投影的基本原理

第一篇建筑制圖知識

2投影的基本原理目錄投影的基本知識1三視圖的形成及其投影規(guī)律2點的投影33直線的投影4平面的投影35Back2.1投影的基本知識投影分中心投影和平行投影兩類。平行投影又分為正投影和斜投影，工程圖樣應用最廣泛的是正投影。

如圖2.1所示，在光源S照射下，△ABC在平面P上得到影子△abc，點S稱為投射中心，光線SA、SB、SC稱為投射線，平面P稱為投影面，△abc稱為△ABC在平面P上的投影，也可稱為投影圖。

圖2.1中所有的投射線都匯交于投射中心S，所以將這種投影法稱為中心投影法，得到的投影稱為中心投影。2.1.1投影及其分類

如圖2.2（a）和（b）所示，當光源（投射中心）S在無窮遠時，投射線（光線）互相平行，仍可得到△ABC在投影面P上的投影△abc，這種投射線互相平行的投影法稱為平行投影法，得到的投影稱為平行投影。在平行投影法中，如圖2.2（a），當投射方向垂直于投影面時，稱為正投影法，得到的投影稱為正投影；如圖2.2（b），當投射方向傾斜于投影面時，稱為斜投影法，得到的投影稱為斜投影。2.1投影的基本知識2.1投影的基本知識圖2.1中心投影圖Back2.1投影的基本知識2.2平行投影Back建筑工程中常用的投影圖有多面正投影圖、軸測投影圖、透視投影圖和標高投影圖。

多面正投影圖由物體在互相垂直的兩個或兩個以上的投影面上的正投影所組成，圖2.3所示是由兩級臺基和一塊碑身組成的紀念碑的三面正投影圖。

軸測投影是物體在一個投影面上的平行投影，又稱為軸測圖。將物體對投影面安置于較合適的位置，選定適當?shù)耐渡浞较颍涂傻玫竭@種富有立體感的軸測投影，圖2.4就是圖2.3所示紀念碑的軸測投影。2.1投影的基本知識2.1.2建筑工程中常用的投影圖

透視投影是物體在一個投影面上的中心投影，又稱為透視圖。適當安置投射中心、物體和投影面之間的相對位置，就可得到這種形象逼真的透視投影，圖2.5就是圖2.3所示紀念碑的透視投影。

標高投影圖在土建工程中常用來繪制地形圖、建筑總平面圖和道路、水利工程等方面的平面布置的圖樣，它是地面或構筑物在一個水平基面上的正投影圖，并標注出與水平基面之間的高度數(shù)字標記。2.1投影的基本知識

如圖2.6（a）所示，在水平基面H上有一座小山，與H面相交于高度標記為0的曲線，再用高于H面10m、20m的水平面剖切這座小山，得到高度標記為10、20的曲線，這些曲線稱為等高線，作出它們在H面上的正投影，并標注高度標記數(shù)字，就能得到這座小山的標高投影圖，也就是這座小山的地形圖，如圖2.6（b）所示。2.1投影的基本知識2.1投影的基本知識圖2.3多面正投影圖示例Back2.1投影的基本知識圖2.4軸測投影示例Back2.1投影的基本知識圖2.5透視投影示例Back2.1投影的基本知識圖2.6標高投影圖示例Back2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律

如圖2.7所示，兩個不同形狀的物體，在同一投影面上的投影卻是相同的。這說明在正投影法中，只有一個投影一般不能反映物體的真實形狀和大小。多面正投影圖又稱為視圖?；镜谋磉_方法是三視圖。

圖2.8所示是按國家標準規(guī)定設立的三個互相垂直的投影面，稱為三投影面體系。把物體放在三投影面體系中，位于觀察者和投影面之間，使物體的三個主要表面分別平行于三個投影面，即物體的三視圖，如圖2.9所示。2.2.1三視圖的形成從物體的前方向后方投射，在V面上得到的視圖，稱為正面投影或V面投影。從物體的上方向下方投射，在H面上得到的視圖，稱為水平投影或H面投影。從物體的左方向右方投射，在W面上得到的視圖，稱為側(cè)面投影或W面投影。要把三視圖畫在一張圖紙上，就必須把三個投影面展開成一個平面。其方法如圖2.10（a）所示。展開后三視圖的排列位置是：H面投影在V面投影的下方，W面投影在V面投影的右方。在畫三視圖時可不畫出投影面的邊界，如圖2.10（b）所示。2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律圖2.7單一投影不能確定物體的形狀和大小Back2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律圖2.8三投影面體系的建立Back2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律圖2.9三面投影Back2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律圖2.10三面投影的展開（a）三投影的展開方法；（b）三視圖之間的投影規(guī)律Back

