑向向外，且與球心等距的點場強大小相等，可用高斯定理求解。解：設(shè)場點P到球心的距離為r1）場點在球面外（r>R）

以球心為圓心，r為半徑過場點作一球形高斯面Ss·P高斯定理左邊（通過高斯面S的電通量）：且球面上各點E相等高斯定理右邊:s·P左右兩邊相等，故有

均勻帶電球面外的場強與位于球心的點電荷產(chǎn)生的場強形式相同。或方向沿徑向向外。s·P高斯定理左邊2）場點在球面內(nèi)（r<R

）如圖，以球心為圓心，r為半徑過場點作一球形高斯面S高斯定理右邊·P則有E-r曲線:＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

例題.一半徑為R的均勻帶電球體，體電荷密度為，求空間各點的場強（場強分布）。解：

求空間各點的場強，即求帶電球體內(nèi)外任一點的場強。

1)球體外：設(shè)A為球體外任意一點，距球心o為r。以o為心，r為半徑過A點作一球形高斯面分析對稱性：電荷分布具有球?qū)ΨQ性，因此場強分布具有球?qū)ΨQ性，即與球心等距的點場強大小相等，方向均沿徑向向外,可用高斯定理求解。根據(jù)高斯定理，有

式中，Q為高斯面包圍的電荷，即球體的電量，為

且在高斯面上各點場強大小相等，與積分無關(guān)，則得得若球體帶電量為Q，則有

顯然，球外各點的場強，與將所有電荷放在球心上的點電荷的結(jié)果相同.方向沿徑向向外。

2)球體內(nèi)：設(shè)B為球體內(nèi)任意一點，距球心o為r。以o為心，r為半徑過B點作一球形高斯面根據(jù)高斯定理，有式中，Q內(nèi)為高斯面包圍的電荷，為得方向沿徑向向外。若球體帶電量為Q，則則有

均勻帶電球體的場強與到球心距離的關(guān)系曲線

例題.一無限長均勻帶電細棒，線電荷密度為。求距棒為處的場強。

解：其場強分布具有對稱性，即各處場強均垂直細棒向外，且與棒等距的點場強大小相等，因此可用高斯定理求場強。

以細棒為軸，作一長l，半徑為a的圓柱面，則側(cè)面各點距軸線為a,因此側(cè)面上各點的場強大小相等，方向均沿徑向向外。則根據(jù)高斯定理，對此高斯面的電通量為l對兩底面：對側(cè)面：//，且E大小相等，與積分無關(guān)，則方向垂直細棒向外。

例3(P171).

求無限大均勻帶電平面的場強。設(shè)帶電平面單位面積上所帶電荷量為。分析：由于電荷在無限大平面上均勻分布，則其兩側(cè)的電場對稱分布，即場強方向與帶電平面垂直、與帶電平面等距的點場強大小相等。nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋解：取高斯面如圖

做一底面積為S的圓柱形閉合曲面，使其側(cè)面與帶電平面垂直，兩底面在平面兩側(cè)與平面平行且等距。

高斯定理左邊（通過高斯面S的電通量）：nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋

高斯定理右邊：左右兩邊相等，則

上式表明無限大均勻帶電平面周圍空間的電場是方向與該平面相垂直的勻強電場。nsE＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋另：求兩個均勻帶等量異號電荷的無限大平行平面之間的電場解：利用場強疊加原理及上述結(jié)果便可得到帶電平面之間的場強為：

兩個平行帶電平面外部的場強為：＋＋＋－－－習(xí)題8-8.設(shè)正電荷均勻分布在一半徑為R的很長的圓柱體內(nèi)，體電荷密度為。1）試導(dǎo)出圓柱體內(nèi)離軸線為r（r<R）處的電場強度的表達式（用體電荷密度表示）；2）圓柱體外(r>R)一點電場強度的表達式（用單位長度的帶電量表示。3)r=R時比較1）和2）的結(jié)果。

解:圓柱體均勻帶電，因此電荷分布具有對稱性，其場強分布也具有對稱性，與軸等距的點場強大小相等，而方向均垂直軸線沿徑向向外，所以可用高斯定理求解場強。高斯面應(yīng)取作與圓柱體同軸的圓柱面。設(shè)P為電場中任意一點，距軸線為r。1)圓柱體內(nèi)（r<R

