幾何中最值定值問題教師新版

【2013年中考攻略】專題 8：幾何最值問題解法探討在平面幾何的動(dòng)態(tài)問題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量（如線段的長度、圖形的周長或面積、角的度數(shù)以及它們的和與差）的最大值或最小值問題，稱為最值問題。解決平面幾何最值問題的常用的方法有：（1）應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值；（2）應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值；（3）應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值；（4）應(yīng)用二次函數(shù)求最值；（5）應(yīng)用其它知識(shí)求最值。下面通過近年全國各地中考的實(shí)例探討其解法。一、應(yīng)用兩點(diǎn)間線段最短的公理（含應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系）求最值：典型例題：例 1. 如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM，ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形 ABCD的形狀保持不變，其中 AB=2，BC=1，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為【 】．21．5．1455．552【答案】A?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，取AB的中點(diǎn)E，連接OE、DE、OD，OD≤OE+DE，∴當(dāng)O、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn) D到點(diǎn)O的距離最大，1此時(shí)，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=AB=1。2DE= AD2 AE2 12 12 2，OD的最大值為：21。故選A。例2.在銳角三角形ABC中，BC=42，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，則CM+MN的最小值是 。1/30【答案】4。【考點(diǎn)】最短路線問題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，在BA上截取BE=BN，連接EM?！摺螦BC的平分線交AC于點(diǎn)D，∴∠EBM=∠NBM。在△AME與△AMN中，∵BE=BN，∠EBM=∠NBM，BM=BM，∴△BME≌△BMN（SAS）?！郙E=MN?！郈M+MN=CM+ME≥CE。又∵CM+MN有最小值，∴當(dāng) CE是點(diǎn)C到直線AB的距離時(shí)，CE取最小值。0∵BC=42，∠ABC=45°，∴CE的最小值為42sin45=4。二、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值：典型例題：例 1. 在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6．若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng)，則 BP的最小值是 ．【答案】24。5【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，垂直線段的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BP′⊥AC時(shí)，BP取得最小值。設(shè)AP′=x，則由AB＝AC＝5得CP′=5－x，又∵BC＝6，∴在Rt△ABP′和Rt△CBP′中應(yīng)用勾股定理，得BP2 AB2 AP2，BP2 BC2 CP2。2/30∴AB2AP2BC2CP2，即52x2626x2，解得x=7。5527257624，即BP的最小值是24?！郆P==52555例2.如圖，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【】A．1 B ． 3 C．2 D ． 3＋1【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯海?）若點(diǎn)P，Q固定，此時(shí)點(diǎn)K的位置：如圖，作點(diǎn) P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P1，連接P1Q，交BD于點(diǎn)K1。由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得P 1K1=PK 1，P1K=PK。由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得 P1K＋QK＞P1Q=P1K1＋QK1=PK1＋QK1?！啻藭r(shí)的K1就是使PK+QK最小的位置。（2）點(diǎn)P，Q變動(dòng)，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn) P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P1在AB上，即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P1總在AB上。因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng) P1Q⊥AB時(shí)P1Q最短。過點(diǎn)A作AQ1⊥DC于點(diǎn)Q1?！摺螦=120°，∴∠DAQ1=30°。又∵AD=AB=2，∴P1Q=AQ1=AD·cos300=233。3綜上所述，PK+QK的最小值為 3。故選B。例3.已知梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝2，BC＝3，3/30問題1：如圖1，P為AB邊上的一點(diǎn)，以 PD，PC為邊作平行四邊形 PCQD，請問對角線PQ，DC的長能否相等，為什么？問題2：如圖2，若P為AB邊上一點(diǎn)，以 PD，PC為邊作平行四邊形 PCQD，請問對角線 PQ的長是否存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．問題3：若P為AB邊上任意一點(diǎn)，延長PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC為邊作平行四邊形PCQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．