2023屆陜西省漢中市部分學校數學高二下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023高二下數學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任（每班1位班主任），要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）A．210種 B．420種 C．630種 D．840種2．如圖，已知電路中4個開關閉合的概率都是，且是互相獨立的，燈亮的概率為（）A． B． C． D．3．設定義在上的函數的導函數為，若，，則不等式（其中為自然對數的底數）的解集為（）A． B．C． D．4．（2018年天津市河西區(qū)高三三模）已知雙曲線：的虛軸長為，右頂點到雙曲線的一條漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．若不等式對任意的恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．已知平面α與平面β相交,a是α內的一條直線,則（）A．在β內必存在與a平行的直線 B．在β內必存在與a垂直的直線C．在β內必不存在與a平行的直線 D．在β內不一定存在與a垂直的直線7．的展開式中只有第5項二項式系數最大，則展開式中含項的系數是（）A． B． C． D．8．已知命題，命題，則（）A．命題是假命題 B．命題是真命題C．命題是真命題 D．命題是假命題9．已知函數，則()A． B．e C． D．110．已知函數，則“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數為()A．85 B．56C．49 D．2812．從甲、乙等10個同學中挑選4名參加某項公益活動，要求甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有()（Ａ）種（Ｂ）種（Ｃ）種（Ｄ）種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方形內任取一點，則點落在陰影部分內的概率為________.14．極坐標方程化成直角坐標方程是__________.15．若不等式的解集為，則實數的值為________．16．若,則在的展開式中,項的系數為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，等邊中，，是邊上的點（不與重合），過點作交于點，沿將向上折起，使得平面平面，如圖2所示．（1）若異面直線與垂直，確定圖1中點的位置；（2）證明：無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值，并求出這個定值．18．（12分）設λ是正實數，（1+λx）20的二項展開式為a0+a1x+a2x2+…+a20x20，其中a0，a1，…，a20，…，均為常數（1）若a3＝12a2，求λ的值；（2）若a5≥an對一切n∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范圍．19．（12分）已知數列的前項和為，且，.（Ⅰ）試計算，，，，并猜想的表達式；（Ⅱ）求出的表達式，并證明（Ⅰ）中你的猜想.20．（12分）在平面直角坐標系中，以為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，直線的參數方程為（為參數），兩曲線相交于，兩點.（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求的值.21．（12分）已知函數（且），.（1）函數的圖象恒過定點，求點坐標；（2）若函數的圖象過點，證明：方程在上有唯一解.22．（10分）袋中裝有黑色球和白色球共個，從中任取個球都是白色球的概率為，現有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個人摸到白色球后終止，每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用表示摸球終止時所需摸球的次數.（1）求隨機變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】依題意可得，3位實習教師中可能是一男兩女或兩男一女．若是一男兩女，則有種選派方案，若是兩男一女，則有種選派方案．所以總共有種不同選派方案，故選B2、C【解析】

燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，根據概率公式得到結果．【詳解】由題意知，本題是一個相互獨立事件同時發(fā)生的概率，燈泡不亮包括四個開關都開，或下邊的2個都開，上邊的2個中有一個開，這三種情況是互斥的，每一種情況中的事件是相互獨立的，燈泡不亮的概率是，燈亮和燈不亮是兩個對立事件，燈亮的概率是，故選：．【點睛】本題結合物理的電路考查了有關概率的知識，考查對立事件的概率和項和對立事件的概率，本題解題的關鍵是看出事件之間的關系，燈亮的情況比較多，需要從反面來考慮，屬于中檔題．3、A【解析】

