常用統(tǒng)計分布與抽樣分布

常用統(tǒng)計分布與抽樣分布第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一這就是大數(shù)定律所闡述的。根據(jù)測量的經(jīng)驗：大數(shù)定律：大量重復的隨機試驗所呈現(xiàn)的規(guī)律性。當n充分大時，n次測量值的平均值第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一引理：切比雪夫不等式或設隨機變量X的數(shù)學期望EX與方差DX都存在，則對于任意的正數(shù)ε，有第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一定理1（契比雪夫大數(shù)定律）

且具有相同的數(shù)學期望及方差，第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一定理2（貝努里大數(shù)定律）(Bernoulli大數(shù)定律)第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例1.

設電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率為0.7，假定每盞電燈開關(guān)彼此獨立，估計夜晚同時開著的燈的數(shù)目在6800~7200之間的概率。（利用切比謝夫不等式計算）第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一定理3（獨立同分布的中心極限定理）闡明在什么條件下，隨機變量和的分布可以近似為正態(tài)分布的理論。第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一設各零件的重量都是隨機變量，它們相互獨立，且服從相同的分布，其數(shù)學期望為0.5kg，均方差為0.1kg，問5000只零件的總重量超過2510kg的概率是多少？例2第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

第六章：樣本和抽樣分布一個統(tǒng)計問題有它明確的研究對象.1.總體研究對象全體稱為總體(母體).總體中每個成員稱為個體.一、總體和樣本總體可以用隨機變量及其分布來描述.第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例如:總體X為某批燈泡的壽命,為推斷總體分布及各種特征，從總體中抽取n個個體，所抽取的部分個體稱為樣本.樣本中所包含的個體數(shù)目n稱為樣本容量.2.樣本

樣本的二重性：抽樣之前，樣本為隨機變量,記X1,X2,…,Xn.抽樣之后，樣本為一組數(shù)值,記x1,x2,…,xn.第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

2.獨立性：X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量.“簡單隨機抽樣”，要求抽取的樣本滿足：

1.代表性：X1,X2,…,Xn中每一個與所考察的總體有相同的分布.說明：我們所考慮的都是簡單隨機抽樣的樣本。從而有：X1,X2,…,Xn獨立同分布，與總體分布相同。第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

例1

設X1,X2,X3是取自正態(tài)總體的樣本,寫出樣本X1的概率密度函數(shù)。第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一二、統(tǒng)計量設為總體X的樣本，為一個n元連續(xù)函數(shù)，若樣本函數(shù)不含任何未知參數(shù)，則稱為統(tǒng)計量.第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

例2

設X1,X2,X3是取自正態(tài)總體的樣本,指出下列哪個不是統(tǒng)計量.第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一幾個常見統(tǒng)計量樣本均值修正的樣本方差樣本成數(shù)修正的樣本標準差第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一三.抽樣分布

統(tǒng)計量既然是依賴于樣本的，而后者又是隨機變量，故統(tǒng)計量也是隨機變量，因而就有一定的分布，這個分布叫做

“抽樣分布”

.第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

1.樣本均值的正態(tài)分布

a.

單個正態(tài)總體下的樣本均值的分布設總體X服從正態(tài)分布為來自總體的一個樣本，定理1.則為樣本均值，第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

b.

兩個正態(tài)總體下的樣本均值的分布設總體X服從正態(tài)分布為分別來自X與Y的樣本，X,Y定理2.相互獨立，總體Y服從正態(tài)分布分別為它們的樣本均值，則第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

c.

非正態(tài)總體下的樣本均值的分布定理3.設總體X為任意總體,其為來自總體的一個樣本，則且n較大時，近似地有第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一為樣本均值，要使成立，則樣本容量例3

設為來自母體X的樣本，第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一例4

設總體X服從正態(tài)分布，來自總體X，計算.第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一設總體X和Y相互獨立,且都服從正態(tài)分布，和是分別來自X和Y的樣本，求的概率。

例5第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

定理4(樣本方差的分布)設X1,X2,…,Xn是來自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和修正的樣本方差,則有

2.樣本方差的卡方分布第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

定理5(單正態(tài)總體樣本均值的

t

分布)設X1,X2,…,Xn是取自正態(tài)總體的樣本,分別為樣本均值和修正的樣本方差,則有

3.樣本均值的學生氏分布第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一

定理6(兩總體樣本均值差的t分布)且X與Y獨立,樣本修正的樣本方差,則有X1,X2,…,是來自X的樣本,是取自Y的樣本,Y1,Y2,…,分別是這兩個樣本的樣本均值，是這兩個第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期一設且X與Y獨立,

定理7(兩總體樣本方差比的F分布)分別是這兩個樣本