問題4：如圖3，若P為DC邊上任意一點(diǎn)，延長PA到E，使AE＝nPA(n為常數(shù))，以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE，請?zhí)骄繉蔷€PQ的長是否也存在最小值？如果存在，請求出最小值，如果不存在，請說明理由．【答案】解：問題1：對角線PQ與DC不可能相等。理由如下：∵四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，∴∠DPC＝90°。AD＝1，AB＝2，BC＝3，∴DC＝22。設(shè)PB＝x，則AP＝2－x，22222222在Rt△DPC中，PD＋PC＝DC，即x＋3＋(2－x)＋1＝8，化簡得x－2x＋3＝0，∵△＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，∴方程無解?！嗖淮嬖赑B＝x，使∠DPC＝90°?！鄬蔷€PQ與DC不可能相等。問題2：存在。理由如下：如圖2，在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，則G是DC的中點(diǎn)。過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H。∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠DCH，即∠ADP＋∠PDG＝∠DCQ＋∠QCH。4/30PD∥CQ，∴∠PDC＝∠DCQ?！唷螦DP＝∠QCH。又∵PD＝CQ，∴Rt△ADP≌Rt△HCQ（AAS）?！郃D＝HC。∵AD＝1，BC＝3，∴BH＝4，∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長最小，即為4。問題3：存在。理由如下：如圖3，設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，∵PE∥CQ，PD＝DE，∴DG=PD1。GCCQ2∴G是DC上一定點(diǎn)。作QH⊥BC，交BC的延長線于H，同理可證∠ADP＝∠QCH，∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ?！郃D=PD1。CHCQ2AD＝1，∴CH＝2?！郆H＝BG＋CH＝3＋2＝5?！喈?dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長最小，即為 5。問題4：如圖3，設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G，∵PE∥BQ，AE＝nPA，∴PA=AG1。BQBGn+1∴G是DC上一定點(diǎn)。作QH∥PE，交CB的延長線于H，過點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長線于K。AD∥BC，AB⊥BC，∴∠D＝∠QHC，∠DAP＋∠PAG＝∠QBH＋∠QBG＝90°∠PAG＝∠QBG，∴∠QBH＝∠PAD?！唷鰽DP∽△BHQ，∴AD=PA1，BHBQn+1AD＝1，∴BH＝n＋1?！郈H＝BH＋BC＝3＋n＋1＝n＋4。過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，則四邊形ABND是矩形?！郆M＝AD＝1，DM＝AB＝2?！郈M＝BC－BM＝3－1＝2＝DM。∴∠DCM＝45°?！唷螷CH＝45°。∴CK＝CH?cos45°＝2(n＋4)，2∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí)，PQ的長最小，最小值為2(n＋4)。25/30【考點(diǎn)】反證法，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程根的判別式，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，平行四邊形、矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥繂栴}1：四邊形PCQD是平行四邊形，若對角線PQ、DC相等，則四邊形PCQD是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)，設(shè)PB＝x，可得方程x2＋32＋(2－x)2＋1＝8，由判別式△＜0，可知此方程無實(shí)數(shù)根，即對角線PQ，DC的長不可能相等。問題2：在平行四邊形PCQD中，設(shè)對角線PQ與DC相交于點(diǎn)G，可得G是DC的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QH⊥BC，交BC的延長線于H，易證得Rt△ADP≌Rt△HCQ，即可求得BH＝4，則可得當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，PQ的長最小，即為4。問題3：設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G，PE∥CQ，PD＝DE，可得∽R(shí)t△HCQ，繼而求得BH的長，即可求得答案。

DG=PD1，易證得Rt△ADPGCCQ2問題4：作QH∥PE，交CB的延長線于H，過點(diǎn)C作CK⊥CD，交QH的延長線于K，易證得AD=PA1BHBQn+1

與△ADP∽△BHQ，又由∠DCB＝45°，可得△CKH是等腰直角三角形，繼而可求得CK的值，即可求得答案。例4. 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B在直線y x上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段 AB最短時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為【 】A.（0，0）B.（1，1）C.（2，2）D.（2，2）2222226/30例5.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中，有下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化；④點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 ．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【 】A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B?！究键c(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形，三角形中位線定理，勾股定理?！