彈性力學(xué)初步

彈性力學(xué)初步第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一剛體：在任何外力作用下,形狀大小均不發(fā)生改變的物體。剛體內(nèi)任意兩質(zhì)元間的距離保持不變內(nèi)部質(zhì)元之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，宏觀上體現(xiàn)為形變或非均勻流動(dòng)。如果質(zhì)元之間可以有相對(duì)運(yùn)動(dòng)？剛體 忽略形變彈性體形變不可忽略流體無(wú)法維持固定的形狀彈性體和流體的研究方法：微元為有質(zhì)量的體積元質(zhì)量的體積元密度r力作用在微元的表面應(yīng)力：F/S微元不是離散的質(zhì)點(diǎn)第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一彈性形變——當(dāng)物體所受外力撤除后，在外力作用下所發(fā)生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復(fù)原狀的形變.彈性體——在外力作用下，物體內(nèi)部各點(diǎn)的相對(duì)位置發(fā)生改變；宏觀上，表現(xiàn)為物體的大小和形狀發(fā)生變化。自然界中并沒有完全彈性體，一般變形體，既有彈性，還有撤去外力后不能完全復(fù)原的塑性。假設(shè)：(1)變形體材料均勻連續(xù)，忽略實(shí)際物體中的微粒間的不連續(xù)性。認(rèn)為物體的性質(zhì)處處相同。多晶純橄欖石礦物在正交顯微鏡下圖像。顆粒之間是不連續(xù)的。每個(gè)顆粒都是橄欖石礦物。（注顏色不同是礦物雙折射的干涉產(chǎn)生的。）第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一(2)變形體材料各向同性，在各個(gè)方向具有相同的力學(xué)性質(zhì)。暫不考慮各向異性的材料。譬如：?jiǎn)尉歉飨虍愋缘?。多晶，在宏觀上表現(xiàn)出各向同性。這是由于多晶是大量單晶無(wú)規(guī)則排列的結(jié)果，在宏觀上的平均效果表現(xiàn)為各向同性(3)變形體變形很小，即物體幾何大小和形狀的改變與其總尺寸相比甚小。在形變很小的情況下，可以認(rèn)為物體內(nèi)各點(diǎn)的相對(duì)位移與力成正比，即該形變是彈性形變。這時(shí)，變形和作用力之間的關(guān)系仍然呈線性，是胡克定律在復(fù)雜力作用下的推廣，稱為“廣義胡克定律”第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一外力，內(nèi)力和應(yīng)力ABAB討論橫截面積遠(yuǎn)小于其長(zhǎng)度的細(xì)直桿。兩端受到沿軸線的力而平衡假想橫面AB將直桿分成上下兩部分。通過(guò)截面AB產(chǎn)生一對(duì)內(nèi)力。考慮平衡。應(yīng)力

Fn是內(nèi)力在外法線方向的投影，S是橫截面積單位：帕,N/m2

應(yīng)力是物體中各部分之間相互作用的內(nèi)力8.2.1線應(yīng)變第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在固體中一個(gè)截面上的應(yīng)力一般不與此截面垂直，我們可以將它分解為法向分量和切向分量，前者稱為正應(yīng)力，后者稱為剪切應(yīng)力。純正應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的體應(yīng)變純剪切應(yīng)力相對(duì)應(yīng)的剪切應(yīng)變趙州橋如果設(shè)計(jì)得好，楔型石料將主要承受壓應(yīng)力第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8線應(yīng)變?nèi)∫桓L(zhǎng)、寬、高分別為l，w，h的等截面桿形材料。如果兩端在拉力F作用下，其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為l，并滿足小變形假設(shè)。胡克定律：力與伸長(zhǎng)成正比，即F∝l。桿伸長(zhǎng)l不僅取決于外力F，也取決于桿的長(zhǎng)度。F∝l/l為得到桿形材料的伸長(zhǎng)l，力F將取決于該材料的橫截面積。F/S∝l/l相對(duì)伸長(zhǎng)l/l就是單位長(zhǎng)度的伸長(zhǎng)，一般稱為應(yīng)變。第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（僅形變較小時(shí)成立）胡克定律即Y是彈性模量(楊氏模量),是描寫材料本身彈性的物理量.FlOCDBOABPP

