控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.3控制系統(tǒng)的復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型

2.3.1傳遞函數(shù)是在用拉氏變換求解線性常微分方程的過程中引申出來的概念。微分方程是在時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的數(shù)學(xué)模型，在給定外作用和初始條件下，解微分方程可以得到系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)變化時(shí)分析較麻煩。用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域的數(shù)學(xué)模型－傳遞函數(shù)。2第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一求例2-1RLC無源網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)例2-8解：RLC網(wǎng)絡(luò)的微分方程零初始條件下，對(duì)上述方程作拉氏變換

>>傳遞函數(shù)3第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一傳遞函數(shù)具體定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。零初始條件含義：1）輸入量：t≥0時(shí)才作用于系統(tǒng)，t=0-時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為零。2）輸出量：輸入量加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)，即輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0-時(shí)的值為零。4第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一式中c(t)是系統(tǒng)輸出量，r(t)是系統(tǒng)輸入量，a/b是與系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)的常系數(shù)。設(shè)r(t)和c(t)及其各階系數(shù)在t=0是的值均為零，即零初始條件，則對(duì)上式中各項(xiàng)分別求拉氏變換，并令R(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代數(shù)方程為：于是，由定義得系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：設(shè)線性定常系統(tǒng)由下述n階線性常微分方程描述：

5第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一傳遞函數(shù)的特點(diǎn):1.作為一種數(shù)學(xué)模型，傳遞函數(shù)只適用于線性定常系統(tǒng)，這是由于傳遞函數(shù)是經(jīng)拉普拉斯變換導(dǎo)出的，而拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算。2.傳遞函數(shù)是以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)中輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)，而與輸入量或輸入函數(shù)的形式無關(guān)。

7第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.傳遞函數(shù)可以是無量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所必須的單位，它不能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)。許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。4.傳遞函數(shù)只表示單輸入和單輸出(SISO)之間的關(guān)系，對(duì)多輸入多輸出(MIMO)系統(tǒng)，可用傳遞函數(shù)陣表示。8第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5.傳遞函數(shù)可表示成式中p1，p2……pn為分母多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；z1、z2、…zn為分子多項(xiàng)式的根，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；

9第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6.傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式稱為特征多項(xiàng)式，記為而D(s)=0稱為特征方程。傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次總是大于或等于分子多項(xiàng)式的階次，即n≥m。這是由于實(shí)際系統(tǒng)的慣性所造成的。10第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一傳遞函數(shù)的性質(zhì)如果將置換傳遞函數(shù)與微分方程之間有關(guān)系。性質(zhì)1性質(zhì)2傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)

脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時(shí)的輸出響應(yīng)。傳遞函數(shù)可表征控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，并用以求出給定輸入量時(shí)系統(tǒng)的零初始條件響應(yīng)，即由拉氏變換的卷積定理，有11第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在例1-1中，設(shè)當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù),即時(shí),求輸出解：根據(jù)例1得到的微分方程。

例2-612第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一13第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.3.2傳遞函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)對(duì)輸出的影響

為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)

K*=b0/a0為傳遞系數(shù)或根軌跡增益極點(diǎn)是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的模態(tài)。14第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一零點(diǎn)（O）距極點(diǎn)（X）的距離越遠(yuǎn)，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越大零點(diǎn)距極點(diǎn)的距離越近，該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)所占比重越小如果零極點(diǎn)重合－該極點(diǎn)所產(chǎn)生的模態(tài)為零，因?yàn)榉肿臃帜赶嗷サ窒?/p>

15第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.3.4典型元部件的傳遞函數(shù)電位器－將線位移或角位移變換為電壓量的裝置。

單個(gè)電位器用作為信號(hào)變換裝置。16第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一單位角位移，輸出電壓(v/rad)E-電位器電源(v)

－電位器最大工作角(rad)

17第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.3.5典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

任何一個(gè)復(fù)雜系統(tǒng)都是由有限個(gè)典型環(huán)節(jié)組合而成的。典型環(huán)節(jié)通常分為以下六種：1比例環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時(shí)間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達(dá)式為c(t)=Kr(t)比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。18第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程是一個(gè)一階微分方程其傳遞函數(shù)為式中T——慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)K——慣性環(huán)節(jié)的增益或放大系數(shù)

19第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，其單位階躍響應(yīng)為

單位階躍響應(yīng)曲線

20第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一慣性環(huán)節(jié)實(shí)例很多，如圖所示的R-L網(wǎng)絡(luò)，輸入為電壓u，輸出為電感電流i，其傳遞函數(shù)式中21第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3微分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動(dòng)態(tài)方程其傳遞函數(shù)式中Td稱微分時(shí)間常數(shù)

