2023屆安徽省安徽師大附中高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．對(duì)于實(shí)數(shù)，，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．的展開(kāi)式中，的系數(shù)為（）A． B． C．30 D．3．拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱為阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上.設(shè)拋物線，弦過(guò)焦點(diǎn)，為阿基米德三角形，則的面積的最小值為（）A． B． C． D．4．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．5．用反證法證明某命題時(shí)，對(duì)結(jié)論：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”正確的反設(shè)為（）A．中至少有兩個(gè)偶數(shù) B．中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)C．都是奇數(shù) D．都是偶數(shù)6．在空間中，“直線平面”是“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．非充分非必要條件7．若函數(shù)，則（）A． B． C． D．8．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．9．對(duì)于實(shí)數(shù)和，定義運(yùn)算“*”：設(shè)，且關(guān)于的方程為恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根、、，則的取值范圍是（）A.B.C.D.10．已知函數(shù)，與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．11．為客觀了解上海市民家庭存書(shū)量，上海市統(tǒng)計(jì)局社情民意調(diào)查中心通過(guò)電話調(diào)查系統(tǒng)開(kāi)展專項(xiàng)調(diào)查，成功訪問(wèn)了位市民，在這項(xiàng)調(diào)查中，總體、樣本及樣本的容量分別是（）A．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是B．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是C．總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民，樣本的容量是D．總體是上海市民家庭總數(shù)量，樣本是位市民，樣本的容量是12．用反證法證明命題“若，則全為”，其反設(shè)正確的是（）A．至少有一個(gè)不為 B．至少有一個(gè)為C．全不為 D．中只有一個(gè)為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，則；②若，則；③若，，則；④若，則，其中正確命題的序號(hào)是______.14．隨機(jī)變量，變量，是__________．15．若點(diǎn)的柱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為_(kāi)_____；16．已知命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）使用支付寶和微信支付已經(jīng)成為廣大消費(fèi)者最主要的消費(fèi)支付方式，某超市通過(guò)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)一周內(nèi)超市每天的凈利潤(rùn)(萬(wàn)元)與每天使用支付寶和微信支付的人數(shù)(千人)具有相關(guān)關(guān)系，并得到最近一周的7組數(shù)據(jù)如下表，并依此作為決策依據(jù).周一周二周三周四周五周六周日131626222529307111522242734(Ⅰ)作出散點(diǎn)圖，判斷與哪一個(gè)適合作為每天凈利潤(rùn)的回歸方程類型？并求出回歸方程(，，，精確到)；(Ⅱ)超市為了刺激周一消費(fèi)，擬在周一開(kāi)展使用支付寶和微信支付隨機(jī)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，總獎(jiǎng)金7萬(wàn)元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，抽獎(jiǎng)活動(dòng)能使使用支付寶和微信支付消費(fèi)人數(shù)增加6千人，7千人，8千人，9千人的概率依次為，，，.試決策超市是否有必要開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)？參考數(shù)據(jù):，，，.參考公式：，，.18．（12分）已知分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)為，且的周長(zhǎng)為，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的方程；（2）已知，若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求.19．（12分）學(xué)校某社團(tuán)參加某項(xiàng)比賽，需用木料制作如圖所示框架，框架下部是邊長(zhǎng)分別為的矩形，上部是一個(gè)半圓，要求框架圍成總面積為.（1）試寫(xiě)出用料（即周長(zhǎng)）關(guān)于寬的函數(shù)解析式，并求出的取值范圍；（2）求用料（即周長(zhǎng)）的最小值，并求出相應(yīng)的的值.20．（12分）在一次考試中某班級(jí)50名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如表，規(guī)定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優(yōu)秀.經(jīng)計(jì)算樣本的平均值，標(biāo)準(zhǔn)差.為評(píng)判該份試卷質(zhì)量的好壞，從其中任取一人，記其成績(jī)?yōu)?，并根?jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判①；②；③評(píng)判規(guī)則：若同時(shí)滿足上述三個(gè)不等式，則被評(píng)為優(yōu)秀試卷；若僅滿足其中兩個(gè)不等式，則被評(píng)為合格試卷；其他情況，則被評(píng)為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評(píng)為哪種等級(jí)；（2）按分層抽樣的方式從3個(gè)層次的學(xué)生中抽出10名學(xué)生，再?gòu)某槌龅?0名學(xué)生中隨機(jī)抽出4人進(jìn)行學(xué)習(xí)方法交流，用隨機(jī)變量表示4人中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.21．（12分）某中學(xué)對(duì)高二甲、乙兩個(gè)同類班級(jí)進(jìn)行“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率有幫助”的試驗(yàn)，其中甲班為試驗(yàn)班（加強(qiáng)語(yǔ)文閱讀理解訓(xùn)練），乙班為對(duì)比班（常規(guī)教學(xué)，無(wú)額外訓(xùn)練），在試驗(yàn)前的測(cè)試中，甲、乙兩班學(xué)生在數(shù)學(xué)應(yīng)用題上的得分率基本一致，試驗(yàn)結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)幾次數(shù)學(xué)應(yīng)用題測(cè)試的平均成績(jī)（均取整數(shù)）如下表所示：60分及以下61～70分71～80分81～90分91～100分甲班（人數(shù)）3612159乙班（人數(shù)）4716126現(xiàn)規(guī)定平均成績(jī)?cè)?0分以上（不含80分）的為優(yōu)秀.（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“加強(qiáng)‘語(yǔ)文閱讀理解’訓(xùn)練對(duì)提高‘?dāng)?shù)學(xué)應(yīng)用題’得分率”有幫助；（2）對(duì)甲乙兩班60分及以下的同學(xué)進(jìn)行定期輔導(dǎo)，一個(gè)月后從中抽取3人課堂檢測(cè)，表示抽取到的甲班學(xué)生人數(shù)，求及至少抽到甲班1名同學(xué)的概率.22．（10分）A、B、C是球O表面上三點(diǎn)，AB=6㎝，∠ACB=30°，點(diǎn)O到△ABC所在截面的距離為5㎝，求球O的表面積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

