回旋線坐標計算

回旋線坐標計算摘要：利用回旋線的直角坐標方程、改進的坐標轉換公式，從解析法的角度推導出回旋線上橋的樁位坐標計算公式。并用Qbasic語言編程計算。關鍵詞：解析法；回旋線；樁位坐標；編程計算隨著物質、文化生活的提高，人們對自身周圍生活環(huán)境提出了愈來愈高的要求，橋梁設計也愈來愈多地考慮人們對審美觀的需求，于是，近幾年曲線橋紛涌出現(xiàn)。位于圓曲線上的橋，其橋軸線各點及樁位坐標，利用圖解法比較容易得到；而位于回旋線上的橋，要精確地解出各樁位坐標，利用圖解法相當困難。本文就解析法精確求解該類樁位坐標的一系列公式進行推導。1回旋線的數學公式以回旋線的原點為坐標原點建立如圖1所示的直角坐標系。設：0為回旋線的原點；T為P點的切線角；X、Y為P點的X、Y坐標；R為P點的回旋曲線半徑；L為從回旋線原點到P點的曲線長。則回旋線在直角坐標系下的數學公式為X=LX[1-L2/(40R2)+L4/(3456R4)—L6/(599040R6)+???]Y=L2/(6R)X[1—L2/(56R2)+L4/(7040R4)—L6/(1612800R6)+???] (1)2采用方位角0后的坐標轉換公式建立如圖2所示大地坐標系XOY，和一局部直角坐標系X，O'Y'。P點為局部坐標系X'O'Y'中的任意一點，設坐標系X'O'Y'的X'軸在大地坐標系X0Y中所成的方位角為0，如圖2所示，則用解析法很容易得到P點的局部坐標和大地坐標之間的關系式：XP=X0'+XP'cos0+YP'sin0YP=Y0'+XP'sin0—YP'cos0 (2)式中X0' 為坐標系X'O'Y'的坐標原點0'在大地坐標XOY中的X軸坐標；Y0' 為坐標系X'O'Y'的坐標原點O'在大地坐標系XOY中的Y軸坐標；0 為坐標系X'O'Y'的X'軸在大地坐標系XOY中的方位角。圖1回旋線的直角坐標系示意圖2坐標轉換示意以上是在第一象限推得，在其余三個象限同樣適用。3回旋線上橋的各樁位坐標計算步驟3.1局部坐標系下回旋線上橋中線各點坐標計算求回旋線上橋中線各點PiO至回旋線起點O'的長度LiLi=橋中線各點PiO的樁號一回旋線起點樁號對于橋所在的回旋線的各參數：A、Ry、Ls均為已知。這里的Ry為回旋線終點的曲率半徑。由回旋線的性質可知：A2=RL=RYLs，則R=RyLs/L代入式(1)可得回旋線上曲線橋中線各點局部坐標：XiO'=LX：1-L4/(40Ry2Ls2)+L8/(3456Ry4Ls4)—L12/(599040Ry6Ls6)+…]YiO'=L3/(6RyLs)X[l—L4/(56Ry2Ls2)+L8/(7040Ry4Ls4)—L12/(1612800Ry6Ls6)+…] (3)3.2局部坐標系下回旋線上橋各樁位坐標計算設：橋各樁位Pij距路線中心的距離為Di,PiO(XiO',YiO')到回旋線起點的長度為Li。過PiO點的切線方程為：Y'=KX(X'—XiO')+YiO'其中：K=tanT；T=Li2/(2A2)=Li2?(2RLs)。其法線方程為：Y'=—1/KX(X'—XiO')+YiO'即：Y'=—1/tanTX(X'—Xio')+YiO'由以下聯(lián)立方程：Y'=—1/TANtX(X'—XiO')+YiO'Di2=(X'—XiO')2+(Y'—YiO')2 (4)可求得各樁位坐標：X'i1=XiO'+DiXsinTY'i1=YiO'—DiXcosTX'i2=XiO'—DiXsinTY'i2=YiO'+DiXcosT (5)T 為銳角。橋樁位通常對稱分布于橋中線兩側，所以求出兩組方程解。當樁位不對稱時，可根據其相對于PiO的坐標(XiO',YiO')的大小，判斷解的取舍。3.3將所求回旋線上曲線橋各樁位局部坐標轉換為大地坐標3.3.1求局部坐標系X'O'Y'的X'軸在大地坐標系XOY中的方位角

