初三數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)復(fù)習(xí)專題

z.圓—苑教師一、圓的概念集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長的點(diǎn)的集合；3、圓的部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念：1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓；〔補(bǔ)充〕2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線〔也叫中垂線〕；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系1、點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓；2、點(diǎn)在圓上點(diǎn)在圓上；3、點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓外；三、直線與圓的位置關(guān)系1、直線與圓相離無交點(diǎn)；2、直線與圓相切有一個(gè)交點(diǎn)；3、直線與圓相交有兩個(gè)交點(diǎn)；四、圓與圓的位置關(guān)系外離〔圖1〕無交點(diǎn)；外切〔圖2〕有一個(gè)交點(diǎn)；相交〔圖3〕有兩個(gè)交點(diǎn)；切〔圖4〕有一個(gè)交點(diǎn)；含〔圖5〕無交點(diǎn)；五、垂徑定理垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。推論1：〔1〕平分弦〔不是直徑〕的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；〔2〕弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；〔3〕平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：①是直徑②③④弧?、莼』≈腥我?個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙中，∵∥∴弧弧例題1、根本概念1．下面四個(gè)命題中正確的一個(gè)是〔〕A．平分一條直徑的弦必垂直于這條直徑B．平分一條弧的直線垂直于這條弧所對的弦C．弦的垂線必過這條弦所在圓的圓心D．在一個(gè)圓平分一條弧和它所對弦的直線必過這個(gè)圓的圓心2．以下命題中，正確的選項(xiàng)是〔〕．A．過弦的中點(diǎn)的直線平分弦所對的弧B．過弦的中點(diǎn)的直線必過圓心C．弦所對的兩條弧的中點(diǎn)連線垂直平分弦，且過圓心D．弦的垂線平分弦所對的弧例題2、垂徑定理在直徑為52cm的圓柱形油槽裝入一些油后，截面如下圖，如果油的最大深度為16cm，則油面寬度AB是________cm.2、在直徑為52cm的圓柱形油槽裝入一些油后，，如果油面寬度是48cm，則油的最大深度為________cm.3、如圖，在⊙中，弦，且，垂足為，于，于.〔1〕求證：四邊形是正方形. 〔2〕假設(shè)，，求圓心到弦和的距離.4、：△ABC接于⊙O，AB=AC，半徑OB=5cm，圓心O到BC的距離為3cm，求AB的長．5、如圖，F(xiàn)是以O(shè)為圓心，BC為直徑的半圓上任意一點(diǎn)，A是的中點(diǎn)，AD⊥BC于D，求證：AD=BF.例題3、度數(shù)問題1、：在⊙中，弦，點(diǎn)到的距離等于的一半，求：的度數(shù)和圓的半徑.2、：⊙O的半徑，弦AB、AC的長分別是、.求的度數(shù)。例題4、相交問題如圖，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的長.AABDCEO例題5、平行問題在直徑為50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB與CD之間的距離.例題6、同心圓問題如圖，在兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB，交小圓于C、D兩點(diǎn)，設(shè)大圓和小圓的半徑分別為.求證：.例題7、平行與相似：如圖，是⊙的直徑，是弦，，于.求證：.六、圓心角定理圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論，即：①；②；③；④弧弧七、圓周角定理1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵和是弧所對的圓心角和圓周角∴2、圓周角定理的推論：推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等??；即：在⊙中，∵、都是所對的圓周角∴推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。即：在⊙中，∵是直徑或∵∴∴是直徑推論3：假設(shè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。即：在△中，∵∴△是直角三角形或注：此推論實(shí)是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。【例1】用直角鋼尺檢查*一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖形3-3-19所表示的情形，四個(gè)工件哪一個(gè)肯定是半圓環(huán)形？【例2】如圖，⊙O中，AB為直徑，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分線交⊙O于D，求BC、AD和BD的長．【例3】如下圖，AB為⊙O的直徑，AC為弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．〔1〕求證：AC⊥OD；〔2〕求OD的長；〔3〕假設(shè)2sinA－1=0，求⊙O的直徑．【例4】四邊形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如圖，求BD的長．【例5】如圖1，AB是半⊙O的直徑，過A、B兩點(diǎn)作半⊙O的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半⊙O上C點(diǎn)時(shí)，則有AC·AC＋BC·BC=AB2．〔1〕如圖2，假設(shè)兩弦交于點(diǎn)P在半⊙O，則AP·AC＋BP·BD=AB2是否成立？請說明理由．〔2〕如圖3，假設(shè)兩弦AC、BD的延長線交于P點(diǎn)，則AB2=．參照〔1〕填寫相應(yīng)結(jié)論，并證明你填寫結(jié)論的正確性．八、圓接四邊形圓的接四邊形定理：圓的接四邊形的對角互補(bǔ)，外角等于它的對角。即：在⊙中，∵四邊形是接四邊形∴例1、如圖7-107，⊙O中，兩弦AB∥CD，M是AB的中點(diǎn)，過M點(diǎn)作弦DE．求證：E，M，O，C四點(diǎn)共圓．九、切線的性質(zhì)與判定定理〔1〕切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵且過半徑外端∴是⊙的切線〔2〕性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑〔如上圖〕推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2：過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：①過圓心；②過切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長定理切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即：∵、是的兩條切線∴平分利用切線性質(zhì)計(jì)算線段的長度例1：如圖，：AB是⊙O的直徑，P為延長線上的一點(diǎn)，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，又PC=4，⊙O的半徑為3．求：OD的長．利用切線性質(zhì)計(jì)算角的度數(shù)例2：如圖，：AB是⊙O的直徑，CD切⊙O于C，AE⊥CD于E，BC的延長線與AE的延長線交于F，且AF=BF．求：∠A的度數(shù)．利用切線性質(zhì)證明角相等例3：如圖，：AB為⊙O的直徑，過A作弦AC、AD，并延長與過B的切線交于M、N．求證：∠M=∠MDN．利用切線性質(zhì)證線段相等例4：如圖，：AB是⊙O直徑，CO⊥AB，CD切⊙O于D，AD交CO于E．求證：CD=CE．利用切線性質(zhì)證兩直線垂直例5：如圖，：△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于D，DE切⊙O于D，交AC于E．求證：DE⊥AC．十一、圓冪定理〔1〕相交弦定理：圓兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙中，∵弦、相交于點(diǎn)，∴〔2〕推論：如果弦與直徑垂直相交，則弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵直徑，∴〔3〕切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。即：在⊙中，∵是切線，是割線∴〔4〕割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等〔如上圖〕。即：在⊙中，∵、是割線∴例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，假設(shè)AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，則CE＝_________cm。圖2例3.如圖3，P是⊙O外一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。圖3例4.如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點(diǎn)作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長線交BC于點(diǎn)D，〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長。圖4例5.如圖5，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB圖5例6.如圖6，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作⊙O的切線交AC于E。圖6求證：BC＝2OE。十二、兩圓公共弦定理圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖：垂直平分。即：∵⊙、⊙相交于、兩點(diǎn)∴垂直平分十三、圓的公切線兩圓公切線長的計(jì)算公式：〔1〕公切線長：中，；〔2〕外公切線長：是半徑之差；公切線長：是半徑之和。十四、圓正