2023屆北京東城區(qū)北京匯文中學高二數(shù)學第二學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（）A．， B．，C．， D．，2．給出下列三個命題：(1)如果一個平面內有無數(shù)條直線平行于另一個平面，則這兩個平面平行；(2)一個平面內的任意一條直線都與另一個平面不相交，則這兩個平面平行；(3)一個平面內有不共線的三點到另一個平面的距離相等，則這兩個平面平行；其中正確命題的個數(shù)是()A．0 B．1 C．2 D．33．已知函數(shù)，對于任意，且，均存在唯一實數(shù)，使得，且，若關于的方程有4個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．下列函數(shù)中，滿足“且”的是()A． B．C． D．5．已知袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，則所取3只球的最大編號是5的概率等于（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的定義域為，且滿足（是的導函數(shù)），則不等式的解集為（）A． B． C． D．7．已知，則的展開式中，項的系數(shù)等于（）A．180 B．-180 C．-90 D．158．復數(shù)(i為虛數(shù)單位)的共軛復數(shù)是A．1+i B．1?i C．?1+i D．?1?i9．命題，則（）A．是真命題，，B．是假命題，，C．是真命題，，D．是假命題，，10．的展開式中常數(shù)項為()A．-240 B．-160 C．240 D．16011．已知函數(shù)f（x）對任意的實數(shù)x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．312．設等比數(shù)列的前n項和為，公比，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．給出定義：對于三次函數(shù)設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.已知函數(shù).設.若則__________．14．若ξ～N，且P（2＜ξ＜4）＝0.4，則P（ξ＜0）＝_____．15．已知(是虛數(shù)單位),定義:給出下列命題:(1)對任意都有(2)若是的共軛復數(shù),則恒成立；(3)若則(4)對任意結論恒成立.則其中所有的真命題的序號是_____________.16．已知復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的模為_____.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，若，且，，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）記，數(shù)列的前項和為，數(shù)列的前項和為，若對任意正整數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）某運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)的分布列如下：89111．41．41．2現(xiàn)進行兩次射擊，且兩次射擊互不影響，以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績，記為．（1）求該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率；（2）求的分布列和數(shù)學期望．19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標方程：（Ⅱ）設點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標.20．（12分）已知矩陣.（1）求；（2）求矩陣的特征值和特征向量.21．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)且）.在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程是.（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）判斷直線與曲線的位置關系，并說明理由.22．（10分）已知函數(shù)（1）求函數(shù)在上的最大值和最小值；（2）求證：當時，函數(shù)的圖象在的下方．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，，，，故，.，，故，,故，.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算，應先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.2、B【解析】

根據(jù)面面平行的位置關系的判定依次判斷各個命題的正誤，從而得到結果.【詳解】（1）若一個平面內有無數(shù)條互相平行的直線平行于另一個平面，兩個平面可能相交，則（1）錯誤；（2）平面內任意一條直線與另一個平面不相交，即任意一條直線均與另一個平面平行，則兩個平面平行，（2）正確；（3）若不共線的三點中的兩點和另一個點分別位于平面的兩側，此時雖然三點到平面距離相等，但兩平面相交，（3）錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查面面平行相關命題的辨析，考查學生的空間想象能力，屬于基礎題.3、A【解析】

解：由題意可知f（x）在[0，+∞）上單調遞增，值域為[m，+∞），∵對于任意s∈R，且s≠0，均存在唯一實數(shù)t，使得f（s）＝f（t），且s≠t，∴f（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，值域為（m，+∞），∴a＜0，且﹣b+1＝m，即b＝1﹣m．∵|f（x）|＝f（）有4個不相等的實數(shù)根，∴0＜f（）＜﹣m，又m＜﹣1，∴0m，即0＜（1）m＜﹣m，∴﹣4＜a＜﹣2，∴則a的取值范圍是（﹣4，﹣2），故選A．點睛：本題中涉及根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)取值，是高考經(jīng)常涉及的重點問題，（1）利用零點存在的判定定理構建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉化為函數(shù)的值域（最值）問題求解，如果涉及由幾個零點時，還需考慮函數(shù)的圖象與參數(shù)的交點個數(shù)；（3）轉化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關系問題，從而構建不等式求解.4、C【解析】