每個視圖都表示物體的四個方位和兩個方向：V面投影反映了物體上下、左右的相互關系，即物體的高度和長度；

H面投影反映了物體左右、前后的相互關系，即物體的長度和寬度；

W面投影反映了物體上下、前后的相互關系，即物體的高度和寬度。2.2三視圖的形成及其投影規(guī)律2.2.2三視圖的投影規(guī)律三視圖的賓投影規(guī)律遺為：H面投影驚和V面投影――長對正向；W面投影和V面投影――高平齊；湊H面投影和W面投影――寬相等。腿2.2三視圖的竹形成及其彈投影規(guī)律2.3點的投碌影如圖2.1宗1所示，三個狡互相垂修直的投舟影面V、H、W組成一受個三投陜影面體長系，將抄空間劃放分為八兩個分角菌。V面稱為瞇正立投磨影面，縣簡稱正辟面；H面稱為季水平投霧影面，息簡稱水雄平面；W面稱為側(cè)蹦立投影面椒，簡稱側(cè)援面。三個紙投影面分盼別相交于群投影軸OX、OY、OZ，它們也形互相垂直盡，交匯于殖原點O，并規(guī)定棒向左、向綿前、向上俘為正，在際三條投影塑軸都是正互向的投影敲面之間的綱空間是第殊一分角。遭將幾何形頂體放置在課第一分角芝內(nèi)，向三匹個投影面謙進行投影宿。2.3.1點在三投影面體系第一角中的投影2.3咽.1.走1投影的耽形成與垮特性點的三他面投影如圖2.1兄2所示。點的投影側(cè)特性見圖2.1妻3所示。將點按圖2.1綢2進行投影妥和展開投寇影面后，惜點的投影具有下將述投影衣特性：吸（1）點的投矮影連線垂鼓直于投影畫軸；（2）點的投說影到投影負軸的距離瞇反映該點濁的坐標，還也就是該疲點與相應雪的投影面舍的距離2.3點的投影【例2.1】求作點A（14,1賄0,20）的三面初投影和軸艙測圖(圖2.1避4)【解】由于已變知一點芒的三個移坐標就隙能確定盯該點的他位置，偶因而根肥據(jù)點的寫投影特造性，可正用圖2.1躍4(a虹)所示或圖2.1擦4(b喬)所示作出該點持的三面投掩影。根據(jù)在睬軸測圖廁（斜等欄測）中攻平行于坦三條投飽影軸的垃線段的繞投影仍撓與這三貌條軸的悔軸測圖鴨相平行壯，且長幕度按1∶1量取的作浮圖方法，如圖2.14頁(c)所示，由A點的坐出標作出A點的軸測匯圖。（1）作A點的三已面投影回作法一（圖2.1刮4（a））作法二（圖2.1而4（b））（2）作A點的軸況測圖（圖2.14（c））2.3點的投影2.3點的投坑影圖2.11三投影面為體系以及丟八個分角稈的劃分Back2.3點的投權影圖2.1色2點的三面充投影Back2.3點的投影圖2.13點的投怎影特性Back2.3點的投蝴影圖2.14作A點的三腎面投影易和軸測拿圖Back如圖2.1全5(a盤)所示，點與投洽影面的相怠對位置有棚四類：空間點（不在瘦任一投至影面上畫的點，必如A點）；投影面上禍的點（只在塘一個投粱影面上差的點，帆如B點是V面上的離點）；投影軸基上的點（在兩個糠投影面上席的點，必童在這兩個檢投影面相販交的投影涼軸上，如C點是OY軸上的圖點）；與原點O重合的點（在三個忽投影面上鮮的點，必嬸與原點O重合，殖如D點）。2.3訊.1.改2各種位置璃的點2.3點的投影從圖2.1牲5(a咬)、(b)中可以看軋出：空賤間點的方三個坐棋標都不杠是零，萌三個投歡影都不鑼在投影謹軸上；呼投影面怒上的點丙必有一低個坐標罷是零，其在這個典投影面抗上的投仆影在原淹位置，給另外兩賺個投影肆分別在尾這個投廢影面的恩兩條投院影軸上農(nóng)；投影安軸上的啞點有兩找個坐標光是零，妨在相交茶于這條喬投影軸羅的兩個帝投影面遲上的投蘿影重合財于原位快置，另服一投影裁重合于暑原點O；與原點O重合的夜點的三霞個坐標詞都是零訊，三個后投影都辟重合于蹤蝶原點O。2.3點的投影2.3點的投影圖2.1停5各種位仇置的點Back2.3點的投影圖2.1壘5各種位置虎的點Back在工程圖牛樣中，?？抻脙牲c沿紗左右（OX軸）、前徐后（OY軸）、上嘩下（OZ軸）三個殿方向之間研的距離，優(yōu)即兩點對葉三個投影更面的距離共差（坐標婚差或相對耀坐標）來島確定兩點揮間的相對滾位置。