痉治觥竣龠B接CD（如圖1）?！摺鰽BC是等腰直角三角形，∴∠ DCB=∠A=45°，CD=AD=DB?！逜E=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）?！郋D=DF，∠CDF=∠EDA。7/30∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°?！唷鱀FE是等腰直角三角形。故此結(jié)論正確。②當(dāng)E、F分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，∵由三角形中位線定理， DE平行且等于1BC。2∴四邊形CEDF是平行四邊形。又∵E、F分別為AC、BC中點(diǎn)，AC=BC，∴四邊形CEDF是菱形。又∵∠C=90°，∴四邊形CEDF是正方形。故此結(jié)論錯(cuò)誤。③如圖2，分別過點(diǎn)D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點(diǎn)M，N，由②，知四邊形CMDN是正方形，∴DM=DN。由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）?！嘤筛钛a(bǔ)法可知四邊形 CEDF的面積等于正方形 CMDN面積?！嗨倪呅蜟EDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化。故此結(jié)論錯(cuò)誤。④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴ DE=2EF。當(dāng)DF與BC垂直，即DF最小時(shí)，EF取最小值2 2。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為 2。故此結(jié)論正確。故正確的有2個(gè)：①④。故選B。例6.如圖，長方形紙片 ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖：第一步：如圖①，在線段 AD上任意取一點(diǎn)E，沿EB，EC剪下一個(gè)三角形紙片 EBC(余下部分不再使用)；8/30第二步：如圖②，沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分，并在線段GH上任意取一點(diǎn)M，線段BC上任意取一點(diǎn)N，沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分；第三步：如圖③，將 MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 180°，使線段GB與GE重合，將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，使線段HC與HE重合，拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片．( 注：裁剪和拼圖過程均無縫且不重疊 )則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長的最小值為 cm ，最大值為 cm ．【答案】20；12+413?！究键c(diǎn)】圖形的剪拼，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥慨嫵龅谌郊羝粗蟮乃倪呅?M1N1N2M2的示意圖，如答圖 1所示。圖中，N1N2=EN1+EN2=NB+NC=BC，M1M2=M1G+GM+MH+M2H=2（GM+MH）=2GH=BC（三角形中位線定理）。又∵M(jìn)1M2∥N1N2，∴四邊形M1N1N2M2是一個(gè)平行四邊形，其周長為2N1N2+2M1N1=2BC+2MN?！連C=6為定值，∴四邊形的周長取決于 MN的大小。如答圖2所示，是剪拼之前的完整示意圖。過G、H點(diǎn)作BC邊的平行線，分別交AB、CD于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則四邊形PBCQ是一個(gè)矩形，這個(gè)矩形是矩形ABCD的一半?！進(jìn)是線段PQ上的任意一點(diǎn)，N是線段BC上的任意一點(diǎn)，∴根據(jù)垂線段最短，得到MN的最小值為PQ與BC平行線之間的距離，即MN最小值為4；而MN的最大值等于矩形對角線的長度，即PB2BC24262213?！咚倪呅蜯1N1N2M2的周長=2BC+2MN=12+2MN，∴四邊形MNNM周長的最小值為12+2×4=20；最大值為12+2×213=12+413。1122例7.如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長度的最小值為 ．9/30【答案】 3?！究键c(diǎn)】垂線段的性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值。【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AD為△ABC的邊BC上的高時(shí)，直徑AD最短，此時(shí)線段EF=2EH=20E?sin∠EOH=20E?sin60°，當(dāng)半徑OE最短時(shí)，EF最短。如圖，連接OE，OF，過O點(diǎn)作OH⊥EF，垂足為H?！咴赗t△ADB中，∠ABC=45°，AB=22，∴AD=BD=2，即此時(shí)圓的直徑為 2。1由圓周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，2∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×3=3。22由垂徑定理可知EF=2EH=3。例8.如圖所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF為正三角形，點(diǎn)E、F分別在菱形的邊BC．CD上滑動(dòng)，且E、F不與B．C．D重合．1）證明不論E、F在BC．CD上如何滑動(dòng)，總有BE=CF；2）當(dāng)點(diǎn)E、F在BC．CD上滑動(dòng)時(shí)，分別探討四邊形AECF和△CEF的面積是否發(fā)生變化？如果不變，求出這個(gè)定值；如果變化，求出最大（或最?。┲担敬鸢浮拷猓海?）證明：如圖，連接 AC∵四邊形ABCD為菱形，∠BAD=120°，BAE+∠EAC=60°，∠FAC+∠EAC=60°，10/30∴∠BAE=∠FAC。∵∠BAD=120°，∴∠ABF=60°?！唷鰽BC和△ACD為等邊三角形?！唷螦CF=60°，AC=AB?！唷螦BE=∠AFC?！嘣凇鰽BE和△ACF中，∵∠BAE=∠FAC，AB=AC，∠ABE=∠AFC，∴△ABE≌△ACF（ASA）?！郆E=CF。