連續(xù)型隨機(jī)變量

連續(xù)型隨機(jī)變量演示文稿現(xiàn)在是1頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日（優(yōu)選）第二節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量現(xiàn)在是2頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日p.d.f.

p(x)的性質(zhì)

常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能

在p(x)

的連續(xù)點(diǎn)處，p(x)描述了ξ在

x

附近單位長(zhǎng)度的區(qū)間內(nèi)取值的概率.否作為連續(xù)性r.v.的p.d.f.現(xiàn)在是3頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線段質(zhì)量長(zhǎng)度密度的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對(duì)連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)現(xiàn)在是4頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日注意:對(duì)于連續(xù)型r.v.ξ,P{ξ=a}=0其中a

是隨機(jī)變量

ξ

的一個(gè)可能的取值事實(shí)上現(xiàn)在是5頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日命題

連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強(qiáng)調(diào)概率為0(或1)的事件未必不發(fā)生(或必發(fā)生)?，F(xiàn)在是6頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日xyabOp(x)對(duì)于連續(xù)型r.v.ξ，其密度函數(shù)為

p(x)現(xiàn)在是7頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日如下圖所示bxp(x)aO現(xiàn)在是8頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例1已知某型號(hào)電子管的使用壽命ξ(1)求常數(shù)c(3)已知一設(shè)備裝有3個(gè)這樣的電子管,每個(gè)電子(2)

計(jì)算為連續(xù)r.v.,其p.d.f.為管能否正常工作相互獨(dú)立,求在使用的最初1500小時(shí)只有一個(gè)損壞的概率.現(xiàn)在是9頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日解(1)令c=1000(2)

現(xiàn)在是10頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日(3)設(shè)在使用的最初1500小時(shí)三個(gè)電子管中設(shè)A

表示一個(gè)電子管的壽命小于1500小時(shí)損壞的個(gè)數(shù)為則現(xiàn)在是11頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例2：設(shè)隨機(jī)變量ξ具有概率密度求：（1）常數(shù)a；（2）（3）ξ的分布函數(shù)F(x)解：（1）由概率密度的性質(zhì)可知所以a＝1/2現(xiàn)在是12頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是13頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機(jī)變量的分布若ξ的p.d.f.

為則稱ξ

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

ξ

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作現(xiàn)在是14頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日ξ

的分布函數(shù)為現(xiàn)在是15頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日xp(x)abxF(x)ba現(xiàn)在是16頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日即ξ落在(a,b)內(nèi)任何長(zhǎng)為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān),只與其長(zhǎng)度成正比.這正是幾何概型的情形.應(yīng)用場(chǎng)合進(jìn)行大量數(shù)值計(jì)算時(shí),若在小數(shù)點(diǎn)后第k

位進(jìn)行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的r.v.隨機(jī)變量.現(xiàn)在是17頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計(jì)時(shí)精度是取最近的刻度值,求使用該表計(jì)時(shí)產(chǎn)生的隨機(jī)誤差ξ的p.d.f.并計(jì)算誤差的絕對(duì)值不超過0.004秒的概率.解

ξ等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則現(xiàn)在是18頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日(2)指數(shù)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作ξ

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)現(xiàn)在是19頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日1xF(x)0xp(x)0現(xiàn)在是20頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日對(duì)于任意的0<a<b,應(yīng)用場(chǎng)合用指數(shù)分布描述的實(shí)例有：隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間電話問題中的通話時(shí)間無(wú)線電元件的壽命動(dòng)物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似現(xiàn)在是21頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日若ξ~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠(yuǎn)年輕”的分布指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”事實(shí)上命題現(xiàn)在是22頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例4

假定一大型設(shè)備在任何長(zhǎng)為

t

的時(shí)間內(nèi)求發(fā)生故障的次數(shù)相繼兩次故障的時(shí)間間隔T的概率分布;(2)設(shè)備已正常運(yùn)行８小時(shí)的情況下,再正常運(yùn)行10小時(shí)的概率.解(1)現(xiàn)在是23頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日即(2)由指數(shù)分布的“無(wú)記憶性”現(xiàn)在是24頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日(3)正態(tài)分布若ξ的p.d.f.為則稱ξ服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作ξ~N(,2)為常數(shù)，亦稱高斯(Gauss)分布現(xiàn)在是25頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日N(-3,1.2)現(xiàn)在是26頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日p(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對(duì)稱,即在x=

時(shí),p(x)取得最大值在x=±

時(shí),曲線

y=p(x)在對(duì)應(yīng)的曲線

y=p(x)以x軸為漸近線。曲線

y=p(x)的圖形呈單峰狀。p(+x)=p(-x)點(diǎn)處有拐點(diǎn)。現(xiàn)在是27頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是28頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日

p(x)的兩個(gè)參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對(duì)于不同的,對(duì)應(yīng)的p(x)—形狀參數(shù)固定，對(duì)于不同的，p(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)更靠近直線x=.附近值的概率更大.x=1所對(duì)應(yīng)的拐點(diǎn)前者取的形狀不變化，只是位置不同。現(xiàn)在是29頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比大小現(xiàn)在是30頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日正態(tài)變量的條件若r.v.

ξ①受眾多相互獨(dú)立的隨機(jī)因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負(fù)影響可以疊加則稱ξ為正態(tài)r.v.現(xiàn)在是31頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日可用正態(tài)變量描述的實(shí)例極多：各種測(cè)量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強(qiáng)度；熱噪聲電流強(qiáng)度；學(xué)生的考試成績(jī)；現(xiàn)在是32頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為其值有專門的表供查.——標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)現(xiàn)在是33頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日現(xiàn)在是34頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日-xx現(xiàn)在是35頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日對(duì)一般的正態(tài)分布：ξ~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換現(xiàn)在是36頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例5設(shè)ξ~N(1,4),求P(0ξ1.6)解現(xiàn)在是37頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例6已知且P(2<ξ<4)=0.3,求P(ξ<0).解一現(xiàn)在是38頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日解二圖解法0.2由圖0.3現(xiàn)在是39頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例7設(shè)求下列概率值：因?yàn)榍蟮孟铝懈怕手惮F(xiàn)在是40頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日準(zhǔn)則正態(tài)r.v的值幾乎都落在內(nèi)3σ原則：現(xiàn)在是41頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日一次試驗(yàn)中,ξ落入?yún)^(qū)間(-3,+3)由3原理知，當(dāng)?shù)母怕蕿?.9974,而超出此區(qū)間可能性很小現(xiàn)在是42頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)ξ~N(0,1),0<<1,稱滿足的點(diǎn)z

為ξ的上分位數(shù)

常用數(shù)據(jù)現(xiàn)在是43頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例8

設(shè)測(cè)量的誤差ξ~N(7.5,100)(單位:米)問要進(jìn)行多少次獨(dú)立測(cè)量，才能使至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過10米的概率大于0.9?解現(xiàn)在是44頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日設(shè)A

表示進(jìn)行n次獨(dú)立測(cè)量至少有一次誤差的絕對(duì)值不超過10米。n>3故至少要進(jìn)行4次獨(dú)立測(cè)量才能滿足要求.現(xiàn)在是45頁(yè)\一共有47頁(yè)\編輯于星期日例9：某儀器需安裝一個(gè)電子元件，要求電子元件的使用壽命不低于1000小時(shí)即可?，F(xiàn)有甲乙兩廠的電子元件可供選擇，甲廠生產(chǎn)的電子元件