如圖2.16中，B點對A點的相對襲位置，可愚以說：B點在A點之左xB-蛋xA、在A點之前yB-述yA、在A點之上zB-旗zA處，或B點對A點的相虜對坐標暮是（xB-感xA，yB-勞yA，zB-z條A）。在三投殼影面體紗系中，假點的每惱一個投舟影只能始反映左鞏右、前耳后、上掌下之中濁的兩對榜方向，煎即V面投影只個能反映左剪右、上下怒，H面投影太只能反路映左右壩、前后謀，W面投影奧只能反拾映前后止、上下葛。2.3點的投影2.3.拿1.3兩點的相雅對位置若兩個點醋處于垂直墳于某一投狐影面的同要一投射線齒上，則這擾兩個點在敲該投影面巾上的投影碗便互相重匙合，這兩矩個點就稱逮為對該投甚影面的重室影點。若榴一點在另丑一點的正壤前方或正畫后方，則弦這兩點就答是對V面的重影插點；若一插點在另一析點的正上梳方或正下落方，則這聰兩點就是械對H面的重顧影點；森若一點份在另一糕點的正恢左方或污正右方督，則這賭兩點就株是對W面的重制影點。剛上述三粘對重影賽點的重惡合的投狠影，分半別應是躁前面的廚點遮住鏟后面的么點、上滲面的點拐遮住下?lián)娴狞c丙、左面毒的點遮謝住右面墾的點。如圖2.17中所示。2.3點的投影2.3點的投影圖2.1練6兩點的相釣對位置Back2.3點的投影圖2.17重影點Back圖2.18（a）就是前面口已講述過著的圖2.13（b），表示了在患三投影面徐體系中點垮的投影特尊性：點的柏投影連線追垂直于投蔬影軸；點瘋的投影與懂投影軸的庫距離反映剩該點的坐冠標，也就衫是該點與錦相應的投院影面的距陜離。圖2.18（b）和（c）同樣地分洪別表達了公在V、H和V、W兩投影面彎體系中點各的投影特銳性，顯然呼，它們與圖2.1瘋8（a）所表示的隙完全相同逗，只是用伴坐標原點O與投影連秩線之間的炮距離來代跡替A點與所省硬略的投影貴面之間的昂距離，并婚表示一個診坐標。2.3點的投冤影2.3.2點在兩投影面體系第一角中的投影圖2.19（a）就是前所面已講票述過的圖2.16，顯示敗了在三降投影面立體系中A、B兩點的禿相對位企置：B點在A點之左xB-嫌xA、在A點之前yB-偽yA、在A點之上zB-趨zA處，或B點對A點的相對員坐標為（xB-瘋xA，yB-什yA，zB-釣zA）。圖2.1非9（b）和（c）也同樣地限分別表達惜了在V、H和V、W兩投影效面體系柿中A、B兩點的忽相對位賺置，與圖2.1成9（a）所表示象的完全乘相同?？梢钥丛鄢觯簝赏队懊娌痼w系的投鉗影圖的形酬成、投影蠢特性和作舊圖方法都勇與三投影秩面體系相煤同，今后文可以按需湯選用。2.3點的投疫影2.3點的投影圖2.1付8點在三逼投影面喜體系和及兩投影員面體系遇中的投臭影特性Back2.3點的投斃影圖2.19兩點在粉三投影解面體系扶和兩投護影面體江系中的吃相對位需置Back2.3點的投冷影圖2.1婆6兩點的健相對位坊置Back直線按與約投影面的陵相對位置耐可分為三釘類：不平業(yè)行于任一錯投影面的招直線稱為一般位劉置直線；只平行猶于一個投階影面的直走線，稱為投影面障平行線，對正買面（V面）、水秘平面（H面）和驗側(cè)面（W面）的平匆行線分別彩簡稱正平線、水平線和側(cè)平線；垂直望于投影錦面的直盒線，一敏定平行屠于其他卵兩個投也影面，歷稱為投影面般垂直線，對正面貼（V面）、而水平面心（H面）和趴側(cè)面（W面）的垂犯直線分別泄簡稱正垂線、鉛垂線和側(cè)垂線。投影面降平行線與賺投影面垂篇直線統(tǒng)稱玩為特殊位置舞直線。2.4直線的投躍影表2.1列出了三種投滅影面平行概線。從表2.1可以歸納癥出投影面禁平行線的投影特性俘：（1）在平行欄的投影面壘上的投影枯反映實長師，且反映款該直線與制其他兩個殃投影面的印真實傾角僅；（2）在另監(jiān)外兩個依投影面野上的投衣影必分扇別平行鼻于相應疲的投影漫軸，且液長度縮胸短。2.4直線的投印影2.4.1特殊位置直線及其投影特性2.4.良1.1投影面平萍行線2.4直線的投活影表2.1投影面吸平行線不的投影割特性名稱軸測圖投影圖投影特性正平線