）以r為半徑過P點做一個高h，且與圓柱體同軸的圓柱面為高斯面。根據(jù)高斯定理，有

上底面和下底面的場強方向與外法線的方向垂直

，cos=0。則兩底面的電通量為零；側(cè)面的場強方向與外法線的方向均沿徑向，兩者方向相同；方向沿徑向向外2)

在圓柱體外

（r>R）

以r為半徑過P點做一個高h，且與圓柱體同軸的圓柱面為高斯面。則得同理，有即方向沿徑向向外取長為L的一段帶電圓柱體，則有3）當r=R時，1）與2）的結(jié)果相等，即圓柱體表面上的場強，為

習(xí)題8-22.一厚度為d的無限大均勻帶電平板，體電荷密度為，試求此帶電平板內(nèi)外的場強分布。解：坐標系如圖1）場點在板外（︱x︱>d/2

）

作一柱形高斯面，其側(cè)面與板面垂直；兩底面s和板面平行,且到板中心平面的距離相等，用x表示。根據(jù)高斯定理，有

此柱形高斯面?zhèn)让娴碾娡繛榱?，底面處場強大小相等，且與底面外法線方向一致，因此，兩底面的電通量相等。則有方向垂直板面向外，與距離無關(guān)。2）場點在板內(nèi)（︱x︱

<d/2）

同樣選一柱形高斯面，其側(cè)面與板面垂直；兩底面s和板面平行,且到板中心平面的距離相相等，用x表示。根據(jù)高斯定理，有

此柱形高斯面?zhèn)让娴碾娡繛榱?，底面處場強大小相等，且與底面外法線方向一致，所以兩底面的電通量相等，。則有r方向垂直板面向外，與距離有關(guān)。r習(xí)題8-23.在一體電荷密度為的均勻帶電球體中，有一空心球腔，球體球心O與空腔球心O’的距離為a。試求空腔內(nèi)任意點的電場強度。

解：設(shè)P為空腔內(nèi)任意一點，則P點的場強為實心帶電大球體（）與實心帶電小球體（）在該點場強的矢量和。er

分析：空腔內(nèi)任意點的電場強度可視為實心大球體（體電荷密度為）在該點的電場強度與填滿電荷（體電荷密度為-）的小球在該點的電場強度的矢量和。這種方法稱為補償法。erP點對O點的位置矢量為，對O’點的位置矢量為,則由高斯定理可知

實心帶電大球體在P點的場強為：寫成矢量式為

同理，實心帶電小球體在P點的場強為：則任意一點P的電場強度為er可以應(yīng)用高斯定理求場強的帶電體：無限大的帶電體：平面、平行平面；無限長的帶電體：細直棒、圓柱面、同軸圓柱面、圓柱體；球形帶電體：球面、同心球面。應(yīng)用條件：帶電體系的電荷分布具有對稱性，或場強分布具有對稱性。

場強反映的是靜電場的力的性質(zhì)；電勢反映的是靜電場的能量性質(zhì)；場強是矢量，電勢是標量；兩者本質(zhì)不同，但又有著聯(lián)系。先討論電勢，然后再討論電勢與場強的關(guān)系。第三節(jié)電場力做功電勢一電場力作功1.勻強電場中電場力（恒力）作功Lθab

把一檢驗電荷q0引入到點電荷q的電場中,在電場力作用下,將q0由a點沿任意路徑L移到b點.求這一過程電場力所作的功。

設(shè)a、b兩點的位置矢量分別為

將路徑L分成無窮多個位移元，在任意點C取一位移元，設(shè)C點的位置矢量為，則C點的場強為2.點電荷的電場中移動電荷時電場力所作的功+電場力將移動dl時所作的元功為+則電場力所作的總功為

上式表明，在點電荷的電場中,電場力移動試探電荷所作的功，與電荷運動的路徑無關(guān),只與電荷的始末的位置有關(guān)，即點電荷的電場是保守場。3.任意電場中移動電荷時電場力所作的功