它的單位階躍響應(yīng)曲線22第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一如圖所示，理想微分環(huán)節(jié)實(shí)際上難以實(shí)現(xiàn)，因此我們常采用帶有慣性的微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù):其單位階躍響應(yīng)為23第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一曲線如下圖所示，實(shí)際微分環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)是按指數(shù)規(guī)律下降，若K值很大而Td值很小時(shí)，實(shí)際微分環(huán)節(jié)就愈接近于理想微分環(huán)節(jié)。24第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4積分環(huán)節(jié)輸出量正比于輸入量的積分的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動(dòng)態(tài)特性方程其傳遞函數(shù)式中Ti為積分時(shí)間常數(shù)。25第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一積分環(huán)節(jié)的單位階躍響應(yīng)為它隨時(shí)間直線增長(zhǎng)，當(dāng)輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。26第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一上圖為運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分環(huán)節(jié)，輸入ui(t)，輸出u0(t)，其傳遞函數(shù)為式中Ti=RC

27第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一5振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程為其傳遞函數(shù)式中為無阻尼自然振蕩角頻率，ζ為阻尼比，在后面時(shí)域分析中將詳細(xì)討論。28第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一圖中所示為RLC網(wǎng)絡(luò)，輸入為ui(t)、輸出u0(t)，其動(dòng)態(tài)特性方程其傳遞函數(shù)式中29第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一6純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)是輸入信號(hào)加入后，輸出信號(hào)要延遲一段時(shí)間τ后才重現(xiàn)輸入信號(hào)，其動(dòng)態(tài)方程為其傳遞函數(shù)是一個(gè)超越函數(shù)式中τ稱延遲時(shí)間

30第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4.1結(jié)構(gòu)圖

結(jié)構(gòu)圖也稱方塊圖或方框圖，具有形象和直觀的特點(diǎn)。系統(tǒng)方框圖是系統(tǒng)中各元件功能和信號(hào)流向的圖解，它清楚地表明了系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)間的相互關(guān)系。構(gòu)成方框圖的基本符號(hào)有四種，即信號(hào)線、比較點(diǎn)、傳遞環(huán)節(jié)的方框和引出點(diǎn)。31第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一32第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4.2系統(tǒng)方框圖的構(gòu)成對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)在清楚系統(tǒng)工作原理及信號(hào)傳遞情況下，可按方框圖的基本連接形式，把各個(gè)環(huán)節(jié)的方框圖，連接成系統(tǒng)方框圖。圖中為一無源RC網(wǎng)絡(luò)。選取變量如圖所示，根據(jù)電路定律，寫出其微分方程組為

33第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一34第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一零初始條件下，對(duì)等式兩邊取拉氏變換，得

35第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一RC網(wǎng)絡(luò)方框圖

各環(huán)節(jié)方框圖

36第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4.3環(huán)節(jié)間的連接

環(huán)節(jié)的連接有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋三種基本形式。1.串聯(lián):在單向的信號(hào)傳遞中，若前一個(gè)環(huán)節(jié)的輸出就是后一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入，并依次串接，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù):37第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即環(huán)節(jié)串聯(lián)后總的傳遞函數(shù)等于串聯(lián)的各個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。環(huán)節(jié)的串聯(lián)RC網(wǎng)絡(luò)38第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.并聯(lián):若各個(gè)環(huán)節(jié)接受同一輸入信號(hào)而輸出信號(hào)又匯合在一點(diǎn)時(shí)，稱為并聯(lián)。如圖所示。由圖可知總的傳遞函數(shù)為環(huán)節(jié)的并聯(lián)39第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一3.反饋：若將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號(hào)反饋到輸入端，與輸入信號(hào)相比較，就構(gòu)成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號(hào)與給定信號(hào)極性相反，則稱負(fù)反饋連接。反之，則為正反饋連接，若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱為單位反饋。反饋連接40第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一反饋連接后，信號(hào)的傳遞形成了閉合回路。通常把由信號(hào)輸入點(diǎn)到信號(hào)輸出點(diǎn)的通道稱為前向通道；把輸出信號(hào)反饋到輸入點(diǎn)的通道稱為反饋通道。對(duì)于負(fù)反饋連接，給定信號(hào)r(t)和反饋信號(hào)b(t)之差，稱為偏差信號(hào)e(t)即通常將反饋信號(hào)B(s)與誤差信號(hào)E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)，即開環(huán)傳遞函數(shù)=41第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一輸出信號(hào)C(s)與偏差信號(hào)E(s)之比，稱為前向通道傳遞函數(shù)，即前向通道傳遞函數(shù)=而系統(tǒng)輸出信號(hào)C(s)與輸入信號(hào)R(s)之比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，記為Φ(s)或GB(s)。42第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一得閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)于正反饋連接，則閉環(huán)傳遞函數(shù)為43第43頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2.4.4方框圖的變換和簡(jiǎn)化

除了前面介紹的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接可以簡(jiǎn)化為一個(gè)等效環(huán)節(jié)外，還有信號(hào)引出點(diǎn)及比較點(diǎn)前后移動(dòng)的規(guī)則。44