1.a′b′反映實長和α、γ角；

2.b∥OX，a″b″∥OZ，且長度縮短水平線

1.cd反映實長和β、γ角；

2.c′d′∥OX，c″d″∥OYW，且長度縮短2.4直線的美投影名稱軸測圖投影圖投影特性側(cè)平線

1.e″f″反映實長和α、β角；

2.ef∥OYH，e′f′∥OZ，且長度縮短Back表2.2列出了三種投面影面垂直猜線。從表2.2可以歸盒納出投螞影面垂剝直線的投影特吊性：（1）在垂直杏的投影面距上的投影委積聚成一王點；（2）在另趣外兩個哪投影面羊上的投真影平行券于投影位軸（與漲直線相掏平行的隙投影軸詞），且舒反映實裂長。2.4直線的兩投影2.4.船1.2投影面垂掃直線2.4直線的劫投影名稱軸測圖投影圖投影特性正垂線

1.a′b′積聚成一點；

2.ab∥OYH，a″b″∥OYW，且反映實長水垂線

1.cd積聚成一點；2.c′d′∥OZ，c″d″∥OZ，且反映實長表2.2投影面軟垂直線坐的投影便特性2.4直線的徑投影名稱軸測圖投影圖投影特性側(cè)垂線

1.e″f″積聚成一點；

2.e′f′∥OX，ef∥OX，且反映實長Back圖2.20是一般位籃置直線AB的三面投敗影圖。一般位置識直線的投黃影特性：三個投影懶都傾斜于糊投影軸，杰長度縮短濫，且不能霸直接反映社直線與投攀影面的真羨實傾角。求作一般跌位置直線淚的實長和涼傾角，可瓦用圖2.2輕1所示的直角三朵角形法，咐作圖原理如圖2.2客1（a）所示的軸測圖售。在投影角圖中求AB的實長胡和傾角α的作圖過約程如圖2.2體1（b）所示。2.4直線的投憐影2.4.2一般位置直線及其實長與傾角可以歸納慮出用直角浴三角形法檢求直線的哲實長和傾壺角的作圖廢過程是：以直線的堪某一投影很為一直角努邊，以直膏線的兩個芹端點與這燈個投影面致的距離差攝為另一直綱角邊，所修作出的直拾角三角形戴的斜邊即組為實長，壁斜邊與直墊線投影的爛夾角即為奇直線與這怒個投影面烤的傾角。并若在三投材影面體系誰中需要求撤作直線的酒實長和對W面的傾努角γ，也可在擱投影圖中摧以直線的W面投影販為一直箏角邊，接以直線握的兩個抹端點與W面的距頁離差為令另一直酷角邊，儉同樣地猶作出直位角三角詠形而求態(tài)出。2.4直線的逐投影2.4直線的投刺影圖2.20一般位爛置直線尾的投影屋特性Back2.4直線的投葬影圖2.21用直角可三角形爪法求直讓線的實允長和傾撤角Back如圖2.2染2所示，由平摔面幾何艷可以推沸導出：DE上F點的投泥影f必在de上，并多有DF∶擠FE＝df∶蹲fe的關系飼，在三鉛投影面稀體系中拴，還可原推導出DF∶蘇FE＝df∶f喬e＝d′f內(nèi)′∶f完′e′＝d″f″沿∶f″e霜″的關系梨。由此推親導出直線上桐的點的塊投影特銹性：直線上著的點的筋投影必軌在直線捆的同面師投影上勢；若直梨線不垂毒直于投酷影面，即則點的焰投影分絲式割直線象線段投廢影的長優(yōu)度比都傍等于點幕分割直遣線線段柳的長度予比。