2020年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學（二）試題解析

2020年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試

數(shù)學（二）試題解析

一、選擇題：1?8小題,每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定的位置上.

（1）當xf0+時，下列無窮小量中最高階的是（）

rx.2f.vf-Tfsinx-fl-cosx/~

(A)上(e-l)dt(B)])ln(l+UW"(C)￡sint~dt(D)jVsin3tdt

答案：(D)

V

解析：(A)(「(J-l)/)'=1一1?Y；(B)4ll1(1+"勸)'=E(1+而)?值;

(C)(￡sint2dty=sin(sinx)2cosx-x2;

(D)(J,"y/sin3tdt)r=^/sin3(l-cosx)sinx~x3|x|

i

（2）函數(shù)/（?=e*"n|l+x|的第二類間斷點的個數(shù)（

)

（ef（x-2）

(A)1(B)2(C)3(D)4

答案：（C）

解析：間斷點為一1,0,1,2；

ex~xln|l+x|

lim=00,故其為第二類無窮間斷點;

A->-l(，一l)(x—2)

ex~{ln|l+x|

lim—,故其為第一類間斷點;

A->0(/—l)(x—2)2e

lim——!一匚=8,故其為第二類間斷點;

f+（e'-l）（x—2）

ex~lln|l+x|

lim--------------L=oo

x

12(e-l)(x-2)

71/、冗

(B)(0(D)—

(A)f~4

TO

答案：（A）

解析：令arcsin?=/,代入原式有：上式二口--------2sinrcosrJ/=—.

sinfcosr4

(4)已知/(x)=x21n(l-x)(〃23),貝認尸")(0)=()

n.]n\(C)-3(H-2)!

(A)(B)(D)

n-2n-2nn

答案：（A）

con1

解析：/(x)=x2ln(l-x)=-x2y—.貝4⑺(o)=f!--

?=inn-2

町孫NO

(5)關(guān)于/(x,y)=<xy=0給出下列結(jié)論:

yx=0

-1—1

(0.0)一1(2)(0,0)—1(3)lim/(x,y)=0(4)limlim/(x,y)=0

x-^0x->0yf0

yf0

其中正確個數(shù)為（)

(A)4(B)3(02(D)1

答案：（B）

解析：案（0.0）=（x）|戶0=1；

力（。，0）

（。,。尸吧lim--=oo；

y)T0y

lim/(x,y)=0

xf0

),->0

lirnlim/(x,y)=0

從而正確的命題有3個.

⑹設(shè)/（x）在［—2,2］上可導(dǎo)，/'（幻〉/（幻＞0,則（）

-得⑻春…卷.(D)

答案：（B）

解析：/'(X)>/(x)>0,可得函數(shù)F(x)=e-xf\x)單調(diào)遞增，Vxe[-2,21,從而

F(0)>F(-l)=^/(0)>/(-1>.

(7)四階矩陣A不可逆，42聲°，％，%，%，%為人的列向量組，則A*x=0的通解

為()

(A)x=kxa^4-k2a2+k3a3(B)x=k[a{+k2a2+k3a4

(C)x=+左2a3+&%(D)x=+42a3+23a4

答案：(C)

解析：由于四階矩陣A不可逆，Al2聲0,故廠(4)=3,從而有?4*)=1且4\4=網(wǎng)石=0,

a

即因，a2,av*就是A*x=O的解，又因為A2H0,故可以由囚，v線性表

示，故四，ay%線性無關(guān).故正確答案為(0

(8)A為3階矩陣，囚，%為屬于特征值1的線性無關(guān)的特征向量，%為A的屬于T的

(、

特征向量，滿足P-MP=-1的可逆陣?為()

、b

(A)(?1+a3,a2,-a3)(B)(?]+a2,a2,-a3)

a

(C)(因+%,一。3，2)①)(?j+a2,-a3,a2)

答案：(D)

解析：相似對角化的過程要求P與A中的特征值有對應(yīng)關(guān)系，從而由特征向量的性質(zhì)可知

(D)為正確選項.

二、填空題：9?14小題,每小題4分，共24分.請將答案寫作答題紙指定的位置上.