構造函數，則可判斷，故是上的增函數，結合即可得出答案.【詳解】解：設，則，∵，，∴，∴是上的增函數，又，∴的解集為，即不等式的解集為.故選A.【點睛】本題考查導數與函數單調性的關系，構造函數是解題的關鍵.4、A【解析】分析：由虛軸長為可得，由到漸近線的距離為可解得，從而可得結果.詳解：由虛軸長為可得，右頂點到雙曲線的一條漸近線距離為，，解得，則雙曲線的方程為，故選A.點睛：用待定系數法求雙曲線方程的一般步驟；①作判斷：根據條件判斷雙曲線的焦點在軸上，還是在軸上，還是兩個坐標軸都有可能；②設方程：根據上述判斷設方程或；③找關系：根據已知條件，建立關于、、的方程組；④得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求.5、B【解析】

不等式可整理為，然后轉化為求函數y在（﹣∞，1）上的最小值即可，利用單調性可求最值．【詳解】不等式，即不等式lglg3x﹣1，∴，整理可得，∵y在（﹣∞，1）上單調遞減，∴∈（﹣∞，1），y1，∴要使原不等式恒成立，只需≤1，即的取值范圍是（﹣∞，1]．故選：B.【點睛】本題考查不等式恒成立問題、函數單調性，考查轉化思想，考查學生靈活運用知識解決問題的能力．6、B【解析】分析：由題意可得，是內的一條直線，則可能與平面和平面的交線相交，也有可能不相交，然后進行判斷詳解：在中，當與平面和平面的交線相交時，在內不存在與平行的直線，故錯誤在中，平面和平面相交，是內一條直線，由線面垂直的性質定理得在內必存在與垂直的直線，故正確在中，當與平面和平面的交線平行時，在內存在與平行的直線，故錯誤在中，由線面垂直的性質定理得在內必存在與垂直的直線，故錯誤故選點睛：本題主要考查的是空間中直線與平面之間的位置關系、直線與直線的位置關系，需要進行分類討論，將可能出現的情況列舉出來，取特例來判斷語句的正確性7、C【解析】

根據只有第5項系數最大計算出，再計算展開式中含項的系數【詳解】只有第5項系數最大,展開式中含項的系數,系數為故答案選C【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.8、C【解析】試題分析：先判斷出命題p與q的真假，再由復合命題真假性的判斷法則，即可得到正確結論．解：由于x=10時，x﹣2=8，lgx=lg10=1，故命題p為真命題，令x=0，則x2=0，故命題q為假命題，依據復合命題真假性的判斷法則，得到命題p∨q是真命題，命題p∧q是假命題，￢q是真命題，進而得到命題p∧（￢q）是真命題，命題p∨（￢q）是真命題．故答案為C．考點：全稱命題；復合命題的真假．9、C【解析】

先求導，再計算出，再求.【詳解】由題得，所以.故選：C.【點睛】本題主要考查導數的計算，意在考查學生對該知識的掌握水平和基本的計算能力，屬基礎題.10、B【解析】

先根據“曲線存在垂直于直線的切線”求的范圍，再利用充要條件的定義判斷充要性.【詳解】由題得切線的斜率為2，所以因為,所以“”是“曲線存在垂直于直線的切線”的必要不充分條件.故答案為B11、C【解析】試題分析：根據題意：，故選C.考點：排列組合.12、C【解析】∵從10個同學中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；從甲、乙之外的8個同學中挑選4名參加某項公益活動有種不同挑選方法；∴甲、乙中至少有1人參加，則不同的挑選方法共有種不同挑選方法故選C；【考點】此題重點考察組合的意義和組合數公式；【突破】從參加“某項”切入，選中的無區(qū)別，從而為組合問題；由“至少”從反面排除易于解決；二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用微積分基本定理先計算出陰影部分的面積，根據幾何概型的知識可知：陰影部分的面積與長方形面積比等于對應的概率，即可計算出概率值.【詳解】由幾何概型的知識可知：陰影部分的面積與長方形的面積之比等于所求概率，記陰影部分面積為，長方形面積為，所以，，所以所求概率為.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的面積模型以及利用微積分基本定理求解定積分的值，屬于綜合型問題，難度一般.幾何概型中的面積模型的計算公式：.14、【解析】分析：由極坐標方程可得或，化為直角坐標方程即可.詳解：由極坐標方程可得或，，即或即答案為或.點睛：本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬基礎題.15、【解析】

