一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分

一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分第1頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、兩個(gè)引例二、導(dǎo)數(shù)的定義三、求導(dǎo)舉例四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系本節(jié)內(nèi)容提要第2頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日本節(jié)重點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念；左，右導(dǎo)數(shù)的概念：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。本節(jié)難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)概念的理解；可導(dǎo)的充要條件；利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線（法線）方程；判斷函數(shù)在一點(diǎn)處是否可導(dǎo)和連續(xù)；利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)；教學(xué)方法啟發(fā)式教學(xué)手段多媒體課件和面授講解相結(jié)合教學(xué)課時(shí)

3課時(shí)返回第3頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日一、兩個(gè)引例1、變速直線運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t在某一直線上的位置坐標(biāo)為s，于是該動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由函數(shù)s=s(t)確定。我們要求在某一t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v（t0）。

在時(shí)間段[t0,t0+]內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過(guò)的路程為于是即為該時(shí)間段內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的平均速度。它并不是t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v（t0），但是如果時(shí)間間隔較短，則有

。顯然，時(shí)間間隔越短，平均速度與瞬時(shí)速度v（t0）的近似程度就越好。也就是說(shuō)，當(dāng)

第4頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日無(wú)限縮短時(shí)，平均速度就會(huì)無(wú)限接近于瞬時(shí)速度v（t0），而運(yùn)用我們第一章所學(xué)的極限概念，就有這樣，該極限值就是t0時(shí)刻的瞬時(shí)速度v（t0）。

第5頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日2、曲線的切線設(shè)有曲線C及C上一點(diǎn)M，在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N做割線MN。當(dāng)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)，如果割線MN的極限位置為MT，則稱直線MT為曲線C在點(diǎn)M處的切線。設(shè)割線MN與X軸的夾角為切線MT與X軸的夾角為。曲線方程為y=f(x),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為。于是，割線MN的斜率為：。當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨向點(diǎn)M時(shí)，就有，割線的斜率就會(huì)無(wú)限接近切線的斜率,又由極限的定義，第6頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日有即為切線的斜率。

返回第7頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日二、導(dǎo)數(shù)的定義上面所討論的兩個(gè)問(wèn)題，一個(gè)是物理問(wèn)題，一個(gè)是幾何問(wèn)題。但是當(dāng)我們拋開(kāi)它們的具體意義而只考慮其中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)本質(zhì)上完全相同的一個(gè)極限：即因變量的改變量與自變量的改變量之比，當(dāng)自變量的改變量趨于0時(shí)的極限。這就是導(dǎo)數(shù)。第8頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日1、定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)y取得增量

第9頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日在x0點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，稱為x0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值。注：導(dǎo)數(shù)的定義也可取如下兩種形式：2、區(qū)間可導(dǎo)和導(dǎo)函數(shù)(1)如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)開(kāi)區(qū)間（a,b）內(nèi)每一點(diǎn)x處均可導(dǎo)，則稱函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a,b）內(nèi)可導(dǎo)。

第10頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)若函數(shù)y=f(x)在某一范圍內(nèi)每一點(diǎn)均可導(dǎo)，則在該范圍內(nèi)每取一個(gè)自變量x的值，就可得到一個(gè)唯一對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值，這就構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù)，稱為原函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)，記做導(dǎo)函數(shù)往往簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)。用極限表示為：3、左右導(dǎo)數(shù)(1)稱左極限為函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的左導(dǎo)數(shù)，記做。

第11頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日(2)稱右極限為函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)的右導(dǎo)數(shù)，記做。4、可導(dǎo)的充要條件函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的充要條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等。返回第12頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日三、求導(dǎo)舉例根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)，可分為如下三個(gè)步驟：

第13頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第14頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第15頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第16頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第17頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日返回第18頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)y=f(x)在處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線y=f(x)在處的切線的斜率，即,α為切線與x軸正向的夾角。根據(jù)點(diǎn)斜式直線方程，可得處的切線方程為：相應(yīng)點(diǎn)處的法線方程為：第19頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日第20頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星期日返回第21頁(yè)，共23頁(yè)，2023年，2月20日，星