（2）四邊形AECF的面積不變，△CEF的面積發(fā)生變化。理由如下：由（1）得△ABE≌△ACF，則S△ABE=S△ACF。S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC，是定值。作AH⊥BC于H點(diǎn)，則BH=2，S四邊形AECFSABC1BCAH1BCAB2BH243。22由“垂線段最短”可知：當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．故△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，又S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF，則此時(shí)△CEF的面積就會(huì)最大．∴S△CEF=S四邊形AECF﹣S△AEF43123223233。2∴△CEF的面積的最大值是3。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)?！痉治觥浚?）先求證AB=AC，進(jìn)而求證△ABC、△ACD為等邊三角形，得∠ACF=60°，AC=AB，從而求證△ABE≌△ACF，即可求得BE=CF。（2）由△ABE≌△ACF可得S△ABE=S△ACF，故根據(jù)S四邊形AECF=S△AEC+S△ACF=S△AEC+S△ABE=S△ABC即可得四邊形AECF的面積是定值。當(dāng)正三角形AEF的邊AE與BC垂直時(shí)，邊AE最短．△AEF的面積會(huì)隨著AE的變化而變化，且當(dāng)AE最短時(shí)，正三角形AEF的面積會(huì)最小，根據(jù)S△CEF=S四邊形AECF－S△AEF，則△CEF的面積就會(huì)最大。例9.在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．11/301）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長線上時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；3）如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．【答案】解：（1）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠ A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，∴∠CC1B=∠C1CB=45°?！唷螩C1A1=∠CC1B+∠A1C1B=45°+45°=90°。（2）∵由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ ABC≌△A1BC1，∴BA=BA1，BC=BC1，∠ABC=∠A1BC1?！郆ABA11=∠A1BC1+∠ABC1?！唷螦BA1=∠CBC1。BCBC1，∠ABC+∠ABC∴△ABA1∽△CBC1?！?/p>

SS

ABA1CBC1

22AB416。CB525∵S△ABA1=4，∴S△CBC1=25。4（3）過點(diǎn)B作BD⊥AC，D為垂足，∵△ABC為銳角三角形，∴點(diǎn) D在線段AC上。在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=52。2①如圖1，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最小。5最小值為：EP1=BP1﹣BE=BD﹣BE= 2﹣2。②如圖2，當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B12/30旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大。最大值為：EP1=BC+BE=5+2=7?！究键c(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)?！痉治觥浚?）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)。2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積。3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至垂足點(diǎn)D，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB上時(shí)，EP1最?。虎诋?dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。練習(xí)題：如圖，⊙O的半徑為2，點(diǎn)O到直線l的距離為3，點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ切⊙O于點(diǎn)Q，則PQ的最小值為【 】A． 13 B ． 5 C ．3 D ．22.如圖，在四邊形ABCD中，∠A=90°，AD=4，連接BD，BD⊥CD，∠ADB=∠C．若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，則DP長的最小值為 ．三、應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求最值：典型例題例1. 如圖，圓柱形玻璃杯高為 12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底 4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿 4cm與蜂蜜相對的點(diǎn) A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 cm ．13/30【答案】15?！究键c(diǎn)】圓柱的展開，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，圓柱形玻璃杯展開（沿點(diǎn)A豎直剖開）后側(cè)面是一個(gè)長18寬12的矩形，作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對稱點(diǎn)B，連接BC交MN于點(diǎn)P，連接BM，過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線MA于點(diǎn)D。由軸對稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP＋PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離，且 AP=BP。