數(shù)列的數(shù)學(xué)歸納法

nn22kkkknnnnn22kkkknnnnn數(shù)列的數(shù)學(xué)歸法【識(shí)理歸法以為全納和完歸法對(duì)個(gè)題所情況以究得它的同質(zhì)這方稱完歸法對(duì)個(gè)題部情況以究得它的同質(zhì)這方稱不全納．全納往是可能，不全納得的論可不確用學(xué)納證命分個(gè)驟步一奠步）證當(dāng)取一值n（例如0

）命正．步二遞步）假當(dāng)nkN)0

時(shí)題立證當(dāng)

時(shí)題成．在成面?zhèn)€驟我就斷命對(duì)從

nn0

開的有正數(shù)

都立數(shù)歸法應(yīng)：體常用數(shù)學(xué)歸納法證明：恒等式，不等，數(shù)的整除性，幾何中計(jì)算問(wèn)題，數(shù)列的通項(xiàng)與和等.【型題析例、試證：不論正數(shù)a、、是差數(shù)列還是等比數(shù)列，當(dāng)n，N*a、b、c不相等時(shí)，均有an+n＞2n.證）、、為比數(shù)列a=,=bq(＞0且q≠1)a

n+n=+n

q

n=

n

(+nn

)＞2

n（2）設(shè)、、為差數(shù)列，則bac猜想＞(nn≥2且∈N2下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

)a①當(dāng)=2時(shí)由2(+)＞(+)，)2a②設(shè)=時(shí)立，即),2

21則當(dāng)=+1時(shí)，(4

k+ka

1k+ck)＞(k+k+k+k(4

k

+)(+)aa＞()·()=(k2例、數(shù)列a}中，=1，當(dāng)n時(shí)，a,,－(1)求a,,，推出a的表達(dá)式；1

12

成等比數(shù)列

nnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkknnnnnnnnnnkkkkkkkkkkkkkknn(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)；(3)求數(shù)列a}所有項(xiàng)的和1解∵,,－成比數(shù)列Sa－)(≥2)(2(1)由a=1,=+a,代入(式得a－

2由a=1，=－,=+代()得：－2同理可得：=－,由此可推a=35

(n2(n(2n3)(2(2)①當(dāng)n=1,2,3,4時(shí)，由知想成.②假設(shè)n=(≥2)時(shí)，=－

(2k

成立故S=－

(2

1·(－)2∴(2－3)(2－1)S

+2－1=0∴=

1Sk2k

(舍)由S

k

=·(－

1),得(+)=(+－)2

k

k

aakkak2

k

k

[2(3][2(k

即題成由①②知，=

(2n3)(2

(2)

對(duì)一切n∈N成立.(3)由(2)得數(shù)列前n項(xiàng)S=

,∴=limSn=0.n【習(xí)1.已f()=(2+7)·3+9,在自然數(shù)m,使對(duì)任意∈N都使m整除f()，則最大的m的為A.30

B.26

C.36

D.62.(用數(shù)學(xué)歸納法證明3n

(≥3,∈N第步應(yīng)驗(yàn)()A.n=1

B.=2

C.n=3

D.=42

22222nnnnnnnannnn2222222222nnnnnnnannnn222223.觀下列式子：

1157…可歸納_________.3324.已a(bǔ)=

1a,=,a,a,a,a的分別為________，此猜想=_________.2n5.用學(xué)歸納法證明4

n

+3

能被13整，其中∈N

.6.若n為于1的然數(shù)，求證

1.n247.已數(shù){}是等差數(shù)列，=1,+…+=145.(1)求數(shù)列b}的通項(xiàng)公式b;1(2)設(shè)數(shù)列a}的通項(xiàng)=(1+)(其中a＞0且≠1)記S是數(shù)列}前項(xiàng)和，bn試比較與

logb的小，并證明你的結(jié)論an8.設(shè)數(shù)q滿||＜1,數(shù)列an}足=2,≠0,n=－,求n表達(dá)式如果limS

nn＜3,求q的值范圍答:1.C解：∵(1)=36,(2)=108=3×36,(3)=360=10×36∴(1),(2),(3)能被36整，想f()能被36整除.證明：=1,2時(shí)由上得證，設(shè)n=(k≥2)，f()=(2+7)·3