因為不等式的解集（舍），,，故答案為.16、【解析】分析：由定積分求得，寫出二項展開式的通項為，進而可求解的系數.詳解：由，所以二項式為，則二項式的展開式的通項為，當時，，即的系數為.點睛：本題主要考查了定積分的計算和二項式定理的應用，其中熟記微積分基本定理和二項展開式的通項的合理運用是解答的關鍵，著重考查了推理和運算能力.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）取中點，中點，連結，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出圖1中點在靠近點的三等分點處；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能證明無論點D的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【詳解】解：（1）在圖2中，取中點，中點，連結，以為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，∴，，，，故，，∵異面直線與垂直，∴，解得x（舍）或x，∴，∴圖1中點在靠近點的三等分點處．（2）證明：平面的法向量，，，設平面的法向量，則即，取，得，設二面角的平面角為，則為鈍角，故，∴無論點的位置如何，二面角的余弦值都為定值．【點睛】本題考查利用空間向量確定空間中點的位置以及二面角的余弦值的計算，考查運算能力求解能力和推理論證能力，是中檔題．18、（1）λ＝1（1）【解析】

（1）根據通項公式可得Cλ3＝11Cλ1，解得λ＝1即可；（1）假設第r+1項系數最大，根據題意列式，化簡得，再根據a5≥an對一切n∈{0，1，…，10}均成立，得到，解不等式組即可得到答案.【詳解】（1）通項公式為Tr+1＝，r＝0，1，1，…，10，∴由a3＝11a1得，Cλ3＝11Cλ1，解得λ＝1．（1）假設第r+1項系數最大，因為λ是正實數，依題意得，解得，變形得，因為a5≥an對一切n∈{0，1，…，10}均成立，∴∴，解得．【點睛】本題考查了二項展開式的通項公式，考查了二項展開式中系數的最大值問題，屬于中檔題.19、(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)，證明見解析.【解析】分析：（1）利用公式，將已知轉換成關于的遞推公式，計算，，，，在通過分子和分母的規(guī)律猜想出.（2）根據，結合通項公式的累乘法求出.再運用求和證明（1）的猜想.詳解：（Ⅰ）由，得，，，，猜想.（Ⅱ）證明：因為①，所以②，①-②得，所以.化簡得，所以，，，…，，把上面各式相乘得，所以，，.點睛：數列問題注意兩個方面的問題：（1）的特殊性；（2）時，①消去，如，可以計算；②消去，如，可以計算.20、（1）曲線的直角坐標方程為；直線的普通方程為.（2）.【解析】

(1)利用可以把極坐標方程為直角坐標方程；對于參數方程，消去參數可得普通方程.(2)把直線的參數方程代入曲線的直角坐標方程，利用參數的幾何意義可求解.【詳解】(1)由,可得，則曲線的直角坐標方程為.由（為參數），消去，得直線的普通方程為.(2)把直線的參數方程代入,得到,設點，對應的參數分別為，則所以，則.【點睛】本題考查極坐標與參數方程的綜合問題，考查極坐標方程與直角坐標方程、參數方程與普通方程的互化.21、(1)；(2)證明見解析.【解析】試題分析：(1)結合對數函數的性質可得函數的圖象恒過定點；(2)由題意結合函數的單調性和函數的值域即可證得題中的結論.試題解析：（1）解：∵當時，，說明的圖象恒過點.（2）證明：∵過，∴，∴，∵分別為上的增函數和減函數，∴為上的增函數，∴在上至多有一個零點，又，∴在上至多有一個零點，而，，∴在上有唯一解.22、(1)分布列見解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解析】分析：（1）由已知先出白子個數，進而可得隨機變量X的概率分布列和數學期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1