由已知和矩形的性質(zhì)，得 DC=9，BD=12。在Rt△BCD中，由勾股定理得BC DC2 BD2 92 122 15。∴AP＋PC=BP＋PC=BC=15，即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為 15cm。例2.如圖，四邊形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別找一點(diǎn)M、N，使△AMN周長最小時(shí)，則∠AMN＋∠ANM的度數(shù)為【】A．130° B ．120° C ．110° D ．100°【答案】B?！究键c(diǎn)】軸對稱（最短路線問題），三角形三邊關(guān)系，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。【分析】根據(jù)要使△AMN的周長最小，即利用點(diǎn)的對稱，讓三角形的三邊在同一直線上，作出A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，即可得出∠AA′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°，進(jìn)而得出∠AMN＋∠ANM＝2(∠AA′M＋∠A″)即可得出答案：14/30如圖，作A關(guān)于BC和ED的對稱點(diǎn)A′，A″，連接A′A″，交BC于M，交CD于N，則A′A″即為△AMN的周長最小值。作DA延長線AH?！摺螧AD＝120°，∴∠HAA′＝60°?！唷螦A′M＋∠A″＝∠HAA′＝60°?！摺螹A′A＝∠MAA′，∠NAD＝∠A″，且∠MA′A＋∠MAA′＝∠AMN，∠NAD＋∠A″＝∠ANM，∴∠AMN＋∠ANM＝∠MA′A＋∠MAA′＋∠NAD＋∠A″＝2(∠AA′M＋∠A″)＝2×60°120°。故選B。例3.點(diǎn)A、Ｂ均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示．若P是x軸上使得PAPB的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA十QB的值最小的點(diǎn)，則OPOQ＝ ．【答案】5?！究键c(diǎn)】軸對稱（最短路線問題），坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，待定系數(shù)法，直線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系。【分析】連接AB并延長交x軸于點(diǎn)P，作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，求出點(diǎn)Q與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論：連接AB并延長交x軸于點(diǎn)P，由三角形的三邊關(guān)系可知，點(diǎn)P即為x軸上使得|PA－PB|的值最大的點(diǎn)?！唿c(diǎn)B是正方形ADPC的中點(diǎn)，∴P（3，0）即OP=3。作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q，則A′B即為QA+QB的最小值。15/30∵A′（-1，2），B（2，1），設(shè)過A′B的直線為：y=kx+b，12kbk553?！郠（0，。則2k，解得53），即OQ=1b3b3∴OP?OQ=3×5=5。3例4.如圖，正方形ABCD中，AB=4，E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，則PE+PB的最小值為．【答案】25。【考點(diǎn)】軸對稱（最短路線問題），正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接DE，交BD于點(diǎn)P，連接BD?！唿c(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對稱，∴DE的長即為PE+PB的最小值?！逜B=4，E是BC的中點(diǎn)，∴CE=2。在Rt△CDE中，DE=CD2+CE242+2225。例5.如圖，MN為⊙O的直徑，A、B是O上的兩點(diǎn)，過A作AC⊥MN于點(diǎn)C，過B作BD⊥MN于點(diǎn)D，P為DC上的任意一點(diǎn)，若MN＝20，AC＝8，BD＝6，則PA＋PB的最小值是?！敬鸢浮?4 2。【考點(diǎn)】軸對稱（最短路線問題），勾股定理，垂徑定理?！痉治觥俊進(jìn)N＝20，∴⊙O的半徑＝10。16/30連接OA、OB，在Rt△OBD中，OB＝10，BD＝6，∴OD＝2222＝8。OB－BD＝10－6同理，在Rt△AOC中，OA＝10，AC＝8，∴OC＝2222＝6。OA－AC＝10－8∴CD＝8＋6＝14。作點(diǎn)B關(guān)于MN的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，則AB′即為PA＋PB的最小值，B′D＝BD＝6，過點(diǎn)B′作AC的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)E。在Rt△AB′E中，∵AE＝AC＋CE＝8＋6＝14，B′E＝CD＝14，∴AB′＝ AE2＋B′E2＝ 142＋142＝14 2。例6. 閱讀材料：例：說明代數(shù)式x21(x3)2＋4的幾何意義，并求它的最小值．解：x21(x3)24(x0)212(x3)222，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)P（x，0）是x軸上一點(diǎn)，則(x0)22可以看成點(diǎn)（，）的距離，(x3)222可以看1P與點(diǎn)A01成點(diǎn)P與點(diǎn)B（3，2）的距離，所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA＋PB的最小值．設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為 A′，則PA=PA′，因此，求PA＋PB的最小值，只需求 PA′＋PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短，所以PA′＋PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構(gòu)造直角三角形 A′CB，因?yàn)锳′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值為 3 2。根據(jù)以上閱讀材料，解答下列問題：（1）代數(shù)式 (x 1)2 1 (x 2)2 9的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn) P（x，0）與點(diǎn)A（1，1）、點(diǎn)B 的距離之和．