空間向量在立體幾何中的應(yīng)用和習(xí)題

.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：(1)直線的方向向量與平面的法向量：①如圖，l為經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使得OPOAta，其中向量a叫做直線的方向向量．由此可知，空間任意直線由空間一點(diǎn)及直線的方向向量獨(dú)一確定．②若是直線l⊥平面，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量．由此可知，給定一點(diǎn)A及一個(gè)向量a，那么經(jīng)過(guò)點(diǎn)A以向量a為法向量的平面獨(dú)一確定．(2)用空間向量刻畫(huà)空間中平行與垂直的地址關(guān)系：設(shè)直線l，m的方向向量分別是a，b，平面，的法向量分別是u，v，則①l∥ma∥ba＝kb，k∈R；②⊥m⊥·＝0；labab③l∥a⊥ua·u＝0；④⊥∥a＝ku，∈R；lauk⑤∥u∥vu＝kv，k∈R；⑥⊥u⊥vu·v＝0．(3)用空間向量解決線線、線面、面面的夾角問(wèn)題：①異面直線所成的角：設(shè)a，b是兩條異面直線，過(guò)空間任意一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，則a′與b′所夾的銳角或直角叫做異面直線a與b所成的角．設(shè)異面直線a與b的方向向量分別是v12，顯然π2|v1v2||cosv1,v2||v1||v2|②直線和平面所成的角：直線和平面所成的角是指直線與它在這個(gè)平面的射影所成的角．設(shè)直線a的方向向量是u，平面的法向量是v，直線a與平面的夾角為，顯然πu,v||uv|[0,]，則|cos2|u||v|③二面角及其胸襟：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角．記作－l－在二面角的棱上任取一點(diǎn)O，在兩個(gè)半平面分別作射線OA⊥，⊥，則∠AOB叫做二面角－－的平lOBll面角．利用向量求二面角的平面角有兩種方法：方法一：如圖，若AB，CD分別是二面角－l－的兩個(gè)面與棱l垂直的異面直線，則二面角－l－的大Word資料.小就是向量AB與CD的夾角的大?。椒ǘ喝鐖D，m1，m2分別是二面角的兩個(gè)半平面，的法向量，則〈m1，m2〉與該二面角的大小相等或互補(bǔ)．(4)依照題目特點(diǎn)，同學(xué)們可以靈便選擇運(yùn)用向量方法與綜合方法，從不同樣角度解決立體幾何問(wèn)題．【例題解析】例1如圖，在長(zhǎng)方體OAEB－OAEB中，OA＝3，OB＝4，OO＝2，點(diǎn)P在棱AA上，且AP111111＝21，點(diǎn)S在棱1上，且1＝2，點(diǎn)，R分別是11，AE的中點(diǎn)，求證：∥．PABBBSSBQOBPQRS【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，想法證明存在實(shí)數(shù)k，使得PQkRS.解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則O(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，2)，E(3，4，0)．∵AP＝2PA1，∴AP2AA12(0,0,2)(0,0,4),∴P(3,0,4)33332同理可得：Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0,4,)32PQ(3,2,)RS,3PQ//RS，又RPQ，PQ∥RS．【議論】1、證明線線平行的步驟：Word資料.(1)證明兩向量共線；(2)證明其中一個(gè)向量所在直線上一點(diǎn)不在另一個(gè)向量所在的直線上即可．2、本體還可采用綜合法證明，連接PR，QS，證明PQRS是平行四邊形即可，請(qǐng)完成這個(gè)證明．例2已知體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面AMN∥平面EFBD．【解析】要證明面面平行，可以經(jīng)過(guò)線線平行來(lái)證明，也可以證明這兩個(gè)平面的法向量平行．解法一：設(shè)體的棱長(zhǎng)為4，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(4，0，0)，M(2，0，4)，N(4，2，4)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(xiàn)(2，4，4)．取MN的中點(diǎn)K，EF的中點(diǎn)G，BD的中點(diǎn)O，則O(2，2，0)，K(3，1，4)，G(1，3，4)．MN＝(2，，0)，EF＝(2，，，AK＝－，，，OG＝－，，4)，220)(114)(11∴MN∥EF，AKOG，∴MN//EF，AK//OG，MN∥平面EFBD，AK∥平面EFBD，∴平面AMN∥平面EFBD．解法二：設(shè)平面AMN的法向量是a＝(a1，a2，a3)，平面EFBD的法向量是＝(b1，b2，b3)．由aAM0,aAN0,2a14a30,得2a24a30,