根據(jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)，根據(jù)選項判斷即可?！驹斀狻扛鶕?jù)題意知，函數(shù)在上是減函數(shù)。選項A，在上是增函數(shù)，不符合；選項B，在上不單調，不符合；選項C，在上是減函數(shù)，符合；選項D，在上是增函數(shù)，不符合；綜上，故選C?！军c睛】本題主要考查函數(shù)單調性的定義應用以及常見函數(shù)的單調性的判斷。5、B【解析】

先求出袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有多少種取法，再求出所取3只球的最大編號是5有多少種取法，最后利用古典概型概率計算公式，求出概率即可.【詳解】袋中有編號為1、2、3、……、8的八只相同小球，現(xiàn)從中任取3只，有種方法.所取3只球的最大編號是5，有種方法，所以所取3只球的最大編號是5的概率等于，故本題選B.【點睛】本題考查了古典概型概率計算方法，考查了數(shù)學運算能力.6、D【解析】

構造函數(shù)，利用導數(shù)分析函數(shù)在上的單調性，在不等式兩邊同時乘以化為，即，然后利用函數(shù)在上的單調性進行求解即可.【詳解】構造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在定義域上為增函數(shù)，在不等式兩邊同時乘以得，即，所以，解得，因此，不等式的解集為，故選：D.【點睛】本題考查利用構造新函數(shù)求解函數(shù)不等式問題，其解法步驟如下：（1）根據(jù)導數(shù)不等式的結構構造新函數(shù)；（2）利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，必要時分析該函數(shù)的奇偶性；（3）將不等式變形為，利用函數(shù)的單調性與奇偶性求解.7、B【解析】分析：利用定積分的運算求得m的值，再根據(jù)乘方的幾何意義，分類討論，求得xm﹣2yz項的系數(shù)．詳解：3sinxdx=﹣3cosx=﹣3（cosπ﹣cos0）=6，則（x﹣2y+3z）m=（x﹣2y+3z）6，xm﹣2yz=x4yz．而（x﹣2y+3z）6表示6個因式（x﹣2y+3z）的乘積，故其中一個因式取﹣2y，另一個因式取3z，剩余的4個因式都取x，即可得到含xm﹣2yz=x4yz的項，∴xm﹣2yz=x4yz項的系數(shù)等于故選：B．點睛：這個題目考查的是二項式中的特定項的系數(shù)問題，在做二項式的問題時，看清楚題目是求二項式系數(shù)還是系數(shù)，還要注意在求系數(shù)和時，是不是缺少首項；解決這類問題常用的方法有賦值法，求導后賦值，積分后賦值等。8、B【解析】分析：化簡已知復數(shù)z，由共軛復數(shù)的定義可得．詳解：化簡可得z=∴z的共軛復數(shù)為1﹣i.故選B．點睛：本題考查復數(shù)的代數(shù)形式的運算，涉及共軛復數(shù)，屬基礎題．9、C【解析】分析：根據(jù)命題真假的判斷和含有量詞的命題的否定，即可得到結論.詳解：，恒成立是真命題，，故選C.點睛：本題考查命題真假的判斷，含有量詞的命題的否定關系的應用.10、C【解析】

求得二項式的通項，令，代入即可求解展開式的常數(shù)項，即可求解.【詳解】由題意，二項式展開式的通項為，當時，，即展開式的常數(shù)項為，故選C.【點睛】本題主要考查了二項式的應用，其中解答中熟記二項展開式的通項，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.11、B【解析】

分析可得，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，據(jù)此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)對任意的實數(shù)均有，即，則有，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，則，故選B．【點睛】本題主要考查了函數(shù)的周期的判定及其應用，其中解答中根據(jù)題設條件，求得函數(shù)的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．12、D【解析】

由等比數(shù)列的通項公式與前項和公式分別表示出與，化簡即可得到的值【詳解】因為等比數(shù)列的公比，則，故選D．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式與前項和公式，屬于基礎題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、-4037【解析】