（填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)）17/30（2）代數(shù)式 x2 49 x2 12x 37的最小值為 ．【答案】解：（1）（2，3）。2）10?！究键c(diǎn)】坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，軸對稱（最短路線問題） ?！痉治觥浚?）∵原式化為(x1)212(x2)232的形式，∴代數(shù)式(x1)21(x2)29的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P（x，0）與點(diǎn)A1，1）、點(diǎn)B（2，3）的距離之和。（2）∵原式化為 (x 0)2 72 (x 6)2 12的形式，∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn) P（x，0）與點(diǎn)A（0，7）、點(diǎn)B6，1）的距離之和。如圖所示：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A′，則PA=PA′，∴求PA＋PB的最小值，只需求PA′＋PB的最小值，而點(diǎn)A′、B間的直線段距離最短?！郟A′＋PB的最小值為線段A′B的長度。∵A（0，7），B（6，1），∴A′（0，－7），A′C=6，BC=8?！郃B AC2 BC2 62 82=10。練習(xí)題：如圖，已知點(diǎn)A(1，1)、B(3，2)，且P為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，則△ABP的周長的最小值為 ．2. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有A(1，2)，B(3，3)兩點(diǎn)，現(xiàn)另取一點(diǎn)C(a，1)，當(dāng)a＝ 時(shí)，AC＋BC的值最小．18/30如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD上的任意一點(diǎn)，當(dāng)△AEF的周長最小時(shí)，則DF的長為【】A．1 B．2 C．3 D．4如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=6，BD=8，點(diǎn)E、F分別是邊AB、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在AC上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，存在 PE+PF的最小值，則這個(gè)最小值是 【 】A．3 B ．4 C ．5 D ．6四、應(yīng)用二次函數(shù)求最值典型例題：例1. 正方形ABCD的邊長為1cm，M、N分別是BC．CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且始終保持 AM⊥MN，當(dāng)BM= cm 時(shí)，四邊形ABCN的面積最大，最大面積為 cm 2．【答案】1，5。2 819/30【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)BM=xcm，則MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC?！唷鰽BM∽△MCN，∴ABBM，即11x，解得CN=x（1﹣x）。MCCNxCN1（）12111125∴S四邊形ABCN1xx（x）。[1x1x]2222282∵1＜0，∴當(dāng)x=1cm時(shí)，S最大，最大值是5222四邊形ABCN8例2.如圖，線段AB的長為2，C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE長的最小值是．【答案】1?！究键c(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，等腰直角三角形的性質(zhì)，平角定義，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥吭O(shè)AC＝x，則BC＝2－x，∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝ 2x，CE＝2(2－x)。2∴∠DCE＝90°。22222222－2x＋2＝(x－1)2∴DE＝DC＋CE＝（2x）＋[(2－x)]＝x＋1。22∴當(dāng)x＝1時(shí)，DE取得最小值，DE也取得最小值，最小值為1。例3.在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)（P與B、C不重合），過點(diǎn)P作AP⊥PE，垂足為P，PE交CD于點(diǎn)E.連接AE，當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí)，求BP的長；若設(shè)BP為x，CE為y，試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式。當(dāng)x取何值時(shí)，y的值最大？最大值是多少？若PE∥BD，試求出此時(shí)BP的長.20/30【答案】解：（1）∵△APE≌△ADE，∴AP=AD=3。在Rt△ABP中，AB=2，∴BP=AP2 AB2 32 22 5。2）∵AP⊥PE，∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE?！郃BBP，即2xx。∴y1x23x。PCCE3y22∵y123x13)29x22(x822∴當(dāng)x3時(shí)，y的值最大，最大值是9。28（2）設(shè)BP=x,由（2）得CE1x23x。22∵PE∥BD，，∴△CPE∽△CBD。CPCE3x1x23x∴，即22，CBCD32化簡得3x213x120。解得x14或x23（不合題意，舍去）。3∴當(dāng)BP=4時(shí)，PE∥BD。3【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，平行的性質(zhì)，解一元二次方程。【分析】（1）由△APE≌△ADE可得AP=AD=3，在Rt△ABP中，應(yīng)用勾股定理即可求得 BP的長。（2）由AP⊥PE，得Rt△ABP∽R(shí)t△PCE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式得y與x的函數(shù)關(guān)系式。化為頂點(diǎn)式即可求得當(dāng)x3時(shí)，y的值最大，最大值是9。