立體幾何-二面角求解五法

立體幾何二面角求解五法一定法從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面這直線叫做二面角的,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面在上取點(diǎn)分在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律1中從二面角S—AM中平面ABM上的一已知點(diǎn)（B）向棱AM作線，得垂足F另半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM垂線（如GF兩垂線（、GF便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。例1如圖，四棱錐

中，底面

為矩形，

底面

，

AD

，點(diǎn)M側(cè)棱上，=60（I明在棱

的中（II二面角

AM

的大小。解I略（II用面角的定義。在等邊角形

ABM中過點(diǎn)

作

BF

交

于點(diǎn)

F

，則點(diǎn)

F

為AM的點(diǎn)，過F點(diǎn)平面ASM內(nèi)作

AM

，

GF交AS于，連結(jié)AC∵eq\o\ac(△,≌)ADCeq\o\ac(△,，)ADS，且M是SC的點(diǎn)，∴AM⊥SCGF⊥AM，∴GF∥AS又∵

F

為AM的點(diǎn)，∴GF是△AMS的中位線，點(diǎn)是AS的點(diǎn)。則

即為

G所求二面角.

F∵

SM

2

GF

22

SAAC

AM2∵

AM，ABM60

0

∴△∴

3在△GAB中AG

62

，，

0

，∴

322

G

F1

111111

22BG2

111222232

663∴二面角

的大小為

63

)練習(xí)1如，已知四棱PABCD，底面為形，⊥平面，

ABC60

，分是BC中.（Ⅰ）證明⊥PD;（Ⅱ）若H為的動點(diǎn)，EH與面PAD所最角的正切值為

62

，求二面角E——的弦.分：第容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE⊥AD推出⊥平面APD，使命題獲證，而第2題則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長度之后到運(yùn)用在二面角的棱AF找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)，兩邊與，而計(jì)算二面角的余弦值案：二三線

155

）三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直么它也和這條斜線垂直．通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角大小。本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例）過二面角中半平面BFC的一已知點(diǎn)B另一半平面的線，得足

D

CO再過該垂足作FC的垂線，得垂足，結(jié)起點(diǎn)

A

B與終點(diǎn)得斜線段便形成了三垂線定理的基本構(gòu)（斜

E

D

C線、線、射影解直角三角形求二面角的

EA

F

B度數(shù)。例2四柱BD中ABCD等腰梯形AB=4,BC=CD=2,1AAE、E、分是棱、AA、中。

D

1

C

1（1證明：直線EE//平面；

2

A1E1

FD

B

1E

OA

F

B

111111111111（2求二面角-C的弦值。證（）略解（）因?yàn)锳B=4,BC=CD=2,、F是AB的,所以△為三角形取的點(diǎn)則OB⊥CF,因?yàn)橹彼睦庵鵅D中CC⊥面ABCD,以CC1

1⊥所以O(shè)B平面過O在面F內(nèi)⊥C垂足為連則為面角-C的個(gè)平面在為三角形中,,OPOF1∴eq\o\ac(△,)F,CF222

OB

3

在eq\o\ac(△,Rt)CCF△OPF在eq\o\ac(△,Rt)OPF中,

22

142

OPB

OP14

所以二面角-C的弦值為

77

練習(xí)如圖，在四棱錐

中，底面

ABCD

是矩形．已知ABAD2,PAB60

（Ⅰ）證明

AD

平面

PAB

；（Ⅱ）求異面直線

與

AD

所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角

PBD

的大小．分：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明A⊥平面PAB后容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面，就是二面角P-BD-A的平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過點(diǎn)P作BD的垂線，再作平面ABCD的線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法案二面角

P的大小為

394

）三補(bǔ)法本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒有明確交線的求二面角題目時(shí)要兩平面圖形補(bǔ)充完整之有明確的交（為補(bǔ)棱借前述的定義法與三垂線法解題。

