信息光學第一章常用函數(shù)

信息光學第一章常用函數(shù)第1頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日2光學一．課程簡介應用光學

幾何光學物理光學量子光學也稱為波動光學光的電磁理論光的疊加和分解光的干涉光的衍射光的偏振及光在各向異性的媒質(zhì)中傳播時所表現(xiàn)出的現(xiàn)象光的散射、色散和吸收光的產(chǎn)生光的接收第2頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日3本課程為《物理光學》教材：謝敬輝、趙達尊、閻吉祥，《物理光學教程》；北京理工大學出版社，2005年1月參考書：1、梁銓廷《物理光學》，電子工業(yè)出版社，2008.5第3版版；2、劉晨主編《物理光學》，合肥工業(yè)大學出版社2007.5；3、趙凱華、鐘錫華《光學》，北京大學出版社2001.6；4、潘篤武、賈玉潤、陳善華《光學》，復旦大學出版社1997.12；5、Hecht·ZajacOptics

Addison-WesleyPublishingCopmpany1974.2第3頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日4主要講述的內(nèi)容：1．光的電磁波性質(zhì)2．光的疊加和分解3．光的干涉特性4．光的衍射特性5．光的偏振特性(貫穿在課程當中)6．傅立葉光學的一點點基礎知識(貫穿在課程當中)第4頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日5二．標準形式的一維非初等函數(shù)

1．矩形函數(shù)

——又稱門函數(shù)，記為rect(x)或Π(x)其定義如下：在光學上，常用矩形函數(shù)表示狹縫形孔徑和矩形光源等。圖1矩形函數(shù)由圖形可以看出，矩形函數(shù)曲線下面積為1，即：第5頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日62．三角形函數(shù)

三角形函數(shù)記為tri(x)或Λ(x)?；蛘呤牵?/p>

其定義為：第6頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日7圖2x三角形函數(shù)也具有曲線下的面積等于1的性質(zhì)，即滿足：第7頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日83．符號函數(shù)符號函數(shù)又稱為正負號函數(shù)，記為sgn(x)。

其定義為：圖3第8頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日94．階躍函數(shù)階躍函數(shù)又稱為海維塞德(Heaviside)函數(shù)，記為step(x)或H(x)。其定義為：

在光學上，常用階躍函數(shù)表示刀口或直邊衍射物體；在電子學中，則經(jīng)常用來表示一個開關信號。圖4step(x)的圖形第9頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日105．sinc函數(shù)

sinc函數(shù)記為sinc(x)其定義為：如果將自變量換乘角度，則可以寫成：

這種形式比較常用。第10頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日11sinc函數(shù)的圖形由寬度為2的中央主瓣和一系列寬度為1的旁瓣組成。圖5sinc函數(shù)sinc函數(shù)也具有曲線下面積為1的性質(zhì)，即滿足：第11頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日126．sinc2函數(shù)sinc2函數(shù)的定義直接由sinc函數(shù)的定義給出，對于常用的sinc函數(shù)定義，有：第12頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日13圖6sinc2函數(shù)在光學上，sinc2函數(shù)表示單縫夫瑯和費衍射的強度分布。第13頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日147．高斯函數(shù)高斯函數(shù)記為Gaus(x)，其定義為：圖7高斯函數(shù)Gaus(x)第14頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日15高斯函數(shù)在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中表示正態(tài)分布事件的分布函數(shù)。在線性系統(tǒng)分析中，高斯函數(shù)是很有用的數(shù)學工具，它具有一些特殊的性質(zhì)：*其次，高斯函數(shù)是一個自傅立葉變換函數(shù)，即它的傅立葉變換仍然是個高斯函數(shù)。*首先，它的各階導數(shù)都是連續(xù)的，因此是一個良好的平滑函數(shù)；第15頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日16七種非初等函數(shù)的定義；嚴格來講其中的sinc函數(shù)和高斯函數(shù)并不屬于非初等函數(shù)，但是它們在描述光場及其變換的作用與其它非初等函數(shù)類似；在某些非初等函數(shù)的定義式中，給出了間斷點處的函數(shù)值，規(guī)定它等于該間斷點處左、右極限的平均值，在實際運算中，可以不考慮間斷點處的函數(shù)值，即可以將這些點看作連續(xù)點。如對rect(x)進行積分，其積分域可取為：小結：第16頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日17在描述復雜的物理過程時，常常需要將標準形式的非初等函數(shù)進行比例縮放、平移、反射或四則運算，構成復雜的函數(shù)形式。