2 8（3）由PE∥BD，得△CPE∽△CBD，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可列式可求得 BP的長。21/30例4.如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，CE⊥AB于E，設(shè)∠ABC=α（60°≤α＜90°）．（1）當(dāng)α=60°時(shí)，求CE的長；（2）當(dāng)60°＜α＜90°時(shí)，①是否存在正整數(shù) k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出 k的值；若不存在，請說明理由．2 2②連接CF，當(dāng)CE﹣CF取最大值時(shí)，求tan∠DCF的值．【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=CE，即sin60°=CE3，解得53。BC102CE=（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，∵F為AD的中點(diǎn)，∴AF=FD。在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。在△AFG和△CFD中，∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD，∴△AFG≌△CFD（AAS）?！郈F=GF，AG=CD?！逤E⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G?！逜B=5，BC=10，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，∴AG=5，AF=1AD=1BC=5。∴AG=AF。2 2∴∠AFG=∠G。在△AFG中，∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF，又∵∠CFD=∠AFG，∴∠CFD=∠AEF?！唷螮FD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF，因此，存在正整數(shù) k=3，使得∠EFD=3∠AEF。②設(shè)BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x，2222。在Rt△BCE中，CE=BC﹣BE=100﹣x22222在Rt△CEG中，CG=EG+CE=（10﹣x）+100﹣x=200﹣20x。22/3021CG）22∵CF=GF（①中已證），∴CF=（=1CG=1（200﹣20x）=50﹣5x。∴CE﹣CF=100﹣x﹣50+5x=﹣x244+50+25。2+5x+50=﹣（x﹣5）222224∴當(dāng)x=522取最大值。2，即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí)，CE﹣CF此時(shí)，EG=10﹣x=10﹣5=15，CE=100x2=10025=515，2242CG51515∴tanDCFtanG2。EG1532【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值，平行四邊形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的最值，勾股定理?！痉治觥浚?）利用60°角的正弦值列式計(jì)算即可得解。（2）①連接CF并延長交BA的延長線于點(diǎn)G，利用“角邊角”證明△AFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得EF=GF，再根據(jù)AB、BC的長度可得AG=AF，然后利用等邊對等角的性質(zhì)可得∠ AEF=∠G=∠AFG，根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠EFC=2∠G，然后推出∠EFD=3∠AEF，從而得解。2②設(shè)BE=x，在Rt△BCE中，利用勾股定理表示出 CE，表示出EG的長度，在Rt2 2△CEG中，利用勾股定理表示出 CG，從而得到CF，然后相減并整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答。例6.如圖所示，現(xiàn)有一張邊長為4的正方形紙片ABCD，點(diǎn)P為正方形AD邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)D重合）將正方形紙片折疊，使點(diǎn) B落在P處，點(diǎn)C落在G處，PG交DC于H，折痕為EF，連接BP、BH．1）求證：∠APB=∠BPH；2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AD上移動(dòng)時(shí)，△PDH的周長是否發(fā)生變化？并證明你的結(jié)論；3）設(shè)AP為x，四邊形EFGP的面積為S，求出S與x的函數(shù)關(guān)系式，試問S是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在，請說明理由．23/30【答案】解：（1）如圖1，∵PE=BE，∴∠EBP=∠EPB．又∵∠EPH=∠EBC=90°，∴∠EPH﹣∠EPB=∠EBC﹣∠EBP，即∠PBC=∠BPH。又∵AD∥BC，∴∠APB=∠PBC?！唷螦PB=∠BPH。（2）△PHD的周長不變?yōu)槎ㄖ?8。證明如下：如圖2，過B作BQ⊥PH，垂足為Q。由（1）知∠APB=∠BPH，又∵∠A=∠BQP=90°，BP=BP，∴△ABP≌△QBP（AAS）?！郃P=QP，AB=BQ。又∵AB=BC，∴BC=BQ。又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH，∴△BCH≌△BQH（HL）?！郈H=QH?！唷鱌HD的周長為：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8。（3）如圖3，過F作FM⊥AB，垂足為M，則FM=BC=AB。又∵EF為折痕，∴EF⊥BP。∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°。∴∠EFM=∠ABP。又∵∠A=∠EMF=90°，AB=ME，∴△EFM≌△BPAASA）?！郋M=AP=x．222x2∴在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，即BE2+。8x2∴CFBEEM2+x。8又∵四邊形PEFG與四邊形BEFC全等，24/30∴S1BECFBC=14+x2x4=1x22x+8=1x22+6。22422∵0<1<4，∴當(dāng)x=2時(shí)，S有最小值6。