2.4直線的投撥影2.4.3直線上的點的投影特性2.4直線的投吼影圖2.22直線上的盟點的投影秘特性Back兩直線堆的相對宣位置有救三種情誼況：平行、福相交和愚交叉。它們的詞投影特性如表2.3所示。交叉直線茅也稱為異面直線，即兩直妻線既不平醬行，又不崇相交。若雅兩直線共傾面（位于唉同一平面斗上），則較必定是平頭行線或相渠交線。2.4直線的投輛影2.4.4兩直線的相對位置2.4直線的妙投影表2.3不同相對稍位置的兩隆直線的投噸影特性名稱平行相交交叉軸測圖投影圖2.4直線的旅投影名稱平行相交交叉投影特性同面投影互相平行同面投影都相交，交點符合點的投影特性，同面投影的交點就是兩直線的交點的投影兩直線的投影，既不符合平行兩直線的投影特性，又不符合相交兩直線的投影特性。同面投影的交點，是兩直線上各一點形成的對這個投影面的重影點的重合的投影Back一邊平確行于投罵影面的樓直角的投影特瞧性是：當直角聰?shù)囊贿吇餅橥队罢旅嫫叫酗L線時，興則在它泰所平行旦的投影個面上的倍投影仍育為直角枯。2.4直線的投句影2.4.5一邊平行于投影面的直角的投影平面可用圖2.2公3所示的任一形揪式的幾何停元素表示漢，也可用圖2.24所示的跡線表田示，最常件見的是圖2.23（e）所示的用平面朋圖形的投滾影表示的重平面。如圖2.24所示，平面妙與投影姥面的交期線稱為跡線。圖2.2偶5和圖2.2奴6所示的平面是夸用跡線表牌示的特殊抄位置平面長。特殊位謠置平面一吐定垂直于巡壽一個或兩鋪個投影面捉，在平面許所垂直的仙投影面上呈的跡線有爹積聚性，往也就是平己面上的點趕、線和平悶面圖形在瞇該投影面脈上的投影廈都位于這練條跡線上財。2.5平面的射投影2.5.1平面的表示法還可看出誦：只垂直捎一個投影劍面的平面虧只有一條譯有積聚性搭的跡線，稿這條跡線斃傾斜于投牽影軸；而卻平行于投廊影面的平悟面必定垂準直于其他道兩個投影弊面，有積骨聚性的跡挖線一定平庫行或垂直擋于投影軸駛。2.5平面的投邁影2.5平面的譜投影圖2.2許3用幾何標元素表汗示平面Back2.5平面的投販影圖2.24用跡線臂表示平放面Back2.5平面的警投影圖2.25用跡線看表示的揮垂直于似投影面伯的平面Back2.5平面的恩投影圖2.26用跡線表抄示的平行倍于投影面瞎的平面Back平面按與守投影面的國相對位置投分為三類留：不垂直受于任一始投影面俗的平面俗，稱為一般位出置平面；只垂直泳一個投忽影面的倚平面，柄稱為投影面啄垂直面，對正面慶（V面）、水鄙平面（H面）、側(cè)魄面（W面）的垂福直面分別保簡稱正垂面拳、鉛垂聽面和側(cè)丘垂面；平行于投虧影面的平劑面，必定歡垂直于其屋他兩個投楚影面，稱以為投影面卻平行面，破對正面（V面）、余水平面勁（H面）、側(cè)脖面（W面）的宇平行面渡分別簡榜稱正平面、侮水平面和虜側(cè)平面。2.5平面的投依影2.5.2各種位置的平面及其投影特性一般位置刻的平面圖箱形的投影特保性：三個投影誰都是面積評縮小的類神似形。2.5平面的投食影2.5.額2.1一般位置截平面處于投影孝面垂直面甜位置的平稱面圖形的投影特性屢：（1）在所垂隸直的投影壁