

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
版權(quán)說明:本文檔由用戶提供并上傳,收益歸屬內(nèi)容提供方,若內(nèi)容存在侵權(quán),請進行舉報或認領
文檔簡介
Ch1.Mathematica概述Mathematica的工作環(huán)境Mathematica的基本系統(tǒng)是用C語言編寫的,因此能夠方便的移植到各種計算機系統(tǒng)上。打開Mathematica,可以看到它是一個窗口軟件,包括一個執(zhí)行各種功能的工作條(屏幕頂端)和一個工作區(qū)窗口。激活工作區(qū)窗口,輸入希望的計算式(如:“3+8-4”),同時按下“Shift”和“Enter”鍵便可執(zhí)行計算。使用Mathematica的幾個注意點:.每次使用Mathematica,第一次計算時間較長,這是系統(tǒng)在進行初始化工作,從第二次計算開始就很快了。.輸入計算公式和普通文本輸入一樣,系統(tǒng)將把每次輸入記錄在案,并自動給每個輸入記錄用“In[n]”編號,計算結(jié)果用“Out[n]”編號?!埃ァ北硎旧弦淮斡嬎憬Y(jié)果,“%n”表示“0叫口]”的內(nèi)容,這樣可以減少重復輸入。.輸完計算式后,同時按下“Shift”和“Enter”鍵,Mathematica將完成計算。.必須嚴格按照系統(tǒng)所規(guī)定的格式輸入算式,否則將無法完成計算任務,通常給出一段文字,告訴你出錯的(可能)原因。Mathematica的基本功能.基本計算功能,如:In[1]:=3+8-4Out[1]=7In[2]:=12.5八3 (*即12.53*)Out[2]=1953.132.強大的符號計算功能Mathematica2.強大的符號計算功能Mathematica的(1)角解方程號計算功能I最大特點是那行符號計算。如:>飛x+a=2xIn[3]:=Solve[Sqrt[x]+a==2x,x]1 -1Out[3]=x?8力卮1+8az?8注意,方啕解用“(”代替了“=”(2)求不定積分/exsinXdf^In[4]:=Integrate[(EAx)Sin[x],x]Out[4]=—-axCosx+-axsinx注意;不定積分的任意常數(shù)C均省略。
3.繪圖功能Mathematica有強大的圖形功能,可作各種二維、三維圖形。如:(1)作函數(shù)y=sinx+sin1,6x的二維圖形In[5]:=Plot[Sin[x]+Sin[1.6x],{x,0,40}]Out[5]=一Graphics-(2)作函數(shù)z=sin(xy)的三維圖形In[6]:=Plot3D[Sin[x*y],{x,0,4},{y,0,4},PlotPoints->30]0Out[6]=-0Out[6]=-SurfaceGraphics-1.3從Mathematica中獲得幫助信息.點擊Browse使用方¥..點擊Browse使用方¥.用“In[7]:=?SinSinz.用“??”可In[8]:=??Sin中的Help可獲得幫助信息。特別是下拉菜單“Help“MathematicaBook”系統(tǒng)而完整地介紹了本軟件的獲得幫助信息(常用信息)。如:neofz.言息(詳細信息)。如:Sinzgivesthesineofz.AttributesSin=Listable,NumericFunction,Protected花括號內(nèi)的多項內(nèi)容可到“HelpBrowser”中查詢,只要在“GoTo”右面的對話框中輸入想查詢信息的名稱后打回車鍵即可找到相應的信息了。Ch2.出洗e/a/勺基本命令2.1算術(shù)運算//r~Zr-I、、—/r~Zr-1.算木運算用Mathematica運算與用計算器一樣簡單。如:In[1]:=3.55+12.879/(4.33-1.203)八2.3Out[1]=4.4856在Mathematica中,基本運算符號如下表:算術(shù)運算法則運算符號舉例優(yōu)先級加+2+33減-5-23乘*或空格a*b或ab2除/15/42乘方八2八41開平方Sqrt[]Sqrt[3]12.精確值與近似值Mathematica有強大的計算功能,總可以得到精確值。如:In[2]:=(30000*12345)八9Out[2]=1310723665724312245850482517300821679687500000000000000/0000000000000000000000如果想得到近似值,可在輸入結(jié)尾加上“//N”。如:In[3]:=(30000*12345)八9〃NOut[3]=1.31072x1077用“N[廣也有相同效果。如:In[4]:=N[Pi,50](*表示兀的近似值,取50位有效數(shù)字*)°Ut[4]=3.1415926535897932384626433832795028841971693993751輸入整數(shù)時,Mathematica認為是精確值;輸入小數(shù)時,Mathematica認為是近似值。如:In[5]:=(30000*12345)八9.0Out[5]=1.31072x1077In[6]:=3/8+2/67Out[6]=也5362.2常用函數(shù)與常數(shù)1.常用函數(shù)有:函數(shù)名功能Abs[x]HExp[x]exLog[x]lnx