3

D

ECAB

111111即當(dāng)二平面沒有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決例3如所示四棱錐-的面是長為的形BCD＝60是CD的中點(diǎn)PA底面ABCD，PA＝（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面;（Ⅱ）求平面PAD和面PBE所成二面角（銳角）的大分析：本題的平面PAD和平面PBE沒明確的交線，依本法顯然要補(bǔ)充完整（延長、BE相于點(diǎn)F連結(jié)PF）再在完整圖形中的P上一個(gè)適合的形成二面角的平面角解之）證略解（）延長、BE相于點(diǎn)F，結(jié)PF.過點(diǎn)作⊥PB于H，由（Ⅰ）知平面PBE⊥平面所以AH⊥面

在eq\o\ac(△,Rt)中，因?yàn)椤希健悖?，AF=2=2=

G在等腰eq\o\ac(△,Rt)中取PF中點(diǎn)G連接

F則AG⊥.連結(jié)HG由三垂線定理的逆定理得，

H

DE⊥所以∠是面PAD和平面PBE成

A

C二面角的平面角（銳角）.

B在等腰eq\o\ac(△,Rt)中

AG

22

在eq\o\ac(△,Rt)中ABAH

AB2

2

2.55所以，在eq\o\ac(△,Rt)AHG中，

sin

AH

.故平面平面PBE所二面（銳角的大小是

105

.

A

1練習(xí)已知斜三棱柱ABCABC的棱長都是，

C

1

B

1側(cè)棱與底面成600

的角，側(cè)面BCCB⊥底面ABC。4

ALCB

1111（1求證AC⊥；（2求平面C與面ABC所成的二面角（銳角）大小。提示：本題需要補(bǔ)棱，可過A點(diǎn)CB的行線L（答案：所成的二面角為45O）四、射影面積法（

q=

射影

）凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式

SS

射斜

）求出二面角的大小。例4．如圖，在三棱錐

中，

，

P

o

，AP，PC．（Ⅰ）求證：AB；

ABC（Ⅱ）求二面角

的大小；分析題要求二面角B—APC的小果利用射影面積法解題難到在平面ABP與平面中立一對原圖形與射影形并分別求出與于是得到下面解法。解）證略（Ⅱ）AC

，

APBP

，

eq\o\ac(△,)△BPC

．又

AC

，PCBC

．

P又

o

，即

BC

，且

IPC

，

EBC

平面

．

A

B取

AP

中點(diǎn)

E

．連結(jié)

BE，

．

CQ

，BE

．QBE在平面PAC內(nèi)射影，AP

．∴△ACE是△在面內(nèi)射影，于是可求得：

222

，

AB26

，5

射ACE11111111111111射ACE11111111111111111AE?CE?22

，

原

1AE?EB2?32設(shè)二角

AP的小，則

133

D

C3∴二面角AP的小為3練習(xí)4：如5，E為方體ABCDABCD的

A

D

1

B

EC棱的點(diǎn)，求平面AB和面AD所銳角

A

1

B

1的余弦值.分

圖5平面E與底面ABD交即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來一定的難度。考慮到三角形ABE在面ABD上射影是三角形AB，而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。（答案：所求二面角的余弦值為cos=五、向法

23

）向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法說有的立體幾何題都可以用向量法求解用向量法立體幾何題時(shí)常要建立空間直角坐標(biāo)系寫出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。例42009天卷）如圖，在五面體中FA

平面，

，M為EC的點(diǎn)

12

AD(I)求異面直線BF與DE所的角的大?。?II)證平面AMD

平面CDE；求二面角的弦值。現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)

A

為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)

AB得

B1DEF26

111111（I）

解于BF

?BFDE

01.2?所以異面直線

BF

與

DE

所成的角的大小為

（II）明：AM

11CE?AM22

，?AD因此AM，CEAD.又AMADA，故E面AMD.而E平面C，所以平面平面DE.（III）

面法向，y，)，則?D0.令可得y0.又由題設(shè)，平面

的一個(gè)法向量為

v練習(xí)2008湖北）如圖，在直三棱柱

ABC11

中，平面

側(cè)面

AABB1

（Ⅰ）求證：AB（Ⅱ）若直線AC與面所的角為二面角ABCA1

的大小為