蘇教版必修一集合集合的含義及其表示（區(qū)一等獎）

《集合的含義及其表示》學(xué)案一、課標(biāo)解讀1．《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確指出：“通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的”屬于”關(guān)系；能選擇自然語言．圖形語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題感受集合語言的意義和作用．”2．重點(diǎn):集合的概念與表示方法．3．難點(diǎn):運(yùn)用集合的兩種常用表示法---列舉法與描述法,正確表示一些簡單的集合．二、要點(diǎn)掃描1．集合的概念一般地，把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體，就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合（或集）；構(gòu)成集合的每個對象叫做這個集合的元素（或成員）．集合的元素可以是我們看到的、聽到的、聞到的、觸摸到的、想到的各種各樣的事物或者一些抽象符號．2．集合元素的特征由集合概念中的兩個關(guān)鍵詞“確定的”、“不同的”可以知道集合元素有兩大特征性質(zhì)：確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述．設(shè)集合給定，若有一具體對象，則要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一．互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的．設(shè)集合給定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素．3．集合與元素之間的關(guān)系集合與元素之間只有“屬于”或“不屬于”．例如：是集合的元素，記作，讀作“屬于”；不是集合的元素，記作，讀作“不屬于”．4．集合的分類集合按照元素個數(shù)可以分為有限集和無限集．特殊地，不含任何元素的集合叫做空集，記作．5．集合的表示方法列舉法是把元素不重復(fù)、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然．特征性質(zhì)描述法是用確定的條件描述集合內(nèi)元素特點(diǎn)的集合表示方法．例如：集合可以用它的特征性質(zhì)描述為{}，這表示在集合中，屬于集合的任意一個元素都具有性質(zhì)，而不屬于集合的元素都不具有性質(zhì)．除此之外，集合還常用韋恩圖來表示，韋恩圖是用封閉曲線內(nèi)部的點(diǎn)來表示集合的方法（有時，也用小寫字母分別定出集合中的某些元素），同學(xué)們在下節(jié)課中會接觸到這個內(nèi)容．三、知識精講知識點(diǎn)1．集合與元素．一個東西是集合還是元素并不是絕對的，很多情況下是相對的，集合是由元素組成的集合，元素是組成集合的元素．例如：你所在的班級是一個集合，是由幾十個和你同齡的同學(xué)組成的集合，你相對于這個班級集合來說，是它的一個元素；而整個學(xué)校又是由許許多多個班級組成的集合，你所在的班級只是其中的一分子，是一個元素．班級相對于你是集合，相對于學(xué)校是元素，參照物不同，得到的結(jié)論也不同，可見，是集合還是元素，并不是絕對的．知識點(diǎn)2．區(qū)分、{}與{}．是空集，是不含任何元素的集合；{}不是空集，它是以一個為元素的單元素集合，而非不含任何元素，所以{}；{}也不是空集，而是單元素集合，只有一個元素，可見{}，{}，這也體現(xiàn)了“是集合還是元素，并不是絕對的”．知識點(diǎn)3．解集合問題的關(guān)鍵．解集合問題的關(guān)鍵：弄清集合是由哪些元素所構(gòu)成的，也就是將抽象問題具體化、形象化，將特征性質(zhì)描述法表示的集合用列舉法來表示，或用韋恩圖來表示抽象的集合，或用圖形來表示集合，比如用數(shù)軸來表示集合，或是集合的元素為有序?qū)崝?shù)對時，可用平面直角坐標(biāo)系中的圖形表示相關(guān)的集合等．四、典題解悟題型一：集合的判斷．集合元素的特征：確定性特征：集合中的元素必須是明確的，不允許出現(xiàn)模棱兩可、無法斷定的陳述．