先判斷和成立的條件，然后根據(jù)充分性和必要性的定義可以選出正確答案.【詳解】成立時(shí)，需要；成立時(shí)，需要，顯然由能推出，但由不一定能推出，故“”是“”的充分不必要條件，故本題選A.【點(diǎn)睛】本題考查了充分不必要條件的判斷，掌握對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】

將二項(xiàng)式表示為，利用二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)，可得出，再利用完全平方公式計(jì)算出展開(kāi)式中的系數(shù)，乘以可得出結(jié)果.【詳解】，其展開(kāi)式通項(xiàng)為，由題意可得，此時(shí)所求項(xiàng)為，因此，的展開(kāi)式中，的系數(shù)為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三項(xiàng)展開(kāi)式中指定項(xiàng)的系數(shù)，解題時(shí)要將三項(xiàng)視為兩項(xiàng)相加，借助二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.3、B【解析】

利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，可得，即三角形為直角三角形，利用基本不等式，可得當(dāng)直線垂直軸時(shí)，面積取得最小值.【詳解】設(shè)，過(guò)A，B的切線交于Q，直線的方程為：，把直線的方程代入得：，所以，則，由導(dǎo)數(shù)的知識(shí)得：，所以，所以，所以，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，可得的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題是一道與數(shù)學(xué)文化有關(guān)的試題，如果能靈活運(yùn)用阿基米德三角形的結(jié)論，即當(dāng)直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則切線與切線互相垂直，能使運(yùn)算量變得更小.4、B【解析】分析：先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直的結(jié)論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點(diǎn)睛：考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直關(guān)系和模長(zhǎng)計(jì)算，正確求解x是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，求出要證的命題的否定，即為所求.【詳解】解：用反證法證明某命題時(shí),應(yīng)先假設(shè)命題的反面成立，及要證的命題的否定成立，而命題：“自然數(shù)中恰有一個(gè)偶數(shù)”的否定為“中至少有兩個(gè)偶數(shù)或都是奇數(shù)”，故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查用反證法證明數(shù)學(xué)命題，求一個(gè)命題的否定，屬于中檔題.6、A【解析】若“直線平面”則“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”，正確；反之，若“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”則“直線平面”是錯(cuò)誤的，故直線平面”是“直線與平面內(nèi)無(wú)窮多條直線都垂直”的充分非必要條件.故選A.7、A【解析】

首先計(jì)算，然后再計(jì)算的值.【詳解】,.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)求值，屬于計(jì)算題型.8、B【解析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.9、A【解析】試題分析：當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，所以，如下圖所示，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)直線與曲線有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，，設(shè)，則且，，且，所以，因此，所以，，故選A.考點(diǎn)：1.新定義；2.分段函數(shù)；3.函數(shù)的圖象與零點(diǎn)10、A【解析】

根據(jù)題意，可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析的最大最小值，可得的值域，進(jìn)而分析方程在區(qū)間上有解，必有，解之可得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】根據(jù)題意，若函數(shù)，與的圖象上存在關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則方程在區(qū)間上有解化簡(jiǎn)可得設(shè)，對(duì)其求導(dǎo)又由，在有唯一的極值點(diǎn)分析可得：當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，故函數(shù)有最小值又由，比較可得，，故函數(shù)有最大值故函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)槿舴匠淘趨^(qū)間有解，必有，則有則實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A【點(diǎn)睛】本題考查在函數(shù)與方程思想下利用導(dǎo)數(shù)求最值進(jìn)而表示參數(shù)取值范圍問(wèn)題，屬于難題.11、B【解析】