⑼設(shè)[，則今L=__________-

y=ln(Z+Jl+產(chǎn))dx

答案：-

、

1____

q=_耳,芻1=一也

t__t3dfg

J1+乙

(10)￡dy]-Jx3+\dx=

245/2-2

答案：-------

9

解析：交換積分次序有

￡d)j,-Jx3+\dx-￡dxj：y/x3+\dy-￡x2-Jx3+\dx-~-

(11)設(shè)z=arctan回+sin(x+y)],則<Zz|(Ojr)=.

答案：(7T—V)dx—dy

0士匚/&jdz.y+cos(x+y),x+cos(x+y).

解析：dz=—dx+—dy=-------——---------——^—^dy

dxdyl+[xy+sin(x+y)]l+[xy+sin(x+y)]

代入x=O,y=萬可得應(yīng)，/)=(7r-1)dx-dy.

(12)斜邊長為2。的等腰直角三角形平板鉛直地沉沒在水中，且斜邊與水面平齊，記重力

加速度為g,水密度為P，則三角形平板的一側(cè)受到的壓力為L

答案：；Pga，

解析：F=2('(a-y)ydypg=!pgay

J()3

(13)設(shè)y=y(x)滿足y"+2/+2)=0且y(0)=0,/(0)=1,則［y{x}dx=_______.

答案：1

解析：y"+2y'+2y=0可得特征方程產(chǎn)+2r+l=0,從而4=4=—1

=>y=(Cl+xC2)e-\又y(O)=O,y'(O)=l可得G=O，G=1，故丁=犬0-”

/*+3O/?4-oO

jy(x)dx=Jxexdx-1

a0-11

_,0a1-1

(14)行z列式=.

-11a0

1-10a

答案：a*—4cz*

a0-1111111111

…0a10a1--1,0?1-1

解析：,1nk+4(i=2,3,4)ar,+r.a

-11a0-11a0-11fl0

1-10。1-10a0011

11111111

0a1-120

八+?r+r.a~=a7(a-7-4)

2=^02ao02a0

00110011

三、解答題：15?23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

(15)(本題滿分10分)

'+x

求曲線y=%xF(x>0)的斜漸近線。

答案：y=-x+—

e2e

'+x(丫*ln上

解析：y=—X—=乂X上=xe"X(x>o)

(i+xrU+%J

Vxln(l+x).1

a=lim—=lime1+A',而limxln——=-lini-------=-l,故。=一；

x—>+xxx->+x)%->+oo]+尤XT0+xe

ln(l+x)lln(l+x)

.X-|j-_1

xin—i°—°.ex-1,,..x-ln(l+x)1

b=lim(xe,+x——x)=lim---------------=e1im-------------=elim---------------=—

%-*飲0*->()+xx-包x—0+x2e

綜上，斜漸近線的方程為y=—x+—

e2e

(16)(本題滿分10分)

設(shè)/(無)連續(xù)，且=l,g(x)=J'f⑷dt,求g'(x)且證明g'(x)在x=0處連續(xù).

5X

f(x)1rv

-----------fl/也)duxw0

答案：g'(x)=J廠'°

x=0

.2

解析：設(shè)連續(xù)，且(

/(x)lim￡0=l,則/(o)=o,r(o)=i

?f'X

riPf(u)du

令"=",則g(x)=:f(xt)dt=史--------(xwO),工=0時，g(0)=0；

JoX

ffri「f{u)du

故當x#0時，g，(x)=2_L2—業(yè)_.一

Xx~

￡'f(u)dxi

當x=()時，g'(O)=lim^^^=lim

X->0XXT°x22

從而

‘產(chǎn)Acx

r，/、1.f(x)0f^duf(x)]f(u)dug=g@，即

hmg(x)=hm-------———=lim---------hm———

xf0xf0x￡x->0%xfo1

\7

g'(x)是連續(xù)的.

(17)(本題滿分10分)

求/(羽正/+打3f的極值.

答案：有極小值點(一,—)，極小值為-----.

612216

?=3廠-y=0

解析：令<嘉得駐點為(0,0)或(一，一)

上=24丁_尤=0612

?

