常微分方程教程

常微分方程教程第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例1求平面上過點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線方程.解:設(shè)所求的曲線方程為由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,應(yīng)有即又由條件:曲線過(1,3),即于是得故所求的曲線方程為:第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例2物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型

將某物體放置于空氣中,在時(shí)刻時(shí),測得它的溫度為10分鐘后測量得溫度為

試決定此物體的溫度

和時(shí)間

的關(guān)系,并計(jì)算20分鐘后物體的溫度.這里假設(shè)空氣的溫度保持在第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一解:Newton冷卻定律:1.熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo);2.在一定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.

設(shè)物體在時(shí)刻

的溫度為

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義,則溫度的變化速度為

由Newton冷卻定律,得到

其中

為比例系數(shù).此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.注意:此式子并不是直接給出

和

之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得

與

之間的關(guān)系式,以后再介紹.第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例4

數(shù)學(xué)擺

數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為

的線上而質(zhì)量為

的質(zhì)點(diǎn)M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動(dòng).如圖所示.試確定擺的運(yùn)動(dòng)方程.

解:Newton第二定律:

取反時(shí)針運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?jì)量擺與鉛垂線所成的角

的正方向.則由Newton第二定律,得到擺的運(yùn)動(dòng)方程為附注1:如果研究擺的微小振動(dòng),即當(dāng)

比較小時(shí),可以取的近似值

代入上式,這樣就得到微小振動(dòng)時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程:

第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一附注2:假設(shè)擺是在一個(gè)有粘性的介質(zhì)中作擺動(dòng),如果阻力系數(shù)為

則擺的運(yùn)動(dòng)方程為:附注3:假設(shè)擺還沿著擺的運(yùn)動(dòng)方向受到一個(gè)外力F(t)的作用,則擺的運(yùn)動(dòng)方程為:第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一事實(shí)上，很多問題的處理都?xì)w結(jié)為一個(gè)(或幾個(gè)）帶有微分的方程，如：傳染病模型經(jīng)濟(jì)增長模型正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)藥物在體內(nèi)的分布與排除香煙過濾嘴的作用人口預(yù)測和控制煙霧的擴(kuò)散與消失萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一

把聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.

§1.2基本概念如果其中的未知函數(shù)只與一個(gè)自變量有關(guān)，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個(gè)或兩個(gè)以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程.未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為方程的階.

定義第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例如下面的方程都是微分方程一階常微分方程一階常微分方程二階常微分方程四階常微分方程二階偏微分方程第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一(6)式是n階常微分方程的一般形式（n

階隱式方程）。

n

階顯式方程的一般形式為

n階常微分方程在方程(6)中，如果左端函數(shù)F對(duì)未知函數(shù)y和它的各階導(dǎo)數(shù)y′,y″,…,的全體而言是一次的，則稱為線性常微分方程，否則稱它為非線性常微分方程.這樣，一個(gè)以y為未知函數(shù)，以x為自變量的n階線性微分方程具有如下形式：

第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一通解與特解微分方程的解就是滿足方程的函數(shù)，可定義如下:定義在區(qū)間

上連續(xù)，且有直到n階的代入方程(6)，得到在區(qū)間

則稱為方程(6)在區(qū)間

上的一個(gè)解.導(dǎo)數(shù).如果把

上關(guān)于

的恒等式,即設(shè)函數(shù)第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一從定義可以直接驗(yàn)證：

1.函數(shù)是方程在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常數(shù).2.函數(shù)

是方程和是獨(dú)立的在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中任意常數(shù).

第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一3.函數(shù)是方程在區(qū)間(-∞，+∞)上的解，其中是任意的常數(shù).從上面的例子中，可以看到一個(gè)重要事實(shí)，那就是微分方程的解中可以包含任意常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到與方程的階數(shù)相等（也可以不含任意常數(shù)）.第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一把n階常微分方程定義的含有n個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為該方程的通解，

如果方程的解不包含任意常數(shù)，則稱它為特解.

由隱式表出的通解稱為通積分

第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例如函數(shù)是方程在區(qū)間(-∞，+∞)上的通解，其中是任意的常數(shù).而

y=1而是方程的一個(gè)特解。

第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例自由落體

設(shè)質(zhì)量為m的物體，在時(shí)間t=0時(shí)，在距地面高度為H處以初始速度

垂直地面下落，求此物體下落時(shí)距離與時(shí)間的關(guān)系.解:如圖建立坐標(biāo)系.設(shè)y=y(t)為t時(shí)刻物體的位置坐標(biāo).則易得物體下落所滿足的方程為y’’=-g（*）其中g(shù)是重力加速度.初值問題第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一這表明方程(*)有無數(shù)個(gè)解，原因是未考慮初始狀態(tài)。為了確定相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)，考慮初始條件：于是，得到所要求的自由落體的運(yùn)動(dòng)方程為得是通解，其中是兩個(gè)任意常數(shù)。容易驗(yàn)證第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一綜上所述，自由落體的問題可歸結(jié)為求如下初值問題（柯西問題（cauchy)）的解：對(duì)于一般的n階方程，初值問題（柯西問題）的一般提法是：

第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一例求方程

的滿足初值條件的解.解:方程通解為求導(dǎo)數(shù)后得將初值條件代入，得到方程組

第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期一解出

故所求特解為第20頁，共21頁，202