隨機過程與排隊論習題

隨機過程與排隊論計算機科學與工程學院顧小豐Email：guxf@28四月20232023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐病人以每小時3人的泊松流到達醫(yī)院，假設該醫(yī)院只有一個醫(yī)生服務，他的服務時間服從負指數(shù)分布，并且平均服務一個顧客時間為15分鐘。（a)醫(yī)生空閑時間的比例？（b)有多少病人等待看醫(yī)生？（c)病人的平均等待時間？

(d)一個病人等待超過一個小時的概率？習題118－22023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解由題設知，＝3(人/小時)，＝4(人/小時)，＝，該系統(tǒng)按M/M/1/型處理。P{醫(yī)生空閑}＝P{系統(tǒng)空閑}＝p0＝1－＝＝0.25。平均等待對長平均等待時間即平均有2.25個病人等待看醫(yī)生即病人的平均等待時間為0.75小時，即45分鐘。18－32023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解(續(xù))P{等待超過一個小時}＝P{Wq＞1}＝1－P{Wq≤1}＝1－Wq(1)＝e-(1-)即病人等待超過一個小時的概率約為0.276?！?.27618－42023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐一臺計算機有2個終端，假定計算一個題目的時間服從負指數(shù)分布，平均20分鐘。假定題目是以泊松流到達，平均每小時到達5個。求積壓題目的概率及平均積壓的題目數(shù)。習題218－52023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解由題設知，＝5(題/小時)，＝3(題/小時)，c＝2，該系統(tǒng)按M/M/c/型處理。P{積壓題目}＝P{題目到達時需要等待}平均積壓的題目數(shù)18－62023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐考慮一個M/M/1/K排隊系統(tǒng)，λ＝10人/小時，μ＝30人/小時，K＝2。管理者想改進服務機構，提出了兩個方案。方案I：增加等待空間，K＝3；方案II：提高服務率，μ＝40人/小時。假設在單位時間內(nèi)單位服務成本5元和每服務一個顧客收益8元不變得情況下，哪個方案獲得更大的收益？當λ＝30人/小時，又有什么結果？習題318－72023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解單位時間內(nèi)的純收入為方案I(λ＝10人/小時，μ＝30人/小時，K＝3)：方案II(λ＝10人/小時，μ＝40人/小時，K＝2):故方案I比方案II好。18－82023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解(續(xù))當λ＝30人/小時：方案I(λ＝30人/小時，μ＝30人/小時，K＝3)：方案II(λ＝30人/小時，μ＝40人/小時，K＝2):故方案I比方案II好。18－92023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐某系統(tǒng)利用2臺計算機進行容錯處理。如果1臺計算機正常工作時間服從負指數(shù)分布，平均10天，而計算機損壞時由1名工程師維修，維修1臺計算機的時間是負指數(shù)分布的，平均5天。求：2臺計算機都正常運行的概率和由于計算機損壞無法運行的概率，系統(tǒng)中平均運行的計算機數(shù)。習題418－102023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解由題設知，＝1/10(臺/天)，＝1/5(臺/天)，＝1/2，該系統(tǒng)按M/M/c/m/m型處理，c＝1，m＝2。P{2臺計算機都正常運行}＝p0P{計算機損壞無法運行}＝p218－112023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解(續(xù))平均發(fā)生故障的計算機數(shù)系統(tǒng)中平均運行的計算機數(shù)為2-0.8＝1.2(臺)18－122023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐習題5某電視臺有2部發(fā)射機，1部發(fā)射1部備用。如果1部正常工作時間服從負指數(shù)分布，平均9天，而調(diào)整維修1部機器的是負指數(shù)分布的，平均3天。求無備用機而正常運轉的概率和由于停機無法發(fā)射的概率。18－132023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解由題設知，＝1/9(臺/天)，＝1/3(臺/天)，＝1/3，該系統(tǒng)按M/M/c/m+k/m型處理，c＝1，m＝1，k＝1。若無備用機器，即K＝0，化為M/M/c/m/m型系統(tǒng)：P{無備用機而正常運轉}＝p018－142023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解(續(xù))對M/M/1/1+1/1型系統(tǒng)P{由于停機無法發(fā)射}＝p218－152023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐在一商店，顧客以泊松流到達收銀臺，平均5分鐘到達9個顧客；而服務員每5分鐘能服務10個顧客，服務時間服從指數(shù)分布。商店經(jīng)理希望將顧客等待時間不超過1分鐘。他有兩個方案：增加一名服務同樣效率的服務員,即提高服務率一倍。增加一新柜臺。試分析選擇那種方案？習題618－162023/4/28計算機科學與工程學院顧小豐解方案1

＝9/5(個/分鐘)，＝4(個/分鐘),＝9/20＜1，該系統(tǒng)按M/M/1/∞型處理，平均等待時間18－17(分鐘)2023/4/28計算機科學與工程