范數(shù)理論及其應(yīng)用

范數(shù)理論及其應(yīng)用演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有37頁\編輯于星期二（優(yōu)選）范數(shù)理論及其應(yīng)用現(xiàn)在是2頁\一共有37頁\編輯于星期二

第二章范數(shù)理論及其應(yīng)用摘要（P109）

把一個向量（線性空間中的元素）或矩陣與一個非負(fù)實數(shù)聯(lián)系起來，在某種意義下，這個數(shù)值可以代表向量或矩陣的大小度量。向量范數(shù)與矩陣范數(shù)就是這樣的數(shù)值，他們在研究數(shù)值方法的收斂性和穩(wěn)定性以及誤差估計等方面有著重要應(yīng)用。現(xiàn)在是3頁\一共有37頁\編輯于星期二第二章范數(shù)理論及其應(yīng)用主要內(nèi)容1.向量范數(shù)的構(gòu)造與驗證；

2.矩陣范數(shù)的構(gòu)造與驗證；

3.誘導(dǎo)范數(shù)（二者之間的關(guān)系及相容性）；

4.范數(shù)在數(shù)值分析中的應(yīng)用。現(xiàn)在是4頁\一共有37頁\編輯于星期二定義：

設(shè)V是實數(shù)域R（或復(fù)數(shù)域C）上的n維線性空間，對于V中的任意一個向量按照某一確定法則對應(yīng)著一個實數(shù)，這個實數(shù)稱為該向量的范數(shù)，記為，并且要求范數(shù)滿足下列條件：（1）非負(fù)性：當(dāng)（2）齊次性：，k為實數(shù)(或復(fù)數(shù))（3）三角不等式：例：線性空間任何內(nèi)積定義的長度即為范數(shù)。向量的范數(shù)現(xiàn)在是5頁\一共有37頁\編輯于星期二例：在n維酉空間Cn中，對于任意的向量分別定義（1）（2）（3）證明都是Cn上的范數(shù)，并且還有現(xiàn)在是6頁\一共有37頁\編輯于星期二引理（Holder不等式）：設(shè)則(p>1,q>1,)引理（Minkowski不等式）：設(shè)則對任何p≥1

都有現(xiàn)在是7頁\一共有37頁\編輯于星期二證明以代入下式則

現(xiàn)在是8頁\一共有37頁\編輯于星期二此不等式兩端同除以，根據(jù)可得

現(xiàn)在是9頁\一共有37頁\編輯于星期二定義：設(shè)向量，對任意的數(shù)，稱為向量的p-范數(shù)。常用的p-范數(shù)：（1）1-范數(shù)

（2）2-范數(shù)（3）∞-范數(shù)P-范數(shù)現(xiàn)在是10頁\一共有37頁\編輯于星期二證明：令，則于是有另一方面故由此可知現(xiàn)在是11頁\一共有37頁\編輯于星期二利用已知向量范數(shù)可以去構(gòu)造新的范數(shù)。例1

設(shè)是Cm上的向量范數(shù)，且(m≥n)，則由所定義的是Cn上的向量范數(shù)。例2

設(shè)V數(shù)域數(shù)域F上的n維線性空間，為其一組基底，那么對于V中的任意一個向量可唯一地表示成又設(shè)是Fn上的向量范數(shù)，則由所定義的是V上的向量范數(shù)。現(xiàn)在是12頁\一共有37頁\編輯于星期二定義設(shè)是n維線性空間V上定義的兩種向量范數(shù)，如果存在兩個與無關(guān)的正數(shù)d1,d2使得則稱該兩范數(shù)等價。定理有限維線性空間V上的任意兩個向量范數(shù)都是等價的。范數(shù)等價現(xiàn)在是13頁\一共有37頁\編輯于星期二定義

對于任何一個矩陣，用表示按照某一確定法則與矩陣A相對應(yīng)的一個實數(shù)，且滿足（1）非負(fù)性：當(dāng)，當(dāng)（2）齊次性：為任意復(fù)數(shù)。（3）三角不等式：對于任意兩個同階矩陣A,B都有（4）矩陣乘法的相容性：對于任意兩個可以相乘的矩陣A,B，都有那么我們稱是矩陣A的范數(shù)。矩陣范數(shù)現(xiàn)在是14頁\一共有37頁\編輯于星期二例1對于任意，定義證明如此定義的||A||為矩陣A的范數(shù)。證明

只需要驗證此定義滿足矩陣范數(shù)的四條性質(zhì)即可。非負(fù)性，齊次性與三角不等式容易證明?，F(xiàn)在驗證乘法的相容性。設(shè)，則現(xiàn)在是15頁\一共有37頁\編輯于星期二例2

設(shè)矩陣，證明：是矩陣范數(shù)。證明：非負(fù)性、齊次性和三角不等式容易證得?，F(xiàn)在我們考慮乘法的相容性。設(shè)，那么因此為矩陣A的范數(shù)?，F(xiàn)在是16頁\一共有37頁\編輯于星期二例3對于任意，定義可以證明也是矩陣A的范數(shù)。我們稱此范數(shù)為矩陣的Frobenious范數(shù)。證明：此定義的非負(fù)性、齊次性是顯然的。利用Minkowski不等式容易證明三角不等式。現(xiàn)在我們驗證乘法的相容性。設(shè)，則