任何帶電體都可以看作由無窮多電荷元組成的，帶電體在空間的場強為各電荷元場強的矢量和：

則在帶電體電場中，將沿任意路徑由a點移到b點時，電場力所作的總功為可得結(jié)論：在任何靜電場中，移動電荷時電場力所作的功只與其始末位置有關(guān)，而與電荷運動的路徑無關(guān)。

結(jié)論表明，靜電場是保守場，靜電力是保守力。

式中右面各項是個電荷元單獨存在時電場力所作的功，均與路徑無關(guān)。

在靜電場中，場強沿任一閉合路徑的積分為零，此式叫做靜電場的環(huán)路定理證明：靜電場的環(huán)路定理：二電勢能電勢

保守力場都可以引入相關(guān)的勢能，如重力場是保守力場，在重力場中有重力勢能。電荷在靜電場中也具有勢能，稱為電勢能，用Ｗ表示。保守力作功等于勢能的增量,因此電場力對電荷所作的功等于電勢能的增量.

電勢能的單位：J(焦耳)1.電勢能

通常規(guī)定無限遠處的電勢能為零，即，試探電荷q0在電場a點的電勢能在數(shù)值上等于將q0

從a點移至無窮遠處(沿任意路徑)時電場力所作的功。

電勢能Ｗa為正，表明電場力作正功,反之則作負功。電勢能是由q0、E共同決定的，顯然與q0有關(guān)。2.電勢

將比值Ｗa/q0定義為a點的電勢，用Ua表示：

此式表明：靜電場中某一點的電勢，在數(shù)值上等于單位正電荷在該點的電勢能。

電勢是標量，也是相對量。對于有限大小的帶電體，一般選無窮遠處為電勢零點。

上式表示：電場中某點的電勢，等于將單位正電荷從該點沿任意路徑移到無窮遠處時電場力所作的功，或等于單位正電荷在該點的電勢能。單位：V—電勢的定義式

電場中兩點間電勢之差稱為電勢差或電壓,即

上式表明a、b兩點間的電勢差在數(shù)值上等于將單位正電荷由a移到b時電場力所作的功。3.電勢的計算1）點電荷電場中任意一點的電勢qra任意一點a的電勢為

選擇點電荷q與a點的連線方向為積分路徑，則—

基本公式2)多個點電荷（點電荷組）電場中任意一點的電勢—電勢疊加原理

空間有n個點電荷q1、q2、q3…qn組成的點電荷組，求該點電荷組電場中任意一點a的電勢。

點電荷組電場中P點的場強等于各個點電荷單獨存在時，在該點產(chǎn)生場強的矢量和,即則a點的電勢為

上式表明，點電荷組電場中某點的電勢，等于各個點電荷在該點電勢的代數(shù)和。

—

電勢疊加原理上式又可以寫成3）帶電體電場中任意一點的電勢Q

帶電體的電荷是連續(xù)分布的，計算其電勢的方法：

（1）將帶電體分成無窮多個電荷元,任意電荷元的電量為dq，任意電荷元dq在a點的電勢為—

微分過程(2）應(yīng)用電勢疊加原理，積分求帶電體在a點的電勢—積分過程

同樣，根據(jù)帶電體電荷的分布，分別引入體電荷密度，面電荷度密，線電荷密度，則計算電勢的途徑：

1）電荷分布已知，場強分布未知，可用上式計算電勢，即

稱為場強積分法計算電勢。

2）場強分布已知，或電荷分布具有對稱性,因而場強用高斯定理易求，則可由電勢的定義求電勢，即稱為電勢疊加法計算電勢；

例題4（175頁）.

半徑為R的球面均勻帶電，帶電量為q，求電勢在空間的分布。

解：均勻帶電球面的場強分布具有對稱性，可用高斯定理求出出其場強分布為球面內(nèi)：球面外：1）球內(nèi)任意一點的電勢（r<R）RE-r曲線2）球外任意一點的電勢（r>R）此例是用場強積分法計算電勢，即

V-r曲線

例題

5.