是塑性應(yīng)變.斷裂點(diǎn)彈性極限第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一實(shí)驗(yàn)：當(dāng)在一個(gè)方向上對(duì)材料拉伸時(shí)，必將在與這一伸長(zhǎng)垂直的方向上收縮。寬度的相對(duì)收縮正比于長(zhǎng)度的相對(duì)伸長(zhǎng)。根據(jù)材料的各向同性假設(shè)常數(shù)v

稱為泊松比，它是表征材料性質(zhì)的另一個(gè)參數(shù)。泊松比是一個(gè)無(wú)量綱的正數(shù)，小于1/2第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8.2.2疊加原理在力和位移上都是線性的，而且均滿足小位移假設(shè)，所以疊加原理成立。由此，一維情況下成立的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系與泊松比關(guān)系在多維情況下也成立第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8.2.3體應(yīng)變與剪切應(yīng)變1）體積形變·體應(yīng)力與體應(yīng)變?nèi)糁挥衟1單獨(dú)作用，棱邊a為縱向邊，棱邊b和c為橫向邊，三個(gè)應(yīng)變分別為：在p2單獨(dú)作用下，以及p3單獨(dú)作用下，棱邊a，b，c的應(yīng)變分別為：第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在應(yīng)力p1，p2，p3同時(shí)作用下，棱邊a的應(yīng)變?yōu)椋涸趹?yīng)力p1，p2，p3同時(shí)作用下，棱邊b和c的應(yīng)變?yōu)椋后w積：第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一體積變化（體應(yīng)變）當(dāng)

時(shí)，即靜水壓作用下K為體積模量，有關(guān)系由上式得，

要小于0.5。否則體積模量K為負(fù)值，材料會(huì)在增加壓力時(shí)發(fā)生膨脹。第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一2）剪切形變·切應(yīng)力與切應(yīng)變剪切形變——物體受到力偶作用使物體兩個(gè)平行截面間發(fā)生相對(duì)平行移動(dòng).ABCD切應(yīng)力S是截面ABCD的面積，物體受到力偶發(fā)生剪切變形切應(yīng)力具有與正應(yīng)力相同的量綱和單位.2.切應(yīng)力1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對(duì)力Odm1m2與參考點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān)第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一剪切應(yīng)力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應(yīng)力相等.思考：切應(yīng)力不相等時(shí)，物體會(huì)出現(xiàn)什么狀態(tài)？

abc力偶矩3.純剪切狀態(tài)：剪切應(yīng)力互等和’分別表示上下底面和左右側(cè)面的切應(yīng)力第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一4.剪切應(yīng)變描述abcdbc剪切形變特征:切應(yīng)變:平行截面間相對(duì)滑移與截面垂直距離之比.即形變小時(shí)，又稱切變角.第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一即G稱切變模量，由材料彈性決定.G反映材料抵抗剪切形變的能力，單位與彈性模量相同.剪切形變的胡克定律——若形變?cè)谝欢ㄏ薅葍?nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比.彈性模量E、切變模量G和泊松系數(shù)

之間的關(guān)系為5.剪切形變的胡克定律由上式得，

要大于-1。否則剪切模量G為負(fù)值，材料會(huì)在做剪切形變時(shí)對(duì)外力做功而不是外力做功使材料發(fā)生形變。第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一Y、G和

之間關(guān)系的推導(dǎo)FFFF水平方向的應(yīng)變?yōu)椋?）正應(yīng)力作用下2）剪切力作用下BD截面上受力為截面面積為因此拉(張)應(yīng)力為F/S