Log[b,x]logbxSin[x]sinxCos[x]cosxTan[x]tanxCot[x]cotxArcSin[x]arcsinxArcCos[x]arccosxArcTan[x]arctanxArcCot[x]arccotxSinh[x]sinhxCosh[x]coshxTanh[x]tanhxArcSinh[x]arsinhxArcCosh[x]arcoshxArcTanh[x]artanhxN!n!Random[x]0到1之間的隨機數(shù)Max[x,y,…]max(x,y,…)Min[x,y,…]min(x,y,...)Round[x]x取整2.常數(shù)Pi(圓周率n)£(自然對數(shù)的底e) 1(虛數(shù)單位i)Infinity(+8)Tnfinity(-8) Degree(n/180)角度注意,1.Mathematica中內(nèi)部函數(shù)和常數(shù)須用大寫字母開頭;2.函數(shù)的自變量應放在方括號內(nèi)。例如;In[7]:=Sin[Pi/3]Out[7]=豆(*這是符號解,即sin—的精確解*)2 3In[8]:=N[%,6] (*上述顯的近似值,取6位有效數(shù)字*)2Out[8]=0.8660253.復數(shù)“I”表示虛數(shù)單位i,如:In[9]:=Log[-737.3]Out[9]=6.60299+3.14159有關(guān)復數(shù)的函數(shù)函數(shù)名功能Re[z]取z的實部Im[z]取z的虛部Conjugate[z]z的共軛復數(shù)zAbs[z]z的模上Arg[z]z的輻角2-3Mathematica的代數(shù)運算1.賦值與消除賦值有時某些變量(或函數(shù))在計算中重復出現(xiàn),為避免重復輸入,可以先給它們賦值。如果要對變量賦值可用以下方法:(1)在變量計算前先賦值。如:In[1]:=x=3; (*分號表示不立即輸出*)這時變量x就已賦值為3,以后遇到x時,Mathematica就認為是3了。In[2]:=x+xOut[2]=6(2)在變量計算后賦值。如:In[3]:=y+2y/.y->3(*這時y已賦值為3*)Out[3]=9In[4]:=x八2+2yOut[4]=15(3)定義函數(shù)(對函數(shù)賦值)Mathematica中有很多內(nèi)部函數(shù),如:Log[x],Sin[x],Abs[x]等;用戶也可以自己定義函數(shù),如定義f(x)=x2+2x+3In[5]:=f[x_]:=xA2+2x+3這樣函數(shù)f(x)就定義好了,在定義函數(shù)時,等號一般用“:=",方括號內(nèi)自變量右邊必須有下劃線“_”。下面就可以使用此函數(shù)了。In[6]:=f[2]Out[6]=7In[7]:=f[t+1]Out[7]=3+2(1+t)+(1+t)2In[8]:=Integrate[f[x],{x,0,1}]Out[8]=133-2 x<-1定義分段函數(shù)可用Which(或If)命令來完成,如:f(x)Jx -1<x<1、2 x>1In[9]:=f[x_]:=Which[x<-1,-2,x<=1,x,x>1,2]同樣可定義多元函數(shù)In[10]:=g[x_,y_,z_]:=Sin[x]+y-zIn[11]:=g[Pi/2,1/2,3]Out[11]=—32要消除賦值,可用以下方法:(1)賦值x=.如:In[12]:=x=.In[13]:=x八2+2yOut[13]=x2+6(2)用函數(shù)“Clear"。如:In[14]:=Clear[y]In[15]:=x八2+2yOut[15]=x2+2y清除定義的函數(shù)也用Clear[f]oIn[16]:=Clear[f]2,常用的初等代數(shù)符號計算(1)展開多項式ExpandIn[17]:=Expand[(x+1)(x八2+2x+2)+2x+5]Out[17]=7+6x+3x2+x3(2)因式分解FactorIn[18]:=Factor[x八2+2x+1]Out[18]=(1+x)2(3)通分TogetherIn[19]:=Together[2/(3+x)八2+3x/(3+x)八2+x八2/(3+x)八2]Out[19]=2+3x+x2(3+x)2(4)拆分(把有理分式分解為部分分式之和)ApartIn[20]:=Apart[(2-3x+x八3)/(9+3x-5x八2+x八3)]Out[20]=1+f+—+人(5)約分CancelIn[21]:=Cancel[(1+2x+x八2)/(x八2-x-2)]Out[21]=1+x—2+x3,解代數(shù)方程Mathematica中的方程的等號以雙等號“二=”表示。In[22]:=Solve[x八2+3x-8==0,x]Out[22]=小f2(3-.1]xf2(3+歷”In[23]:=N[%]