求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點P的電勢。設(shè)圓環(huán)帶電量為q,半徑為R，P點至圓環(huán)中心O點的距離為x。解：電荷分布已知

在環(huán)上取一線元dl,則線元dl所帶的電量為dq,dq在P點的電勢為xxaOqrP?此例是用電勢疊加法計算電勢，即。

注：由于均勻帶電圓環(huán)軸線上的場強分布已知，因此也可用場強積分法求軸線上任一點P的電勢：

解：將圓盤分成無限多個同心圓環(huán)元，任選一半徑為r、寬dr的圓環(huán)元，其帶電量為

由上題結(jié)果可知此圓環(huán)元在P點的電勢為

例題.一半徑為R的均勻帶電圓盤，面電荷密度為，求軸線上任一點P的電勢。設(shè)P點至圓環(huán)中心O點的距離為x。則圓盤軸線上任一點P的電勢為

例題.一半徑為R的無限長均勻帶電圓柱，體電荷密度為

，求電勢的分布。

解：用高斯定理已求出其場強分布為柱內(nèi)：柱外：

帶電體為無窮長，因此不能選無窮遠處為勢能零點。勢能零點可選在軸線上。設(shè)場點到軸線的距離為r。1）柱內(nèi)（r<R）2）柱外（r>R）

例題.一半徑為R的均勻帶電半圓環(huán)，帶電量為q，求環(huán)心處的電勢。解：注：此題不能利用環(huán)心處的場強，通過場強積分法計算電勢。三等勢面電場強度與電勢的關(guān)系

靜電場中由電勢相等的點所連成的曲面稱為等勢面。

等勢面的特點:1.等勢面1)在等勢面上移動電荷，電場力不作功2）場強處處與等勢面垂直因此，場強處處與等勢面垂直2.

場強與電勢的關(guān)系

兩者本質(zhì)不同，但又有聯(lián)系。兩者的關(guān)系用電勢梯度給出。1)電勢梯度:

將檢驗電荷q0由等勢面S1沿一微小路徑dl移到等勢面S2上。電勢沿法線方向的變化率為電勢沿dl方向的變化率為UU＋dUdlθS1S2q0（8-31）：稱為電勢梯度，表示電勢沿法線方向的變化率；：稱為電勢沿dl方向的變化率，即電勢梯度在dl方向的分量，或稱為dl方向的電勢梯度。2)電勢梯度與場強的關(guān)系

將檢驗電荷q0由等勢面S1沿一微小路徑dl移到等勢面S2上，電場力作功為電場力移動q0作功等于q0電勢能的減少，即因此

上式表明，場強在dl向的分量El,等于該方向上電勢梯度的負值。UU＋dUdlθS1S2q0由上式可得出場強與電勢的關(guān)系：

意義：電場中某點的電場強度等于該點電勢梯度的負值，負號表示電場強度的方向與電勢增加的方向相反。

上面的討論給出求解場強的又一途徑，即由已知的電勢分布求場強。（8-32）例3.

一均勻帶電圓盤，半徑為R，面電荷密度為＋σ，圓盤軸線上點P距盤中心O的距離為x，求P點的電勢和場強。xxPRor

σdr

解：如圖，選軸線為x軸，將圓盤分成無數(shù)個同心圓環(huán)，任選一半徑為r，寬為dr的帶電圓環(huán)元，其帶電量為

利用均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點的電勢結(jié)果，則此圓環(huán)元在P點的電勢為

整個圓盤在P點的電勢為上式的積分：

因為P點是軸線上的任意點，所以這一結(jié)果是沿軸線上的電勢分布，U是x的函數(shù)，可應(yīng)用電勢梯度求x向的場強

若R>>x，則，與無限大均勻帶電平面的場強相同。第四節(jié)電偶極子電偶層心電一電偶極子兩個相距較近的等量異號的點電荷組成的帶電系統(tǒng)叫做電偶極子。稱為電偶極子的電偶極矩-q+q+q-qθpr1rr2r2-r1oθ電偶極子電場的電勢分布

Up與p成正比，與r2成反比，還與方位角有關(guān)。+q-qθpr1rr2r2-r1oθ

除極過程時膜外一點P的電勢大于零。除極過程結(jié)束后，細胞膜完全反向帶電—達到反向極化，膜外一點P的電勢又變?yōu)榱?。P正在除極的心肌細胞心肌細胞的除極：