由題意對已知函數(shù)求兩次導數(shù),令二階導數(shù)為零,即可求得函數(shù)的中心對稱,即有,,借助倒序相加的方法,可得進而可求的解析式,求導,當代入導函數(shù)解得,計算求解即可得出結果.【詳解】函數(shù)函數(shù)的導數(shù)由得解得,而故函數(shù)關于點對稱,故，兩式相加得，則.同理,,,令,則,,故函數(shù)關于點對稱,,兩式相加得,則.所以當時,解得:,所以則.故答案為:-4037.【點睛】本題考查對新定義的理解,考查二階導數(shù)的求法,仔細審題是解題的關鍵,考查倒序法求和,難度較難.14、0.1．【解析】

由正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，進而得到所以，即可求解.【詳解】由題意，隨機變量，且，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，可得，所以.【點睛】本題主要考查了正態(tài)分布的應用，其中解答中熟記正態(tài)分布曲線的對稱性是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.15、（2），（4）【解析】

由新定義逐一核對四個命題得答案．【詳解】解：對于（1），當時，，命題（1）錯誤；

對于（2），設，則，則，命題（2）正確；

對于（3），若，則錯誤，如，滿足，但；

對于（4），設，

則，

，

，

由，

得恒成立，（4）正確．

∴正確的命題是（2）（4）．

故答案為（2），（4）．【點睛】本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應用，考查了絕對值的不等式，是中檔題．16、【解析】

直接利用復數(shù)代數(shù)形式的四則運算化簡復數(shù)z，再由復數(shù)模的公式計算得答案．【詳解】，則復數(shù)z的模為．故答案為．【點睛】本題考查了復數(shù)代數(shù)形式的運算，考查了復數(shù)模的求法，是基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】

（1）分別根據(jù)，和成等差數(shù)列，分別表示為和的方程組，求出首項，即得通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果可求得，并且求出,利用裂項相消法求和，轉化為，恒成立，轉化為求數(shù)列的最值.【詳解】解：（1）因為，，成等差數(shù)列，所以①，又因為，，成等差數(shù)列，所以，得②，由①②得，．所以，.（2），...令，則，則，所以，當時，，當時，所以的最小值為.又恒成立，所以，．【點睛】本題考查了數(shù)列通項的求法，和求數(shù)列的前項和的方法，以及和函數(shù)結合考查數(shù)列的最值，尤其在考查數(shù)列最值時，需先判斷函數(shù)的單調性，判斷的正負，根據(jù)單調性求函數(shù)的最值.18、（1）1.36；（2）見解析，9.2【解析】

（1）先計算兩次命中8環(huán)，9環(huán)，11環(huán)的概率，然后可得結果.（2）列出的所有可能結果，并分別計算所對應的概率，然后列出分布列，并依據(jù)數(shù)學期望的公式，可得結果.【詳解】（1）兩次都命中8環(huán)的概率為兩次都命中9環(huán)的概率為兩次都命中11環(huán)的概率為設該運動員兩次命中的環(huán)數(shù)相同的概率為（2）的可能取值為8，9，11，，，的分布列為89111．161．481．36【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列以及數(shù)學期望，重在于對隨機變量的取值以及數(shù)學期望的公式的掌握，屬基礎題.19、（Ⅰ）的普通方程為，的直角坐標方程為；（Ⅱ）最小值為，此時的直角坐標為.【解析】

（Ⅰ）曲線，利用消掉參數(shù)即可，曲線，利用化簡即可。（Ⅱ）利用點到直線的距離公式，代入化簡即可求出最小值。【詳解】解：（I）的普通方程為，的直角坐標方程為.（II）由題意，可設點的直角坐標為.因為是直線，所以的最小值即為到的距離的最小值，，當且僅當（）時，取得最小值，最小值為，此時的直角坐標為.【點睛】本題考查直角坐標方程與極坐標方程的互化，掌握互化公式是解本題的關鍵，屬于基礎題。20、(1)(2)特征值為，，分別對應特征向量，．【解析】

（1）利用矩陣的乘法求得結果；（2）先根據(jù)特征值的定義列出特征多項式，令，解方程可得特征值，再由特征值列出方程組求出相應的特征向