1．比例縮放、平移和反射

a為縱向縮放因子，確定函數(shù)fold(x)的縱向縮放比例和反射(對于對稱函數(shù)而言，其反射軸為fnew(x)=b)；b為縱向平移因子；x0表示橫向平移因子；fnew(x)一般形式的非初等函數(shù)fold(x)表示標準形式的非初等函數(shù)三．一維非初等函數(shù)的一般形式第17頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日18對于階躍函數(shù)：和符號函數(shù)：因為其定義域無窮大，故參數(shù)L不表示橫向放大，只表示函數(shù)圖形以x=x0為軸的反射。這一類以x=x0為軸對稱的函數(shù)，參數(shù)L只表示橫向縮放比例，因而可以取絕對值；

對于L為橫向縮放因子，確定函數(shù)fold(x)的橫向縮放比例及反射(對于對稱函數(shù)而言，其反射軸為x=x0)。第18頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日19例如，將標準形式的矩形函數(shù)進行比例縮放、平移和反射。一般形式的矩形函數(shù)表示為：

圖8一般形式的矩形函數(shù)第19頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日20例1、畫出函數(shù)的圖形。解：為了說明各個參數(shù)的作用，作圖可分為幾步完成圖9具體階躍函數(shù)的作圖第20頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日21

某些復雜的物理過程可以通過非初等函數(shù)之間的四則運算和復合來描述。10-x0x0Ll-L-2L0f(x)x圖10矩形調(diào)制波例如矩形調(diào)制波可表示為：2．非初等函數(shù)的四則運算和復合第21頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日22四．常用二維非初等函數(shù)

1、直角坐標系中的二維非初等函數(shù)

2、極坐標系中的二維非初等函數(shù)3、二維非初等函數(shù)的一般形式

如果二維函數(shù)f(x，y)可以表示為

f(x，y)=f1(x)?f2(y)的形式，則稱f(x，y)為可分離變量函數(shù)。將二維可分離變量作為一維函數(shù)來處理，可以使運算過程簡化。二維物理量可以在不同的坐標系中來描述，而選擇坐標系的原則是有利于簡化運算，即：描寫二維某物理量的二維函數(shù)→可分離變量函數(shù)，非對稱性的物理量通常在直角坐標系中描述；而具有圓對稱分布的物理量則最好在極坐標系中描述。例如，rect(x，y)→rect(r，θ)第22頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日23(1)二維矩形函數(shù)，定義式為：

圖11在光學問題中，常用來描述一個均勻照明方形小孔的振幅透射系數(shù)。二維矩形函數(shù)的一般表達式為：

它表示中心位于(x0，y0)，邊長為a×b的均勻照明矩形孔的振幅透射系數(shù)。

————可分離變量函數(shù)1、直角坐標系中的二維非初等函數(shù)第23頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日24(2)二維三角形函數(shù)標準形式的二維三角形函數(shù)的定義為：

它的圖形在x=0或y=0的截面是一維的三角形函數(shù)，在x=y的截面則是一對拋物線，構成一個曲線四棱錐圖形圖12第24頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日25(3)二維階躍函數(shù)二維階躍函數(shù)又稱為直邊函數(shù)，它的定義式為：f(x，y)=step(x)在光學問題中，常用二維階躍函數(shù)表示無窮大半平面的振幅透射系數(shù)或刀口濾波器函數(shù)。圖13第25頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日26(1)二維高斯函數(shù)：由于是圓對稱函數(shù)，因此可以用極坐標表示：

2、極坐標系中的二維非初等函數(shù)所以二維高斯函數(shù)分布與θ無關。

第26頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日27圓域函數(shù)又稱為圓柱函數(shù)，記為circ(r)或cycl(r)。在極坐標系中，圓域函數(shù)的定義為：圓域函數(shù)在直角坐標系中的定義為：

在光學中，圓域函數(shù)常常用來描述均勻照明圓形孔徑的透射系數(shù)。圖14(2)圓域函數(shù)第27頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日283．二維非初等函數(shù)的一般形式

*下面舉例說明。*和一維非初等函數(shù)的標準形式類似，通過平移和比例縮放，上面幾種二維非初等函數(shù)的標準形式可以衍生出復雜的二維非初等函數(shù)，其規(guī)則和一維的情形相同。*但是，二維非初等函數(shù)可以通過自變量的坐標線性變換，產(chǎn)生更復雜的函數(shù)。這在研究復雜的光學變換中是很有用處的。第28頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日29g(x'，y')=rect(x')令x'=ax+by+c所以方程：確定了(x，y)坐標系中該二維狹縫函數(shù)取值為1的區(qū)域。(1)二維狹縫函數(shù)的坐標變換g(x，y)=rect(ax+by+c)a>0，b<0，c<0圖15xy第29頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日30g(x'，y')=rect(x')rect(y')(2)二維矩形函數(shù)的坐標線性變換存在方程：

這是兩組相交的平行線，顯然，只要a1b2-a2b1≠0，兩組平行線將部分重疊。第30頁，共32頁，2023年，2月20日，星期日31θ1=arctan(-a1/b1)xyθ2=arct