心肌細胞是可激細胞，其興奮時，細胞膜對各種離子的通透能力發(fā)生變化。結(jié)果在興奮處，細胞膜內(nèi)外兩側(cè)原有的正負電荷消失，發(fā)展成為反向帶電，這一過程稱為除極。二電偶層

分布于細胞膜兩側(cè)的正、負電荷所形成的電偶極子層，簡稱為跨膜電偶層。面元ds

在P點的電勢+σθr++++++++++++++++++-------------σdsP是面元ds對P點所張立體角dΩ

則面積為S的電偶層在P點的電勢為

在電偶層外任一點P處的電勢只決定于電偶層對該點所張的立體角，與電偶層的形狀無關(guān)。心肌細胞的除極與復(fù)極

心肌細胞在靜息狀態(tài)時—（又稱極化狀態(tài)），細胞膜內(nèi)帶負電荷，細胞膜外帶正電荷，形成閉合跨膜電偶層。心肌細胞在靜息狀態(tài)下，膜外任一點P的電勢為零。Ωb+++++++++++++++++++

如圖，電偶層和對P點的立體角相同，但兩電偶層的電偶極矩符號相反，由可知，P點的電勢為零。

心肌細胞經(jīng)過除極達到反向極化后，又開始復(fù)極過程,即細胞膜內(nèi)外由反向帶電狀態(tài)恢復(fù)到原來的帶電狀態(tài)。心肌細胞的復(fù)極：

復(fù)極過程中P點的電勢小于零。復(fù)極過程結(jié)束時，P點的電勢又變?yōu)榱悖募〖毎謴?fù)到極化狀態(tài)。P正在復(fù)極的心肌細胞三心電向量和心電向量環(huán)－＋－＋－＋－＋－＋－＋M

瞬時綜合心電向量（所有瞬時心電向量的矢量和）

空間心電向量環(huán)

心房除極過程的空間向量環(huán)稱P環(huán)；心室除極過程的空間向量環(huán)稱QRS環(huán)；心室復(fù)極過程的空間向量環(huán)稱T環(huán)。

空間心電向量環(huán)在某一平面的投影稱為平面心電向量環(huán)。四體表心電的形成

測量與平面心電向量環(huán)同平面內(nèi)某探查點的心電波形，用環(huán)體投影分割法。O?L導(dǎo)聯(lián)軸O?N導(dǎo)聯(lián)軸第五節(jié)靜電場中的電介質(zhì)8.5.1:電介質(zhì)及其極化電介質(zhì)：是絕緣體，電介質(zhì)內(nèi)部沒有可以自由移動的電荷。(氣體，油類，蠟紙，云母，橡膠等基本不導(dǎo)電的物質(zhì)稱電介質(zhì)）。

將有極分子或無極分子放到外電場中，在外電場作用下電介質(zhì)的表面出現(xiàn)束縛電荷。這種現(xiàn)象，稱為電介質(zhì)的極化。1.電介質(zhì)的極化：電介質(zhì)分無極分子和有極分子。E0E01.

有極分子的取向極化

無外電場作用時，由于分子的熱運動，每個分子電矩的取向是無序的，對外不顯電性。在外電場的作用下，有極分子受到電場力的力矩作用,分子電矩出現(xiàn)轉(zhuǎn)向,結(jié)果在垂直于外電場方向的介質(zhì)端面上出現(xiàn)束縛電荷,這種現(xiàn)象稱為有極分子的取向極化。E0FF2.

無極分子的位移極化

無外電場作用時，無極分子的分子電矩為零，對外不顯電性。在外電場的作用下，無極分子的兩個等效點電荷中心受到方向相反的電場力作用，正負電荷中心相互錯開，分子電矩不再為零，結(jié)果在垂直于外電場方向的介質(zhì)端面上出現(xiàn)束縛電荷，這種極化稱為無極分子的位移極化。3.