Out[23]=張—>—4.701561k—11.70156}}In[24]:=Solve[{x+y-1==0,x-y==0},{x,y}]要;項式In[25]:=NOut[25]=Out[24]=-2要;項式In[25]:=NOut[25]=Out[24]=-2,y-2J;
上的高次
的近似解A3-2xA27==0,x]呈,8[e就無能為力了,<8NSolvee(多x?-0.81599-1.12316a,x?-0.81599+1.12316a,x?3.63198也可用命令FindRootIn[26]:=FindRoot[x八3-2x八2-4x-7==0,{x,4}]Out[26]=x?3.63198其中4表示方程在從4出發(fā)求解。2.4微積分的符號計算與數(shù)值計算.微分(導數(shù))運算(1)D[f,x]求導數(shù)或偏導數(shù)In[1]:=D[Sin[x],x]Out[l]=Cos[x]In[2]:=D[y+Sin[x](x+y),y]Out[2]=1+Sin[x](2)D[f,{x,n}]求n次(偏)導數(shù)In[3]:=D[x八3+x八2+1,{x,2}]Out[3]=2+6x(32[中4吊混合偏導數(shù)耶xcH@DH@DIn[5]:=D[f[xA2,xy],x]Out[5]=yf0,1x2,xy+2xf1,0x2,xy.積分運算(1)不定積分jfdxIn[6]:=Integrate[x八2,x]Out[6]=至3Mathematica可做幾乎所有標準函數(shù)的不定積分,但對于“積不出”的可積函數(shù)Mathematica也不能求。如:In[7]:=Integrate[xAx,x]Out[7]=xxOut[7]=xxAx(2)定積分fbfdxIn[8]:=Integrate[Sin[x],{x,a,b}]Out[8]=-Cos[b]+Cos[a]此方法也只能求“積得出”的可積函數(shù)的定積分,用NIntegrate可求定積分的近似值(包括“積不出”的可積函數(shù))。如:In[9]:=NIntegrate[Sin[Sin[x]],{x,1,2}]Out[9]=0.81645(3)重積分,必須先化為累次積分后上機計算,如f2djfxfX丫dy1xIyJIn[10]:=Integrate[(x/y)八2,{x,1,2},{y,x,1/x}]Out[10]=943.求和、求積運算(1)求和(Z)SumIn[11]:=Sum[(n+1)八2,{n,10}]Out[11]=505In[12]:=Sum[n=2,{n,1,100,2}]Out[12]=166650其中{n,1,100,2}表示n2按n從1加到100,步長為2(即12+32++992)In[13]:=Sum[(1/3)八n,{n,1,Infinity}]//NOut[13]=0.5若級數(shù)發(fā)散,將得不到任何值。In[14]:=Sum[xAn/n,{n,1,30,3}]X4Out[14]=X+T+xX4Out[14]=X+T+x7xioX13X16X19X257 10 13 16 19 22 25X2828蟠JLiftH舊L(2)求積(n)ProductIn[16]:=Product[xAn+yAn,{n,1,5}]Out[16]=x+yX2+y2X3+y3x4+y4x5+y5用NProduct可求近似值。In[17]:=NProduct[n/20-n,{n,1,20}]Out[17]=8.7216110174,解微分方程例如求微分方程y,(x)=ay(x)+1的通解。
In[18]:=DSolve[y'[x]==ay[x]+1,y[x],x]Out[18]=]y[x]f—-+eaxC[1]jj其中C[1]為任意常數(shù)。也可以求初值問題的解。In[19]:=DSolve[{y'[x]==ay[x]+1,y[0]==0},y[x],x]Out[19]=]卜區(qū)——h^xjj.冪級數(shù)展開 (DTaylor展式(按x在x。處展開n項)In[20]:=Series[Sin[x],{x,0,9}]x3+x5 x7+x9 + 10Out[20]=x6 120 5040362880°x (*最后一項為余項*)上式是將sin[x]在0處展開9項。若要將余項o[x]10去掉,可用NormaloIn[21]:=Normal[%]Out[21]=x3Out[21]=x3+x5