AC截面上壓應(yīng)力為-F/S第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在立方體處于純剪切狀態(tài)下，其剪切應(yīng)力F/S相當(dāng)于彼此大小相等、互相垂直，并與原立方體面成45°截面上的拉(張)應(yīng)力與壓應(yīng)力的組合。應(yīng)力與應(yīng)變可由下圖所示的力作用下的結(jié)論得到，這可由上一個(gè)關(guān)系式給出：其中一條對(duì)角線伸長(zhǎng)，另一條則縮短。在討論剪切應(yīng)變時(shí)，切應(yīng)變常采用角變形

角表示第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題：大理石在110MPa的應(yīng)力下才碎裂，它在破裂之前經(jīng)歷的最大應(yīng)變有多大？解：由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系 ， Y=55×109Pa或其它值（查得） =2×10-3例題：一種磚密度為2×103kg/m3，最大可承受40MPa的應(yīng)力。那么用這種磚一層層砌起高塔，能保持最底層的磚不破裂的塔的最大高度為多少？解：應(yīng)力為可推得：h=2040.8m第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題：一條鋁線長(zhǎng)0.850米，橫截面為圓形且直徑為0.780毫米。一端固定，另一端栓一1.20千克的物體在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。請(qǐng)問多大的角速度能使鋁線有1.00×10-3的應(yīng)變？解：鋁的楊氏模量E=69×109Pa 其中例題：一根鐵質(zhì)纜線橫截面面積為3.00平方厘米，每米重2.40千克。如果500米的纜線垂直懸掛于懸崖下，請(qǐng)問在它自身的重力作用下，纜線會(huì)伸長(zhǎng)多少米？解：在x處的應(yīng)力為 x處的·dx微元的伸長(zhǎng)量dl 總伸長(zhǎng)量為第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題：矩形橫截面桿在軸向拉力的作用下產(chǎn)生拉伸應(yīng)變?yōu)棣?，此材料的泊松比為σ，求證體積的相對(duì)改變?yōu)椋菏街蠽0和V分別代表原來(lái)和形變后的體積。低碳鋼的楊氏模量為

，泊松比為0.3，受到的拉應(yīng)力為=1.37Pa，求桿體積的相對(duì)變化。解：應(yīng)變泊松比：體積：第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一得證拉應(yīng)力：所以：第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一在剪切鋼板時(shí)，由于刀口不快，沒有切斷，該材料發(fā)生了剪切形變。鋼板的橫截面積為S=90cm2，二刀口間的距離為d=0.5cm，當(dāng)剪切力為F=7*105N時(shí)，已知鋼板的剪變模量為G=8*1010Pa，求：（1）鋼板中的剪切應(yīng)力；（2）鋼板的剪切應(yīng)變；（3）與刀口齊的兩個(gè)截面所發(fā)生的相對(duì)滑移。解：（1）剪切應(yīng)力：（2）剪切應(yīng)變：第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一（3）應(yīng)變與相對(duì)滑移：第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一一根長(zhǎng)度為L(zhǎng)，半徑為a，其一端相對(duì)于另一端扭轉(zhuǎn)角度的圓柱形棒。由實(shí)驗(yàn)知，在小變形的條件下，一根受扭轉(zhuǎn)的棒所受的力矩與扭轉(zhuǎn)角