電極化強度定義：物理意義:描述電介質(zhì)極化狀態(tài)的物理量。單位：C/m2

若被極化的電介質(zhì)內(nèi)各點的電極化強度的大小和方向都相同，則稱為均勻極化,否則稱為非均勻極化。只討論均勻極化的情況。

電極化強度矢量與束縛電荷面密度的關(guān)系：二電介質(zhì)中的場強在電介質(zhì)內(nèi)：附加場：任意點的場強：稱為電介質(zhì)的電極化率稱為相對電容率

實驗證明：對于各向同性的均勻電介質(zhì)：

如，電量為q的點電荷，在相對電容率為的電介質(zhì)中的場強為稱為電容率

在任何靜電場中，在均勻電介質(zhì)充滿電場的情況下，電介質(zhì)內(nèi)的場強的大小等于自由電荷產(chǎn)生（或真空中）場強的。兩均勻帶電平面間的場強為第六節(jié)電容電場的能量一電容1.孤立導(dǎo)體的電容定義：物理意義：表示使孤立導(dǎo)體升高單位電勢所需要的電荷量，反映了孤立導(dǎo)體存儲電荷的能力。單位：FuFpF1F=106uF=1012pF2.電容器的電容定義：物理意義：反映電容器存儲電荷的能力。1).球形電容器的電容：兩極板間的場強：兩極板間的電勢差：電容：2).同軸圓柱形電容器的電容兩柱面間的電場強度：兩柱面間的電勢差:電容器的電容3).平行板電容器的電容：＋－Sd12在兩極板間填充相對電容率為的電介質(zhì)后二帶電系統(tǒng)的能量

設(shè)某時刻帶電系統(tǒng)的電量為q,現(xiàn)將電荷元dq從無限遠處移到該系統(tǒng)上,則外力反抗電場力所做的功應(yīng)等于其電勢能的增量,即

當導(dǎo)體的帶電量由零增至Q時，具有的靜電能為三靜電場的能量

設(shè)平行板電容器兩極板間的電勢差為（U1-U2）,電荷量為Q，則具有的靜電能為W是靜電場的能量，因此有以平行板電容器為例討論靜電場的能量。在各向同性的均勻電介質(zhì)中：任一帶電系統(tǒng)的電場能：能量密度上面的結(jié)論適用于任何靜電場。例7.

設(shè)半徑為R=10cm的金屬球，帶電量為Q=1.0×10-5C，置于r=2的無限大均勻電介質(zhì)中，求此帶電金屬球電場的能量。drRroQ

解：由高斯定理可知，球外距球心為r處的場強為

電場的能量密度為

以O(shè)點為球心取半徑為r，厚度為dr的同心球殼，其體積為，則該球殼的電場能為帶電金屬球的電場能為第八章小結(jié)1.庫倫定律：適用于真空，靜止，和點電荷的條件。2.電場和電場強度：1）電場是庫倫力的傳遞者。2）電場強度它反映了電場的力的性質(zhì)。3）電場強度是描述電場狀況的最基本的物理量之一。3.電場強度的計算：1）點電荷的場強：2）點電荷系產(chǎn)生的場強：3）帶電體產(chǎn)生的場強：4）具有一定對稱性的帶電體產(chǎn)生的場強：5）通過電勢與場強的關(guān)系求場強：4.電勢的計算：1）點電荷電場中的電勢：2)電勢疊加原理：

3）任一帶電體電場中的電勢：5.靜電場中的電介質(zhì)：1）電介質(zhì)的極化。2）電極化強度與束縛電荷的關(guān)系。3）電介質(zhì)中的場強。6.電容器電容的計算：1）球形電容器電容的計算。2）同軸圓柱形電容器電容的計算。3）平行板電容器電容的計算。結(jié)束謝謝第八章作業(yè)答案1．一無限長的均勻帶電細直棒，線電荷密度為λ，直棒外一點P到棒的距離為a,請用場強疊加原理求P點的場強.

解：過P點作細棒的垂線PO，O為坐標原點，坐標系如圖。在棒上距O為ryaPox處任選一線元，則電荷元方向垂直直棒。2．用電場強度疊加原理求證：無限大均勻帶電平板外一點的電場強度大小為（提示：把無限大帶電平板分解成一個個圓環(huán)或一條條細長線，然后進行積分疊加）xx