6 120x7+ x95040 362880.極限極限用Limit表示。例如求極限lim必oxf0xIn[22]:=Limit[Sin[x]/x,x->0]Out[22]=17.數(shù)據(jù)處理RQ <(1)函數(shù)的最小值 \Mathematica系統(tǒng)中可以從一點出發(fā)求函數(shù)的最小值。In[23]:=FindMinimum[Sin[x]Cos[x],{x,0.5}]Out[23]=-0.5,x-0.785398(2)數(shù)據(jù)擬合在數(shù)據(jù)處理中常用到數(shù)據(jù)擬合(用一個函數(shù)描述所得到的一組數(shù)據(jù)),Mathematica中可用Fit來完成。例如得到一組數(shù)據(jù){{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}},作二次擬合。In[24]:=t1={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}Out[24]={{1,2.18},{1.2,2.56},{1.6,3.03},{1.8,2.66}}In[25]:=Fit[t1,{1,x,x八2},x]Out[25]=-4.206+9.465x-3.125x2
練習11.練習1(1)62110 (2)%口(5)(1)62110 (2)%口(5)sin25O (6)cos(1)(9)tan0.54 (10)arctane九3⑺arcsin! (8)108!3(11)ee一次+1 (12)sini冗+0.12.計算下列各式到20,50,100位精度:(1)e'百 (2)log5d2^i (3)e厘2-1 (4)ln(2八桁)3.求下列積分(1)j上山dxx2(4)j2冗—dx—05+3sinxsin(cos2x)sinxdxaxsinxcos23.求下列積分(1)j上山dxx2(4)j2冗—dx—05+3sinxsin(cos2x)sinxdxaxsinxcos2xdx(5)1222一02dx (6)129八-2'3dxa x4 3(x-26+3.已知y=xarctanx,求高階導數(shù)y(100)及它在X=0的值。(1)lim(1+1(1)lim(1+1+1+...+1-lnnlimx-xx1—x+lnx
x—-1(2)lim(1——、(2)lim(1——、I 22J(4)limn-86.把下列函數(shù)展開為x的冪級數(shù)x-+8(2 ,一arctanxI冗(1)ex(展開7項)(2)(展開7項)(2)Ch3.Mathematica的表Mathematica中的“表”是重要的表示結(jié)構(gòu),是用花括號“{"、“}”括起來的若干式子。式子之間用逗號分開。表的生成.直接生成-10-
In[1]:={2,35,11}Out[1]={2,35,11}In[2]:={Sqrt[2.0],2+4,x+1}Out[2]={1U1421,6,1+x}.用函數(shù)Table定義In[3]:=Table[n八2,{n,1,20}]1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,Out[3]= 121,144,169,196,225,256,289,324,361,400上式表示生成由n2組成的表,{n,1,20}表示n從1到20,每次加1(默認值){n,1,20}是{n,1,m}的形式,可換成以下形式:{n,
{n,
{n,mj^n從1(默認值)到m,每次加1(默認值)m^m2}表示口從m1到m2,每次加1(默認值)m1,m2,m3}表示n從m1到m2,每次加m3{n,
{n,
{n,如:In[4]:=Tagejn八2,{n,20}]J,C,9,16,25,36,49,64,81,100,Out[4]=^21,144,169,196,225,256,289,324,361,400In[5]:=Table[Sin[x],{x,0,1,0.1}]0,0.0998334,0.198669,0.29552,0.389418,Out[5]= 0.479426,0.564642,0.644218,0.717356,0.783327,0.841471.2表的結(jié)構(gòu).表的層次表可以有1層,如:{1,2,3};也可以有多層,如:t1={1,{2,3},{{4},5}}表的層次沒有限制。抹平層(去掉一些括號)可用函數(shù)Flatten。In[6]:=t1={1,{2,3},{{4},5}};In[7]:=Flatten[t1]Out[7]={1,2,3,4,5}Flatten不改變原表,此時表t1仍為{1,{2,3},{{4},5}}Flatten[t,n]表示抹平表的n層In[8]:=Flatten[t1,1]Out[8]={1,2,3,{4},5}.表作為向量和矩陣表{1,2,3}表示向量{1,2,3}-11-