現(xiàn)在是17頁\一共有37頁\編輯于星期二于是有例4

對于任意，定義證明如此定義的是矩陣A的范數(shù)。證明

首先注意到這樣一個基本事實，即由上一個例題可知此定義滿足范數(shù)的性質(zhì)?，F(xiàn)在是18頁\一共有37頁\編輯于星期二（1）如果，那么（2）（3）對于任何m階酉矩陣U與n階酉矩陣V都有Frobenious范數(shù)的性質(zhì)現(xiàn)在是19頁\一共有37頁\編輯于星期二定理設(shè)是矩陣A的任意兩種范數(shù)，則總存在正數(shù)d1,d2，使得矩陣范數(shù)的等價性現(xiàn)在是20頁\一共有37頁\編輯于星期二定義

設(shè)是向量范數(shù)，是矩陣范數(shù)，如果對于任何矩陣A與向量X都有則稱矩陣范數(shù)與向量范數(shù)是相容的。例1

矩陣的Frobenius范數(shù)與向量的2-范數(shù)是相容的。證明

因為誘導(dǎo)范數(shù)(從屬范數(shù))現(xiàn)在是21頁\一共有37頁\編輯于星期二根據(jù)Hoider不等式可以得到于是有現(xiàn)在是22頁\一共有37頁\編輯于星期二例2

設(shè)是向量的范數(shù)，則滿足矩陣范數(shù)的定義，且是與向量范數(shù)相容的矩陣范數(shù)。證明首先我們驗證此定義滿足范數(shù)的四條性質(zhì)。非負(fù)性，齊次性與三角不等式易證。現(xiàn)在考慮矩陣范數(shù)的相容性。設(shè)向量X1滿足||X1||α=1，且||AB||i=||ABX1||α，則現(xiàn)在是23頁\一共有37頁\編輯于星期二因此滿足矩陣范數(shù)的定義。最后證明與是相容的。

由上面的結(jié)論可知這說明與是相容的。定義上面所定義的矩陣范數(shù)稱為由向量范數(shù)所誘導(dǎo)的誘導(dǎo)范數(shù)或算子范數(shù)，也稱為的從屬范數(shù)?，F(xiàn)在是24頁\一共有37頁\編輯于星期二向量p-范數(shù)所誘導(dǎo)的矩陣范數(shù)稱為矩陣p-范數(shù)，即常用的矩陣p-范數(shù)為，和。定理設(shè)，則（1）稱此范數(shù)為矩陣A的列和范數(shù)。（2）表示矩陣AHA的第j個特征值。我們稱此范數(shù)為矩陣A的譜范數(shù)?，F(xiàn)在是25頁\一共有37頁\編輯于星期二（3）我們稱此范數(shù)為矩陣A的行和范數(shù)。

證明：記（1）設(shè)||X||1=1，則設(shè)j=k為其最大者,令X的第k個坐標(biāo)為1，其它都為零，則即現(xiàn)在是26頁\一共有37頁\編輯于星期二（2）設(shè)||X||2=1，由因為

AHA為半正定共軛對稱矩陣，因此存在非負(fù)實特征值因此有及其標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量取X=p1，則有即現(xiàn)在是27頁\一共有37頁\編輯于星期二（3）設(shè)||X||∞=1，則設(shè)i=k為其最大者,令X的第j個坐標(biāo)為即則有現(xiàn)在是28頁\一共有37頁\編輯于星期二例1設(shè)，計算，，和。解因為，所以現(xiàn)在是29頁\一共有37頁\編輯于星期二例2證明：對于任何矩陣都有證：容易證明下面證明設(shè)AAH的一個非零特征值為λ，對應(yīng)特征向量為p，則有現(xiàn)在是30頁\一共有37頁\編輯于星期二因此AHp為AHA的非零特征向量，對應(yīng)特征值為λ，即AAH的非零特征值都是AHA的特征值。類似可以證明，AHA的非零特征值都是AAH的非零特征值。因此AAH與AHA具有相同非零特征值。因此。另一方面，由知(AT)HAT與AAH有相同的特征值，因此其余不等式證明作為練習(xí)?，F(xiàn)在是31頁\一共有37頁\編輯于星期二如何由矩陣范數(shù)構(gòu)造與之相容的向量范數(shù)？定理設(shè)是矩陣范數(shù)，則存在向量范數(shù)使得證明對于任意的非零向量，定義向量范數(shù)容易驗證此定義滿足向量范數(shù)的三個性質(zhì)，且現(xiàn)在是32頁\一共有37頁\編輯于星期二例3設(shè)是上的相容矩陣范數(shù)。證明：（1）

（2）為可逆矩陣，為的非零特征值，則有現(xiàn)在是33頁\一共有37頁\編輯于星期二范數(shù)的應(yīng)用矩陣的非奇異性條件定理1：設(shè)，且對范數(shù)有，則I-A非奇異，且證明：用反