華師大版八年級下函數(shù)及其圖象1變量與函數(shù)“十市聯(lián)賽”一等獎

《變量與函數(shù)》典例精析【例1】寫出下列各問題的函數(shù)關(guān)系式，并指出其中的常量與變量、自變量與函數(shù)．（1）運動員在200米一圈的跑道上訓(xùn)練，他跑一圈所用的時間t（秒）與跑步的速度v(米/秒)的關(guān)系式．（2）n邊形的對角線條數(shù)S與邊數(shù)n之間的關(guān)系式．【解析】（1）由路程=速度×?xí)r間，可得vt=200，即t=.路程始終保持不變，所以200是常量，時間、速度的值在改變，因此，v、t是變量.由于t是隨v改變而發(fā)生變化的，因此，v是自變量，t是v的函數(shù)．（2）從n邊形的一個頂點引對角線，共可引（n－3）條對角線，則從n個頂點出發(fā)共引n（n－3）條對角線，但由于重復(fù)計算了一次，故對角線條數(shù)為，即可得出S與n的關(guān)系式.在這個問題中，S、n是變量，由于n的每一個值S都有唯一的值與之對應(yīng)，所以n是自變量，S是n的函數(shù)．【答案】（1）t=，其中200是常量，v、t是變量，v是自變量，t是v的函數(shù)．（2）S=，其中，3是常量，S、n是變量，n是自變量，S是n的函數(shù)．【點評】利用我們所熟悉的公式作為相等關(guān)系，通過公式或公式的變形推導(dǎo)出函數(shù)關(guān)系．【例2】寫出等腰三角形中頂角的度數(shù)y與底角的度數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系，并求自變量x的取值范圍．【解析】由三角形的內(nèi)角和定理等于180o可知，y+2x=180o，所以y=180o-2x．又知x是等腰三角形的底角，所以x不可能大于或等于90o，因此，自變量x的取值范圍是0＜x＜90o．【答案】y=180o-2x，0＜x＜90o．【點評】取值范圍應(yīng)滿足實際問題有意義．【例3】一個正方形的邊長為5cm，它的邊長減少xcm后得到的新正方形的周長為ycm，寫了y與x的關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍．【解析】周長y=4（5-x）；自變量的范圍應(yīng)能使正方形的邊長是正數(shù)，即滿足不等式組．【答案】y與x的函數(shù)關(guān)系式為y=20-4x，自變量的取值范圍是0≤x<5．【點評】關(guān)系式用周長的計算公式，取值范圍應(yīng)考慮到每條邊長均為正數(shù)．【例4】水是人類最寶貴的資源之一，我國水資源人均占有量遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于世界平均水平.為了節(jié)約用水，保護(hù)環(huán)境，北京市自來水公司制定了節(jié)水措施，采用了分段計費的方法計算水費.具體方法是：若每月每戶居民用水不超過4立方米時，按每噸2元計算；若每月每戶居民用水超過4立方米時，超出部分按每噸元計算（不超過部分仍按每立方米2元計算）.設(shè)每戶每月的用水量為x噸，交納水費為y元，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，李濤同學(xué)家一月份交水費元，二月份交水費17元，三月份交水費8元，則李濤家第一季度共用水多少噸？【解析】由于用水量與水費的標(biāo)準(zhǔn)不同，所以不能用一個函數(shù)關(guān)系式表示，應(yīng)采用分段考慮的方法.關(guān)于第一季度共用水的問題，應(yīng)分別求出每月的用水量，再求和．【答案】當(dāng)0≤x≤4時，y=2x；當(dāng)x＞4時，y=2×4+(x-4)，即y=．因為＜2×4；8=2×4；12＞2×4，所以一月份、三月份的用水量均不超過4噸，三月份的用水量超過了4噸．所以，一月份用水量為：=(立方米)；二月份用水量為：4+=6(立方米)；三月份用水量為(立方米)，+6+4=(立方米)．答：李濤家第一季度共用水噸．【點評】本題在自變量取不同的范圍時，函數(shù)滿足的條件不同，我們常稱之為分段函數(shù)．這種函數(shù)情況繁雜，應(yīng)先根據(jù)自變量分別求出函數(shù)關(guān)系式，再觀察問題中的自變量在哪個范圍內(nèi)，最終得到問題的答案．【例5】填寫如圖所示的加法表，然后把所有填有11的格子涂上顏色，看看你能發(fā)現(xiàn)什么?如果把這些涂色的格子橫向的加數(shù)用x表示，縱向的加數(shù)用y表示，試寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式．哪一個當(dāng)自變量呢？自變量的取值有限制嗎？如果有，寫出它的取值范圍．【解析】當(dāng)涂色的格子橫向的加數(shù)為3時，縱向的加數(shù)是8；當(dāng)縱向的加數(shù)為6時，橫向的加數(shù)是5……．總之，它們的和是11．觀察加法表中涂色的格子的橫向的加數(shù)的數(shù)值范圍，它是小于或等于10，如果把橫向的加數(shù)當(dāng)作自變量，就可以確定自變量的取值范圍了．【答案】如圖能發(fā)現(xiàn)涂黑的格子在一條斜線上．并且橫、縱向兩個加數(shù)的和是11，所以有x+y＝11，其函數(shù)關(guān)系式為：y＝11－x．自變量x的取值范圍是：1≤x≤10．【點評】在變化過程中，兩個變量，哪一個是自變量，哪一個是函數(shù)，不是固定不變的．在這個問題中，如果把縱向的加數(shù)當(dāng)作自變量，那么，橫向的加數(shù)就是它的函數(shù)．【例6】如圖所示，等腰直角△ABC的直角邊長與正方形MNPQ的邊長均為10cm，AC與MN在同一直線上，開始時A點與M點重合，讓△ABC向右運動，最后A點與N點重合．試寫出重疊部分面積ycm2與MA長度xcm之間的函數(shù)關(guān)系式.并求當(dāng)MA=1cm時，重疊部分的面積是多少？【解析】由于在整個的運動過程中，重疊部分構(gòu)成等腰直角三角形，MA的長度為x，重疊部分的面積為y，根據(jù)三角形的面積公式即可確定y與x的函數(shù)關(guān)系式.將x=1代入函數(shù)關(guān)系式，可求出重疊部分的面積．【答案】y與x的函數(shù)關(guān)系式為．當(dāng)