根據(jù)總體、樣本及樣本的容量的概念，得到答案.【詳解】根據(jù)題目可知，總體是上海市民家庭的存書(shū)量，樣本是位市民家庭的存書(shū)量，樣本的容量是故選B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查總體、樣本及樣本的容量的概念，屬于簡(jiǎn)單題.12、A【解析】由反證法的定義：證明命題“若，則全為”，其反設(shè)為至少有一個(gè)不為.本題選擇A選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②【解析】

①利用線面平行性質(zhì)以及線面垂直的定義判斷真假；②利用面面平行的性質(zhì)以及線面垂直的性質(zhì)判斷真假；③④可借助正方體判斷真假.【詳解】①因?yàn)?，過(guò)作平面，使得，則有；又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故①正確；②因?yàn)?，所以；又因?yàn)?，所以，故②正確；③例如：正方體上底面的對(duì)角線分別平行下底面，但是兩條對(duì)角線互相不平行，故③不正確；④選正方體同一頂點(diǎn)處的三個(gè)平面記為，則有，但與相交，故④不正確.故填：①②.【點(diǎn)睛】判斷用符號(hào)語(yǔ)言描述的空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的正誤：（1）直接用性質(zhì)定理、判定定理、定義去判斷；（2）借助常見(jiàn)的空間幾何體輔助判斷（正方體等）.14、40【解析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)分布得,再根據(jù)，得詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.15、【解析】

由柱坐標(biāo)轉(zhuǎn)化公式求得直角坐標(biāo)?！驹斀狻坑芍鴺?biāo)可知，所以，所以直角坐標(biāo)為。所以填?！军c(diǎn)睛】空間點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(x,y,z)與柱坐標(biāo)(ρ,θ,Z)之間的變換公式為。16、【解析】分析：：，為真命題，則詳解：已知命題：，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.即答案為點(diǎn)睛：本題考查當(dāng)特稱命題為真時(shí)參數(shù)的取值范圍，屬基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)見(jiàn)解析；(Ⅱ)超市有必要開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)【解析】

(Ⅰ)在所給的坐標(biāo)系中，畫(huà)出散點(diǎn)圖，可以發(fā)現(xiàn)選擇作為每天凈利潤(rùn)的回歸方程類型比較合適，計(jì)算出，按照所給的公式可以求出，最后求出回歸方程；(Ⅱ)根據(jù)離散型隨機(jī)分布列的性質(zhì)，可以求出值，然后可以求出數(shù)學(xué)期望，再利用(Ⅰ)求出的回歸直線方程，可以預(yù)測(cè)出超市利潤(rùn)，除去總獎(jiǎng)金，可以求出超市的凈利潤(rùn)，最后判斷出是否有必要開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng).【詳解】解:(Ⅰ)散點(diǎn)圖如圖所示根據(jù)散點(diǎn)圖可判斷，選擇作為每天凈利潤(rùn)的回歸方程類型比較合適，關(guān)于的回歸方程為(Ⅱ)，活動(dòng)開(kāi)展后使用支付寶和微信支付的人數(shù)的期望為(千人)由(Ⅰ)得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)超市的凈利潤(rùn)約為，故超市有必要開(kāi)展抽獎(jiǎng)活動(dòng)【點(diǎn)睛】本題考查了求線性回歸方程，并根據(jù)數(shù)學(xué)期望和回歸直線方程對(duì)決策做出判斷的問(wèn)題，考查了應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中的問(wèn)題的能力.18、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)已知求出a,b，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由，得，得到韋達(dá)定理，再把韋達(dá)定理代入數(shù)量積化簡(jiǎn)即得解.【詳解】解：（1）由題可知，，，得又，解得故橢圓的方程為，（2）由，得，設(shè)，則，，∵，，∴將，代入，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系和平面向量的數(shù)量積，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于中檔題.19、（1），；（2），此時(shí)【解析】

（1）根據(jù)面積可得到與的關(guān)系，寫(xiě)出周長(zhǎng)即可（2）根據(jù)（1）寫(xiě)出的，利用均值不等式求解即可.【詳解】（1），，，由得.（2），，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系，均值不等式，屬于中檔題.20、（1）該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷；（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)分布表，計(jì)算，，的值，由此判斷出“該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷”.（2）利用超幾何分布分布列計(jì)算公式，計(jì)算出分布列，并求得數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1），，，因?yàn)榭忌煽?jī)滿足兩個(gè)不等式，所以該份試卷應(yīng)被評(píng)為合格試卷.