2【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題），正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，二次函數(shù)的最值?！痉治觥浚?）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出∠ PBC=∠BPH，進(jìn)而利用平行線的性質(zhì)得出∠ APB=∠PBC即可得出答案。2）先由AAS證明△ABP≌△QBP，從而由HL得出△BCH≌△BQH，即可得CH=QH。因此，PDH的周長=PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8為定值。2 2 2（3）利用已知得出△EFM≌△BPA，從而利用在Rt△APE中，（4﹣BE）+x=BE，利用（2011內(nèi)蒙古巴彥淖爾、赤峰14分）如圖（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點(diǎn)E在線段BC上，∠AEF=90°，且EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)N，F(xiàn)N⊥BC．（1）若點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點(diǎn)E在BC間運(yùn)動(dòng)時(shí)（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時(shí)，y有最大值，并求出這個(gè)最大值．A DP A C PFFBECNBEDN圖1圖2五、應(yīng)用其它知識(shí)求最值：典型例題： D。例2.（2012廣西來賓3分）如圖，已知線段OA交⊙O于點(diǎn)B，且OB=AB，點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠OAP的最大值是【 】25/30A．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】A。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特殊角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P′，即AP′與⊙O相切時(shí)，∠OAP最大。連接OP′，則AP′⊥OP′，即△AOP′是直角三角形?！逴B=AB，OB=OP′，∴OA=2OP′?！鄐inOAPOP100。故選A。?！唷螼AP′=30，即∠OAP的最大值是=30OA2例4.（2012河北省12分）如圖1和2，在△ABC中，AB=13，BC=14，cos∠ABC=5．13探究：如圖1，AH⊥BC于點(diǎn)H，則AH= ，AC= ，△ABC的面積S△ABC= ；拓展：如圖2，點(diǎn)D在AC上（可與點(diǎn)A，C重合），分別過點(diǎn)A、C作直線BD的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BD=x，AE=m，CF=n（當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí)，我們認(rèn)為S△ABD=0）1）用含x，m，n的代數(shù)式表示S△ABD及S△CBD；2）求（m+n）與x的函數(shù)關(guān)系式，并求（m+n）的最大值和最小值；3）對給定的一個(gè)x值，有時(shí)只能確定唯一的點(diǎn)D，指出這樣的x的取值范圍．發(fā)現(xiàn)：請你確定一條直線，使得A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個(gè)最小值．【答案】解：探究：12；15；84。拓展：（1）由三角形面積公式，得SABD 1BDAE1xm，SCBD1BDCF1xn。2 2 2 2（2）由（1）得m 2SABD，n2SCBD，x x26/30∴m+n2SABD+2SCBD2SABC168xxxx∵△ABC中AC邊上的高為2SABC=168=56，∴x的取值范圍為56AC155x14。5∵m+n隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=56時(shí)，m+n的最大值為15，當(dāng)x=14時(shí)，m+n的最小值為512。（3）x的取值范圍為x=56或13<x 14。556發(fā)現(xiàn)：直線AC，A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和最小，最小值為 。【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問題，銳角三角函數(shù)定義，特殊角有三角函數(shù)值，勾股定理，垂直線段的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)?！痉治觥刻骄浚涸赗t△ABH中，AB=13，cosABC5，∴BH=ABcosABC1355。1313∴根據(jù)勾股定理，得AHAB2BH21325212?！連C=14，∴HC=BC－BH=9?！喔鶕?jù)勾股定理，得ACAB2+HC2122+9215?！郤ABC1BCAH1141284。22拓展：（1）直接由三角形面積公式可得。（2）由（1）和SABCSABD+SCBD即可得到m+n關(guān)于x的反比例函數(shù)關(guān)系式。根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì)，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，x最小，由面積公式可求得；因?yàn)锳B=13，BC=14，所以當(dāng)BD=BC=14時(shí)，x最大。從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求出m+n）的最大值和最小值。（3）當(dāng)x=56時(shí)，此時(shí)BD⊥AC，在線段AC上存在唯一的點(diǎn)D；當(dāng)56<x13時(shí)，55此時(shí)在線段AC上存在兩點(diǎn)D；當(dāng)13<x14時(shí)，此時(shí)在線段AC上存在唯一的點(diǎn)D。因此x的取值范圍為x=56或13<x14。5發(fā)現(xiàn)：由拓展（2）知，直線AC，A、B、C三點(diǎn)到這條直線的距離之和（即△ABC中AC邊上的高）最小，最小值為56（它小于BC邊上的高12和AB邊上的高2SABC=168）。5AB13例5.（2011河北省10分）如圖1至圖4中，兩平行線AB、CD間的距離均為6，點(diǎn)M為AB上一定點(diǎn)．27/30思考如圖1，圓心為0的半圓形紙片在AB，CD之間（包括AB，CD）