設(shè)集合給定，若有一具體對象，則要么是的元素，要么不是的元素，二者必居其一，且只居其一．互異性特征：集合中的元素必須是互不相同的．設(shè)集合給定，的元素是指含于其中的互不相同的元素，相同的對象歸于同一集合時只能算集合的一個元素．例1．“①難解的題目;②方程;③平面直角坐標(biāo)系內(nèi)第四象限的一些點(diǎn);④很多多項式”中，能組成集合的是()．．②．①③．②④．①②④解析:解這類題目要從集合元素的特征-----確定性、互異性-----出發(fā)．①③④不符合集合元素的確定性特征．答案:例2．下列命題正確的個數(shù)為()．很小兩實數(shù)可以構(gòu)成集合；與是同一集合這些數(shù)組成的集合有5個數(shù)；集合是指第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集；．個．個．個．個解析:①中的元素不符合集合元素的確定性，不對；②先看“|”左邊描述的元素，第一個集合是函數(shù)的值域，第二個集合是點(diǎn)集，所以不是同一集合；③根據(jù)集合元素的互異原則：，所以集合有3個數(shù)，③不對；④先看“|”左邊描述的元素，集合是點(diǎn)集，再看“|”右邊規(guī)定的元素的公共屬性，第二、四象限內(nèi)的點(diǎn)集的公共屬性應(yīng)為，包括了坐標(biāo)軸上的點(diǎn)，④也不對；答案:A例3．則中的元素應(yīng)滿足什么條件？解析:根據(jù)集合中元素具有的互異性可知，該集合中的元素應(yīng)滿足，解不等式組即得答案．答案:題型二：集合與元素之間的關(guān)系．集合與元素之間只有“屬于”或“不屬于”．例4．下列表述是否正確，說明理由．{全體整數(shù)}{實數(shù)集}解析:“{}”是集合符號，包含了“所有”“全體”“全部”“集”等含義，因而這些詞語不能再出現(xiàn)在大括號內(nèi)；而表示以實數(shù)集為元素的集合，它與的關(guān)系是．答案:{整數(shù)}，{實數(shù)}．題型三：集合的表示方法（1）列舉法是把元素不重復(fù)、不計順序的一一列舉出來的方法，非常直觀，一目了然．（2）特征性質(zhì)描述法：集合可以用它的特征性質(zhì)描述為{}，這表示在集合中，屬于集合的任意一個元素都具有性質(zhì)，而不屬于集合的元素都不具有性質(zhì)．例5．用列舉法表示下列集合：①；②用特征性質(zhì)描述法表示下列集合①所有正偶數(shù)組成的集合；②被9除余2的數(shù)組成的集合．解析：首先搞清楚組成集合的元素是什么，然后再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎炯希鸢福孩賩}；②①②例6．指出下列集合的元素：；；；．解析：分析一個集合，首先要看“|”左邊，左邊的記號表示元素；再看“|”右邊，右邊規(guī)定了元素的公共屬性，尤其是本題的第⑶、⑷小題，⑶的元素是函數(shù)的自變量，⑷的元素是函數(shù)的函數(shù)值，雖然共同屬性都是滿足一個函數(shù)關(guān)系式，但⑶表示函數(shù)的定義域，⑷卻表示函數(shù)的值域，一定要理解清楚它們的各自含義．答案：元素所滿足的共同屬性為,元素易錯點(diǎn)所滿足的共同屬性為，,故元素是有實根的一元二次方程；元素所滿足的共同屬性為，即函數(shù)中自變量所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的定義域，化簡后為，故元素為函數(shù)的定義域中的所有實數(shù)；元素所滿足的共同屬性為，即函數(shù)中函數(shù)值所能取到的實數(shù)的全體，也就是該函數(shù)的值域，化簡得到，所以元素為函數(shù)的值域中的所有實數(shù)．五、拓展一步1．集合與方程例7．若方程的解集是求．的值．解析:由解集是可知這是個二次方程，即，由韋達(dá)定理，，解得答案:2．用數(shù)形結(jié)合的思想解集合問題．例8．求集合與集合有公共元素的的取值范圍．解析:集合即為不等式的解集，是大于的所有實數(shù)；集合即為不等式的解集，是小于的所有實數(shù)，在數(shù)軸上表示出兩個集合，可見，若要兩個集合有公共部分，必須．答案:．3．注意中集合元素形式的轉(zhuǎn)化．例9．若，則．（填“”或“”）解析:對進(jìn)行分母有理化,，令，則．答案:例10．