+9能36整，則n=+1時(shí)，f(+1)－()=(2+9)·3

k

－(2+7)·3=(6+27)·3－(2+7)·3

k=(4+20)·3

k

=36(+5)·3

(≥2)(+1)被36整除∵(1)不能被大于36的整除，所求最大的m值于36.2.C解：由題意知≥3∴應(yīng)驗(yàn)證n=3.3.解：1

13221

11122323

22222345nn111nnaa22222345nn111nnaa歸納1

111223(n

(∈)答案:1

11n2(n

(∈N

)解析a2

311

同理33332,,猜想a832333:、、、5.證：(1)當(dāng)=1時(shí)，

+3=91能整除(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)4k+3能13整，則當(dāng)n=k+1時(shí)，4

k+3=4k·4+3·3－4k·3+4·3=4

k

·13+3·(4

+3

)∵4k·13能被13整除，4k+3k

能被13整∴當(dāng)=+1時(shí)也立由①②知，當(dāng)∈*時(shí)4n+3能整除6.證：(1)當(dāng)=2時(shí)，

724113(2)假設(shè)當(dāng)n=時(shí)立，即kk當(dāng)n

11111k2k2kkk1113122kk24k2k132(2k7.(1)解設(shè)數(shù)列b}的公差為,由題意得

10(10bd2

d

,∴=3－2(2)證明：由b=3－2知S=(1+1)+log(1+naa

)+…+(1+)1=log［(1+1)(1+)…(1+)］4

ananannnnnnnnnananannnnnnnnn1而logb=logn,于較S與logb3

的大小比(1+1)(1+)…(1+3n

)與

的小.取n=1，有1+1)=

8

4

3取n=2，有1+1)(1+推測(cè)：(1+1)(1+

1)…(1+)＞3n

()①當(dāng)=1時(shí)，已驗(yàn)證()式成立②假設(shè)n=(≥1)時(shí)()式立(1+1)(1+

1)…(1+)＞3k

3k11則當(dāng)=+1時(shí)，(1)))3k3(k3

3k

3

3k(

4)

(3(34)(3k9k

2)3

3(k而)(1)3由①②知，)式對(duì)任意正整數(shù)n都立

,即=+1時(shí)，式成立于是，當(dāng)a＞1時(shí)，S＞

logban

,當(dāng)0＜＜1時(shí)，＜n

logban8.解∵·=－,=2,≠0,∴≠0,=－

,∵·=－n,·=－na兩式相除，得,a=·an于是，=2,=2·q,=2·n…想a=n

qn(=1,2,3,…)綜合①②，猜想通項(xiàng)公式為=

nkk)qk(5

nnnnnnnnnn下證：(1)當(dāng)n=1,2時(shí)猜想成立(2)設(shè)n=2－1時(shí)，a

k

=2·k

則=2+1時(shí)，于a=·k

k∴=2·k即=2k成立k可推知n=2+1也成立.設(shè)n=2時(shí)a=－qk,=2k+2時(shí)，于=·,kkk所以a=－k

q

k

+1,這說(shuō)明=2成，可推知n=2k+2也成.綜上所述，對(duì)一切自然數(shù)n,猜都成.這樣所求通項(xiàng)公式為a=

當(dāng)n1q當(dāng)nk時(shí)kN)2S=(+…+)+(++…+)nnn=2(1++

+q

n

)－

(+

+q

n)))1)()12(1)由于||＜1,∴l(xiāng)imq

故limS

=(

1)()12依題意知

＜3,注意1－＞0,||＜1解－