取a3＝1，得a＝(2，－2，1)．由bDE0,bBF0,2b24b30,得取b3＝1，得b＝(2，－2，1)．2b14b30,a∥b，∴平面AMN∥平面EFBD．注：本題還可以不建立空間直角坐標(biāo)系，經(jīng)過(guò)綜合法加以證明，請(qǐng)?jiān)囈辉嚕?在體－1111中，M，N是棱11，1的中點(diǎn)，求異面直線AM和CN所成角的余ABCDABCDABBB弦值．Word資料.解法一：設(shè)體的棱長(zhǎng)為2，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，M(2，1，2)，C(0，2，0)，N(2，2，1)．AM(0,1,2),CN(2,0,1),設(shè)AM和CN所成的角為，則cosAMCN2|AM||CN|,5∴異面直線AM和CN所成角的余弦值是25解法二：取AB的中點(diǎn)，1的中點(diǎn)Q，連接1，1，，．PCCBPBQPQPC易證明：BP∥MA，BQ∥NC，11∴∠PB1Q是異面直線AM和CN所成的角．設(shè)體的棱長(zhǎng)為2，易知B1PB1Q5,PQPC2QC26,∴cosPB1QB1P2B1Q2PQ22,2B1PB1Q52∴異面直線AM和CN所成角的余弦值是5【議論】空間兩條直線所成的角是不高出90°的角，因此按向量的夾角公式計(jì)算時(shí)，分子的數(shù)量積若是是負(fù)數(shù)，則應(yīng)取其絕對(duì)值，使之成為正數(shù)，這樣才能獲取異面直線所成的角(銳角)．例4如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)棱長(zhǎng)為2a，求直線AC1與平面ABB1A1所成角的大?。甒ord資料.【解析】利用正三棱柱的性質(zhì)，合適建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出有關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求角時(shí)有兩種思路：一是由定義找出線面角，再用向量方法計(jì)算；二是利用平面ABB1A1的法向量求解．解法一：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0,0,2a),C1(3a,a,2a)取A1B1的中點(diǎn)D，則D(0,a,2a)，連接AD，C1D．222則DC(3a,0,0),AB(0,a,0),AA1(0,0,2a),2DC1AB0,DC1AA10,DC1⊥平面ABB1A1，∴∠C1AD是直線AC1與平面ABB1A1所或的角．AC1(3a,a,2a),AD(0,a,2a),222cosC1ADAC1AD3，|AC1||AD|2∴直線AC與平面ABBA所成角的大小是30°．111解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，(0，，0)，1(0，0，2a)，13aa,2)，22從而AB(0,a,0),AA1(0,0,2a),AC1(3a,a,2a)22設(shè)平面ABB1A1的法向量是a＝(p，q，r)，由aAB0,aAA10,aq0,得取p＝1，得a＝(1，0，0)．2ar0,π設(shè)直線AC1與平面ABB1A1所成的角為,[0,],2Word資料.sin|cosAC1,a||AC1a|1,30.|AC1||a|2【議論】充分利用幾何體的特點(diǎn)建立合適的坐標(biāo)系，再利用向量的知識(shí)求解線面角；解法二給出了一般的方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再利用兩角互余變換．例5如圖，三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC2，求二面角A－PB－C的平面角的余弦值．解法二圖解法一：取PB的中點(diǎn)D，連接CD，作AE⊥PB于E．PA＝AC＝1，PA⊥AC，PC＝BC＝2，∴CD⊥PB．∵EA⊥PB，∴向量EA和DC夾角的大小就是二面角A－PB－C的大?。鐖D建立空間直角坐標(biāo)系，則C(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，2，0)，P(1，0，1)，由D是PB12,1)的中點(diǎn)，得D(,222由PEAP21得E是PD的中點(diǎn)，從而323)EBAB23,E(4,4,4123121EA(4,4,4),DC(2,2,2)cosEA,DCEADC3|EA||DC|3即二面角A－－C的平面角的余弦值是3PB3解法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2,1,0)，(0，1，0)，(0，0，1)，CPAP(0,0,1),AB(2,1,0),CB(2,0,0),CP(0,1,1).設(shè)平面PAB的法向量是a＝(a1，a2，a3)，Word資料.平面PBC的法向量是b＝(b1，b2，b3)．由aAP0,aAB0,a30,取a1＝1，得a(1,2,0).得a22a10,由bCB2b10,取b3＝1，得b＝(0，1，1)．0,bCP0得b3b20,cosa,bab3|a||b|3∵二面角A－PB－C為銳二面角，∴二面角A－PB－C的平面角的余弦值是|3|333【議論】1、求二面角的大小，可以在兩個(gè)半平面作出垂直于棱的兩個(gè)向量，轉(zhuǎn)變成這兩個(gè)向量的夾角；應(yīng)注意兩個(gè)向量的始點(diǎn)應(yīng)在二面角的棱上．