又A=T=6x,6=^^=_l,C=T=48y

dx2dxdydy2

代入(0,0)得AC—B'vO,故其不是極值點；

代入(工,‘?)得AC-8?>0且A>(),故(2,-!-)為極小值點，相應(yīng)的極小值為-」一.

612612216

(18)(本題滿分10分)

設(shè)/(幻在(0,+oo)上有定義，且滿足2/(%)+//=導(dǎo)W

⑴求f(x)；

(2)求曲線y=/(x),y=g,y='以及y軸圍成的圖繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的體積;

XTT

答案：(1)f(x)——,,XG(0,+oo)(2)—

71+x26

解析：⑴因為2/(幻+//仕]=號絲，所以"d)+~l/(x)=

\XJ71+x2XXxjl+尤2

消去/(')可得/(x)="=xe(0,+oo)

xVl+x2

(3)含j軸繞x軸的模型，利用公式計算如下：

6叵￡2

22

V=2乃&2yx(y)dy=2^Jj,.dy=2%|Jsintdt=——

22Jl-y266

(19)(本題滿分10分)

計算二重積分JJ1X+ydb,其中區(qū)域。由x=l,x=2,y=x及X軸所圍成.

DX

答案：w卜^+ln(l+J^)]

/2,2n2A”1q開

解析：ffW———da=\AdO\^°^—dr=-[4-\-d0=-[4sec3^,

xJ。J*cos。2Jo8s3。2Jo

又

[sec3OdO-[secft/tan=sec6tan0-ftan26sec6d0-sec6tanfsec36d0-\-[sec0dO

故jsec，ede=[sec0tan+ln|sec+tan6|]+C

2

所以，|psec3|[x/2+ln(l+V2)].

(20)(本題滿分1分)

已知fix')-1e'dt

(1)證明：e(1,2),使得/?=(2—J)消

(2)證明：三〃€(1,2),使得〃2)=足20〃2

證明：

(1)令F{x}=/(x)-(2-x)exxe[1,2]

因為尸(x)在［1,2］上連續(xù)且/⑴=/(l)—e=—GF(2)=/(2)>0,從而根據(jù)零點定理可知

至€(1,2)使得尸0=。

⑵令G(x)=/(2)lnx-ln2-/(x)xe[1,2]

因為G(x)在［1,2］上連續(xù)，在(1,2)內(nèi)可導(dǎo)，且G(l)=0=G(2),從而根據(jù)羅爾定理可知

m〃e(l,2)使得G(〃)=0.即^^—ln2.e，=0,整理后可得e(1,2),使得

f(2)=\n2-rj-e''.

(21)(本題滿分11分)

已知/(x)可導(dǎo)，且/'(x)>0(x20).曲線y=/(x)過原點，點M為曲線〉=/0)上的任

一點，過點M的切線與x軸相交于點T,過點M做MP垂直于x軸于點P,且曲線

y=/(x)與直線MP以及x軸所圍成的圖形面積與三角形MTP的面積比恒為3:2,求曲

線滿足的方程.

答案：y=C?

解析：設(shè)點M(a,/(a)),則知5即=等器；

曲線y=/(x)與直線MP以及x軸所圍成的圖形面積為

從而根據(jù)題意有且/3)=0；

兩邊同時對a求導(dǎo)并整理有

3f\a)f(a)-2f'2(a)=0即3y/-2/2=0

又令/=p,則y"=p立，代入上式有包=女，解之得p=,將y'=〃回代，再解

dydy3y

之得y=C?+￡,又爪0)=0,故G=0,從而y=C?.

(22)(本題滿分11分)

二次型/、(%,工2，%3)=#+xi+xl+2叼毛+2。毛毛經(jīng)可逆線性變換x=Py變換

為g(出，%‘%)=立+￡+4貨+2yly2

(1)求a的值；

(2)求可逆矩陣P

2

3

4

3

O

（1acr

解析：⑴二次型/（%/2，不）的矩陣A=。1a

a1?

又gQ'M,ZiQy'W+dy+ZyMEy+My+dy,故r（A）=2,故4=_；.

（3）/（%,工2，工3）=%；+X2+工；+勿％々+2時工3+%天芻

11

Z!=^|--^2--^(J__v

1西）

V3-2~2

令＜Zx可化/=Z；+Z