表{{1,1,2},{1,x,1},{1,1,x}}表示矩陣1x1J1x/向量、矩陣的常用函數(shù)運算符號(函數(shù))功能A+B矩陣(向量)的加法A.B矩陣(向量)的乘法(數(shù)量積、點積)Cross[a,b]向量的向量積(叉積)Inverse[A]求方矩陣的逆Det[A]求方矩陣的行列式Eigenvalues[A]求方矩陣的特征值Eigenvectors[A]求方矩陣的特征向量注,Mathematica對行向量與列向量不加區(qū)分,一律寫成行向量形式,運算時根據(jù)法則自動作出判斷。練習2.造下面的表:(1){1,4,9,16,…,10000}(2){{1,2,3,…,100},…,{1,2,3,100}},共10個子表⑶口,4,…,%},其中n『n/n!精確到小數(shù)后40位數(shù)字.做一個10項的表,它的每項sn是sinx在x=1點的值與sinx在0點的n階冪級數(shù)展式在x=1點的值之差(n=1,2,…,10),要求30位精度。(A+B)C=AC+BC.生成5階方陣A,B,C用演算證明:(A+B)C=AC+BC(12342】11,(2)A二2312111-1670-2-6(AB)C=A(BC)0,求A-1及IAI4.設(1)A=32175.求向量a={3,-1,2},b={4,2,-5}數(shù)量積和向量積。Ch4.Mathematica的圖形4.1二維圖形二維圖形是Mathematica中最基本的作圖,由Plot實現(xiàn)1.Plot[f[x],{x,x1,x2}]表示畫f[x]的圖形,作圖區(qū)間[x1,x2]-12-
2.Plot[{f1[x],f2[x],…},{x,x1,x2}]表示在同一平面上畫f1[x],f2[x],…的圖形,作圖區(qū)間[x1,x2]Out[1]=一Graphics-Out[2]=-Out[1]=一Graphics-Out[2]=-Graphics-In[2]:=In[3]:=Plot[{Sin[x],Sin[2x],Sin[4x]},{x,0,2Pi}]Out[3]=-Graphics-畫用Table生成的表的圖形時,Evaluate表示Table表中的值,不可省略。例如;In[4]:=Plot[Evaluate[Table[Sin[nx],{n,4}]],{x,0,2Pi}]-13-
用“??”看一下Plot的可選參數(shù)(Option),可用于改變圖形的顏色、坐標軸等選項。Plot的常用選項有選項功能舉例AspectRatio作圖的縱橫比例AspectRatio->AutomaticAxes坐標軸中心位置Axes->{0,1}AxesLabel坐標軸的名字AxesLabel->{”x",”y”}Ticks坐標軸的刻度Ticks->NonePlotPoints圖形取點數(shù)(點數(shù)多,圖形精細)PlotPoints->30PlotStyle作圖方式(明暗,顏色等)PlotStyle->{{Thickness[0.05]},{GrayLevel[0.5]},{RGBColor[1,0,0]}}In[5]:=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}]In[6]:=Plot[Sin[x],{x,0,2Pi},AspectRatio->Automatic,AxesLabel->{"x","y"},PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0]}}]1-14-
Out[6]=一GraphicsShow可將任意多個做好的圖形顯示在一個圖形中畫參數(shù)方程所決定的曲線的圖形可用命令ParametricPlot,如:畫橢圓上+二=116 9In[10]:=ParametricPlot[{4Cos[t],3Sin[t]},{t,0,2Pi}]-15-
4.2三維圖形三維圖形用Plot3D命令實現(xiàn)。Plot3D[f[x,y],{x,x1,x2},{y,y1,y2}]In[11]:=Plot3D[Sin[x]Sin[y],{x,0,3},{y,0,3}]Out[11]=一SurfaceGraphics一畫參數(shù)方程所決定的空間曲面和空間曲線的圖形可用命令X=cosX=cost,te[0,2?]的圖形。y=sinttz=~V[ 10In[12]:=ParametricPlot3D[{Cos[t],Sin[t],t/10},{t,0,20Pi},PlotPoints->500]Out[12]=-Graphics3D-4.3多個點的作圖ListPlot可畫離散點的圖形。如:In[13]:=t=Table[2n,{n,0,10,0.5}]-16-0,1.,2.,3.,4.,5.,6.,7.,8.,9.,10.,Out[13]= 1
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