2、當(dāng)用法向量的方法求二面角時(shí)，有時(shí)不易判斷兩個(gè)平面法向量的夾角是二面角的平面角還是其補(bǔ)角，但我們可以借助觀察圖形而獲取結(jié)論，這是因?yàn)槎娼鞘卿J二面角還是鈍二面角一般是顯然的．練習(xí)一、選擇題：1．在體－1111中，E是1的中點(diǎn)，則二面角－11－D的平面角的正切值是( )ABCDABCDBBEAD(A)2(B)2(C)5(D)222．體ABCD－A1B1C1D1中，直線AD1與平面A1ACC1所成角的大小是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°3．已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于()(A)1(B)2(C)3(D)233334．如圖，⊥，∩＝l，A∈，B∈，A，B到l的距離分別是a和b，AB與，所成的角分別是和，AB在，的射影分別是m和n，若a＞b，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是()(A)＞，m＞n(B)＞，m＜n(C)＜，m＜n(D)＜，m＞n二、填空題：5．在體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成角的大小是．6．已知正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)為6，且對(duì)角線與底面所成角的余弦值為3，則該正四棱柱的體積3等于．7．如圖，正四棱柱－1111中，AA1＝2，則異面直線1與AD1所成角的余弦值為_(kāi)_____．ABCDABCDABABWord資料.4題圖7題圖9題圖8．四棱錐－的底面是直角梯形，∠＝90°，∥，ABBC1AD，⊥底面，PABCDBADADBC2PAABCDPD與底面ABCD所成的角是30°．設(shè)AE與CD所成的角為，則cos＝．三、解答題：9．如圖，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，點(diǎn)E在CC1上，且C1E＝3EC．(Ⅰ)證明：A⊥平面；1(Ⅱ)求二面角A1－DE－B平面角的余弦值．10．如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，ABCπ，OA⊥底面ABCD，4OA＝2，M為OA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．(Ⅰ)證明：直線MN∥平面OCD；(Ⅱ)求異面直線AB與MD所成角的大小．11．如圖，已知直二面角－PQ－，A∈PQ，B∈，C∈，CA＝CB，∠BAP＝45°，直線CA和平面所成的角為30°．(Ⅰ)證明：BC⊥PQ；(Ⅱ)求二面角B－AC－P平面角的余弦值．Word資料.練習(xí)答案一、選擇題：1．B2．A3．B4．D二、填空題：425．60°6．27．58．4三、解答題：9題圖10題圖11題圖9．以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線DA為x軸的正半軸，建立以下列圖直角坐標(biāo)系D－xyz．依題設(shè)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，4)．DE(0,2,1),DB(2,2,0),A1C(2,2,4),DA1(2,0,4).(Ⅰ)∵A1CDB0,A1CDE0,∴AC⊥BD，AC⊥DE．11又DB∩DE＝D，∴A1C⊥平面DBE．(Ⅱ)設(shè)向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則nDE,nDA1.2yz0,∴2x4z0.

令y＝1，得n＝(4，1，－2)．nA1C14∴二面角A1－DE－B平面角的余弦值為14cos(n,A1C)4242|n||A1C|10．作AP⊥CD于點(diǎn)P．如圖，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立坐標(biāo)系．則A(0，0，0)，B(1，0，0)，P(0,2,0),D(2,2,0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(12,2,0)22244(Ⅰ)MN(12,2,1),OP(0,2,2),OD(2,2,2)44222()，則nOP0,nOD0,設(shè)平面OCD的法向量為n＝x，y，zWord資料.2即2y2z0,取z2,，得n(0,4,2).222x2y2z0.∵M(jìn)Nn0,∴MN∥平面OCD．(Ⅱ)設(shè)AB與MD所成的角為，22|ABMD|1πAB(1,0,0),MD(2,2,1),cos|AB||MD|2,3,即直線AB與MD所成角的大小為π311．(Ⅰ)證明：在平面過(guò)點(diǎn)C作⊥于點(diǎn)O，連接．COPQOB∵⊥，∩＝PQ，∴CO⊥．又∵CA＝CB，∴OA＝OB．∵∠BAO＝45°，∴∠ABO＝45°，∠AOB＝90°，∴BO⊥PQ，又CO⊥PQ，PQ⊥平面OBC，∴PQ⊥BC．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，⊥OA，⊥，OA⊥，故以O(shè)為原點(diǎn)，分別以直線，OA，OC為x軸，OCOCOBOBOBy軸，z軸建立空間直角