設P1、P2為局部坐標系X'軸上任意兩點(X1'<X2')，在大地坐標系下的坐標為(XI、Y1)、(X2、Y2)。令⑽Y=Y2—Y1、⑽X=X2—X1則tan0=(10)Y?⑽X，求得a=tan—1(⑽Y?⑽X)。由⑽Y、⑽X的正、負號判斷方位角P所在的象限，來確定0值：⑽Y=0、⑽X>0時,=0⑽Y=0、⑽X<0時,0在X軸負向，0⑽Y>0、⑽X⑽Y=0、⑽X>0時,=0⑽Y=0、⑽X<0時,0在X軸負向，0⑽Y>0、⑽X=0時,0在Y軸正向，0=0.5n(10)YV0、⑽X=0時,0在Y軸負向，01.5n⑽Y>0、(10)X>0時,0在第一象限，0⑽Y>0、⑽X<0時,0在第二象限，0+n⑽Y<0、⑽X<0時,0在第三象限，0+n⑽Y<0、⑽X>0時,0在第四象限，0+2n3.3.2局部坐標值代入坐標轉換公式求大地坐標將求得的各局部坐標值分別代入式(2)求得的各大地坐標值:Xi=X0'+Xi'cos0+Yi'sin0Yi=Y0'+Xi'sin0—Yi'cos0 (6)圖3橋橫斷面示意單位：mm圖4橋位平面示意4具體應用實例G104泗縣繞城公路改建工程，全長4.45984km。其k0+887處3孔16m預應力鋼盤混凝土空心板梁橋，橋面寬度：凈2X12.5m,全寬26.50m；下部結構為并排雙柱式墩、臺，位于交點1所設彎道的緩和曲線上。如圖3、圖4所示。圓曲線半徑RY=430.253m，緩和曲線長Ls=150m；緩和曲線起點(ZH)樁號：k0+776.47坐標(706796.8968,510756.7813)，終點(HY)樁號：k0+926.47,橋中心樁號：k0+887坐標(706770.4647,510649.514)，交點JD1的坐標(706695.577,510281.546)。0#臺樁、1#墩樁、2#墩樁、3#臺樁中心樁號分別為：k0+863.33、k0+879、k0+895、k0+910.67；各排有四根樁，對稱分布于橋中心兩側，距橋中線的距離為：D1=2.98m,D2=10.4m。下面就用解析法精確解出各樁位坐標，以備施工放樣使用。第一步求各排樁中心到緩和曲線起點的長度及切線角L0=|(k0+863.33)—(k0+776.47)|=86.86mL1=|(k0+879.00)—(k0+776.47)|

102.53mL2=|(k0+895.00)—(k0+776.47)|118.53mL3=|(k0+910.67)—(k0+776.47)|=134.20m0=L20/(2A2)L20/(2RLs)=86.862/(2X430.253X150)=0.058451弧度=3°20(’56..45"1=4°39z58.94"2=6°14z11.04"3=7°59’39.62"第二步102.53mL2=|(k0+895.00)—(k0+776.47)|118.53mL3=|(k0+910.67)—(k0+776.47)|=134.20m0=L20/(2A2)L20/(2RLs)=86.862/(2X430.253X150)=0.058451弧度=3°20(’56..45"1=4°39z58.94"2=6°14z11.04"3=7°59’39.62"第二步求各排樁中心局部坐標X00'=L0[1—L40/(40Ry2L2s)+L80/(3456Ry4Ls4)—L012/(599040Ry6Ls6)+…]=86.Y00'=L03/(6RyLs)[1—L04/(56Ry2Ls2)+L08/(7040Ry4Ls4)—L012/(1612800RY6Ls6)830+…]=1.692同理求得:X10'=102.462X20'=118.390X30'=133.939Y10'=2.782 Y20'=4.297Y30'=6.233第三步求各排樁樁位局部坐標由公式（5）得0#臺樁各樁位局部坐標:X01'=X00'+D1XsinT0=87.00442,X02'=X00'—D1XsinT0=86.65624Y01=Y00'—D1Xcost0=—1.28296,Y02'=Y00‘+D1Xcost0=4.66686X03'=X00‘+D2XsinT0=87.43788,X04'=X00‘一D2XsinT0=86.22278Y03'=Y00‘一D2Xcost0=—8.69029,Y04'=Y00'+D2Xcost0=12.07419

同理求得:X11'、X12'、X13'、X14'、Y11'、Y12'、Y13'、Y14'X21'、X22'、X23'、X24'、Y21'、Y22'、Y23'、Y24'X31、X32'、X33'、X34'、Y31'、Y32'、Y33'、Y34'第四步樁位局部坐標轉換為大地坐標取局部坐標系XzOzY'的X'軸上的任意兩點，P1取緩和線起點ZH(706796.8968,510756.7813),P2取JD1(706695.577,510281.546)。⑽Y=510281.546-510756.781=—475.235⑽X=706695.577—706796.8968=—101.3198a=tan—1(⑽Y/⑽X)=tan—1(—475.235/—101.3198)=77°57'53.10"⑽Y、⑽X均小于0,方位角0在第三象限；P=a+180°=257°57'53.10"將求得的樁位局部坐標代入坐標轉換公式：X01=X0'+X01'COS0+Y01'sinP=706796.8968+87.00442Xcos(257°57'53.10")+(—1.28296)Xsin(257°57'53.10")=706780.010Y01=Y0'+X01'sin0—Y01'cos0=510756.7813+87.00442Xsin(257°57'53.10")—(—1.28296)cos(257°57'53.10")=510671.422同理求得：X02=706774.264X04=706767.109Y02=510673.003=510671.422同理求得：X02=706774.264X04=706767.109Y02=510673.003Y04=510674.971X11=706775.665X13=706782.772X14=706762.850Y11=510656.295X03=706787.164Y03=510669.453X12=706769.957Y12=510658.008Y13=510654.163Y14=510660.140X21=706770.838X22=706765.179X23=706777.884X24=70675