對稱思想在簡諧運動中的運用

第第頁對稱思想在簡諧運動中的運用簡諧運動的特點是具有往復性，相對平衡位置對稱的兩點，加速度、回復力、位移均為等值反向，速度可能相同也可能等值反向，動能、勢能卻一定相同。在實際問題中利用這些特點分析問題，往往會收到事半功倍的效果。

一、運動時間的對稱性

例1.如圖1所示，一個質點在平衡位置O點附近做簡諧運動，若從O開始計時，經(jīng)過3s質點第一次過M點；再繼續(xù)運動，又經(jīng)過2s它第二次經(jīng)過M點；則該質點第三次經(jīng)過M點所需要的時間是（）

三、回復力和加速度的對稱性

例3.如圖3所示，一勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端固定于水平地面上，彈簧的上端固定一質量為m1的薄板P，另有一質量為m2的物塊B放在P的上表面。向下壓縮B，突然松手，使系統(tǒng)上下振動，欲使B、P始終不分離，則輕彈簧的最大壓縮量為多少？

分析與解將B、P看成一個簡諧振子，當B、P在平衡位置下方時，系統(tǒng)處于超重狀態(tài)，B、P不可能分離，分離處一定在平衡位置上方最大位移處，當B、P間彈力恰好為零時兩物體分離，此時B的回復力恰好等于其重力mg，其最大加速度為amax=g。由加速度的對稱性可知，彈簧處于壓縮量最大處的加速度也為amax=g。

由牛頓第二定律得：kxmax-（m1+m2）g=（m1+m2）amax

由此可見，靈活運用簡諧活動的對稱性解題，可使解題過程簡捷明了，達到事半功倍的效果。

四、能量的對稱性

例4.如圖4所示，原長為30cm的輕彈簧豎立于地面，下端固定于地面，質量為m=0.1kg的物體放到彈簧頂部，物體靜止，平衡時彈簧長為26cm。如果物體從距地面130cm處自由下落到彈簧上，當物體壓縮彈簧到距地面22cm時（不計空氣阻力，取g=10m/s2）則（）

A.物體的動能為1J

B.物塊的重力勢能為1.08J

C.彈簧的彈性勢能為0.08J

D.物塊的動能與重力勢能之和為2.16J

分析與解由題設條件畫出示意圖5所示，物體距地面26cm時的位置O即為物體做簡諧運動的平衡位置。根據(jù)動能的對稱性可知，物體距地面22cm時A′位置的動能與距地面30cm時A位置的動能相等。因此只需求出物體自由下落到剛接觸彈簧時的動能即可。由機械能守恒定律得EkA=mghA=0.1×10×1J=1J。物體從A到A′的過程中彈性勢能的增加為ΔEp=mgΔh=0.1×10×0.08J，所以選項A、C正確。

簡諧運動在傳播過程中有時間上的對稱，也有空間上的對稱。間諧運動這一理想模型涉及的物理量多，過程較為復雜，綜合性較強。在解決簡諧運動的問題時，如果能靈活運用它的對稱性特點，抓住運動的對稱性本質，就會將問題大大簡化。可見，熟練掌