成正比，其比例系數(shù)取決于棒的材料以及棒的幾何尺寸。下面我們將導(dǎo)出這個(gè)比例系數(shù)。第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一扭轉(zhuǎn)的本質(zhì)是剪切應(yīng)變。這是一個(gè)材料內(nèi)部不同部分受有不同應(yīng)力的問題。第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一把圓柱棒分成許多很薄的同軸柱形殼分別進(jìn)行考察。我們討論其中一個(gè)半徑為，厚度為的薄柱殼。柱殼面上一個(gè)小正方形，受扭轉(zhuǎn)后變成一個(gè)平行四邊形。在剪切力作用下，此柱殼元的切變角為利用虎克定律，剪切應(yīng)力為同時(shí)切應(yīng)力還可表示為一端的剪切力除以端面積F提供了環(huán)繞柱軸的力矩M：第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一總力矩M應(yīng)等于該柱殼整個(gè)圓周的每個(gè)M之和：即，一個(gè)空心薄柱殼的轉(zhuǎn)動(dòng)剛度(即轉(zhuǎn)動(dòng)彈性模量)一根實(shí)心棒可以看成許許多多同心薄柱殼構(gòu)成，而且每一柱殼有相同的扭轉(zhuǎn)角總轉(zhuǎn)動(dòng)力矩等于每一柱殼上的力矩之和。因此第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一試推導(dǎo)鋼管扭轉(zhuǎn)常量D的表達(dá)式。第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一例題：一鋁管直徑為4cm，壁厚1mm，長(zhǎng)10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求鋁管的扭轉(zhuǎn)角。已知鋁的剪變模量G=2.65*1010Pa。解：扭轉(zhuǎn)角：代入數(shù)據(jù)，得：第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一梁的彎曲AABCC′B′M1M2AA′BC′B′C矩形橫截面梁，不計(jì)自重,如圖第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一MAA′bh彎曲后，靠近上緣各層發(fā)生壓縮形變；靠近下緣各層，發(fā)生拉伸形變.處于中間的的CC′層(中性層)既不伸長(zhǎng)也不壓縮.中性層曲率M是加于梁的力偶矩，E為材料的楊氏模量，b為梁寬度，h為梁的高度.彎曲形變特點(diǎn):第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一鐵軌的橫截面呈“工”字形：鐵軌在列車壓力下彎曲，拉壓應(yīng)力集中于上下緣之故。人體骨骼當(dāng)桿型物體彎曲和扭轉(zhuǎn)形變時(shí)，拉伸或剪切應(yīng)力都是集中于最外側(cè)骨骼呈中空狀第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一矩形橫截面邊長(zhǎng)2:3的梁在力偶矩作用下發(fā)生純彎曲。對(duì)于截面的兩個(gè)不同取向，同樣的力偶矩產(chǎn)生的曲率半徑之比為多少？解：依據(jù)梁彎曲的曲率公式，有：設(shè)邊長(zhǎng)分別為：2a、3a一種取法：b=2a，h=3a則：另一種取法：b=3a，h=2a則：第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8.4.1剪切波（橫波）靜態(tài)扭棒扭矩沿棒處處相等，并正比于如果扭轉(zhuǎn)是均勻的，有在棒中任取一長(zhǎng)度為x的一小段棒，兩端面1,2的位置坐標(biāo)分別為x和x+x，所受轉(zhuǎn)扭分別為和當(dāng)x足夠小時(shí)，有近似關(guān)系：第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一作用于此小段棒的凈扭矩為：小段棒的質(zhì)量為為材料的密度它相對(duì)于圓棒軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：轉(zhuǎn)矩等于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角加速度之積：即化簡(jiǎn)為：第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一8.4.2漲縮波（縱波）以彈性細(xì)棒中傳播的聲波的為例取彈性棒中的任意一小段棒，此小段棒兩端的平衡位置為x和x+x

，運(yùn)動(dòng)中兩端面的位移為y和y+y

，應(yīng)力為 和 。設(shè)棒的橫截面積為S，材料的楊氏模量為E。則這小段棒受到的合力為小段棒的質(zhì)量為由牛頓第二定律第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期一得這是一維波動(dòng)方程，聲速為其中為棒的密度。在粗而厚的物體中傳播的聲波，其波速將比一根細(xì)棒中傳播的聲速大一些。這是由于大物體中的橫向尺寸比聲音波長(zhǎng)大得多，推壓該物體不會(huì)向旁伸展，受到橫向約束。這種情況下的彈性模量E′大于材料的E：因此聲速可以表示為：因有關(guān)系G<E<E′，縱波比剪切波傳播得更快。