方程組的解集是……………()．．{(-3,0)}．{-3,0}．(-3,0)．{(0,-3)}錯解：正解：分析：首先解這個方程組，得到一組解，注意到題目中要求寫出解集，即解的集合，按照集合的表示方法，一定要用大括號，所以不對；集合的元素是方程組的解，是有序數(shù)對，須加小括號．例11．下列四個關(guān)系中，正確的()．．．．．錯解：正解：分析：首先，選項中，易錯點(diǎn)是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一個為元素的單元素集合，所以{}；選項中是空集，{}是以一個為元素的單元素集合，這兩個集合之間沒有“屬于”或“不屬于”的關(guān)系；選項中、這兩個集合之間同樣沒有“屬于”或“不屬于”的關(guān)系；選項中是集合，同時也是的一個元素，所以是正確的．例12．下列各題中與表示同一集合的是……()．．．．．錯解：正解：分析：選項中集合、的元素都是有序數(shù)對，而，∴；選項中是空集，是不含任何元素的集合，而{}不是空集，它是以一個為元素的單元素集合，∴；選項中集合是函數(shù)的值域，集合是函數(shù)圖像上的所有點(diǎn)的集合，同樣；選項中集合、分別是函數(shù)和函數(shù)的值域，這兩個函數(shù)值域相同，此題選．六、同步自測1．下面四個命題正確的是（

）以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是“個子較高的人”不能構(gòu)成集合方程的解集是偶數(shù)集為2．下列關(guān)系正確的是（）Z∈Q(2,1)∈{(2,1)}NR2∈{(2,1)}3．已知A＝{x|x≤3,x∈R}，a=,b=2,則（）a∈A且bAaA且b∈Aa∈A且b∈AaA且bA4．下列集合中，不同于另外三個的是（）5．下面命題：①{2，3，4，2}是由四個元素組成的；②集合{0}表示僅一個數(shù)“零”組成的集合；③集合{1，2，4}與{4，1，2}是同一集合；④集合{小于1的正有理數(shù)}是一個有限集．其中正確的是（）③④②③①②②6．集合面積為的矩形，面積為的正三角形，則正確的是（）A．都是無限集B．都是有限集C．是有限集是無限集D．是有限集是無限集7．用列舉法表示集合：；8．用描述法寫出直角坐標(biāo)系中，不在坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)組成的集合；9．設(shè)都是非零的實數(shù)，則的值組成的集合的元素個數(shù)為；10．集合中的元素所應(yīng)滿足的條件是；11．若集合有且只有一個元素，則實數(shù)的取值集合是；12．設(shè)直線上的點(diǎn)集為，則

，點(diǎn)（2，7）與的關(guān)系為（2，7）

．13．已知，若集合中恰有3個元素，求14．已知，，，求15．已知集合A={x|x=a+b，a，b∈R}，判斷下列元素x與集合A之間的關(guān)系：（1）x=0；（2）x=；（3）x=．16．設(shè)下面8個關(guān)系式，其中正確的個數(shù)是（）A．4個B．3個C．2個D．1個17．集合M={(x，y)|≥0，x∈R，y∈R}的意義是（）A．第一象限的點(diǎn)B．第三象限的點(diǎn)C．第一和第三象限的點(diǎn)D．不在第二象限也不在第四象限的點(diǎn)18．下列各式中錯誤的是（）A．．-3B．C．D．19．,下列不屬于的是（）．．．1．20．方程組的解集可表示為①②③④⑤以上正確的個數(shù)是（）5個4個3個2個21．已知下列四個條件：①數(shù)軸上到原點(diǎn)距離大于的點(diǎn)的全體②大于且小于的全體素數(shù)③與非常接近的實數(shù)的全體④實數(shù)中不是無理數(shù)的所有數(shù)的全體其中能夠組成集合的是；22．關(guān)于的方程，當(dāng)實數(shù)滿足條件時，方程的解集是有限集；當(dāng)實數(shù)滿足條件時，方程的解集是無限集．23．已知集合，用列舉法表示；24．用特征性質(zhì)描述法表示直角坐標(biāo)平面內(nèi)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)的集合是；25．已知求實數(shù)的值26．已知集合用列舉法表示集合．27．已知集合A=，若A中元素至多只有一個，求實數(shù)的取值范圍．參考答案1．B2．B3．C4