2021-2022學年四川省南充市高二年級下冊學期第一次月考數(shù)學（理）試題【含答案】

2021-2022學年四川省南充市高二下學期第一次月考數(shù)學（理）試題一、單選題1．拋物線的準線方程是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用拋物線的準線方程為即可得出．【詳解】由拋物線，可得準線方程，即．故選：C．2．在長方體中，，，點為的中點，則異面直線與所成角的正切值為A． B． C． D．【答案】A【分析】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，求出與的坐標，利用空間向量夾角余弦公式求出夾角余弦，再利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求所成角的正切值.【詳解】以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，則，,設(shè)異面直線與所成角為，則，，，異面直線與所成角正切值為，故選A.【點睛】本題主要考查異面直線所成的角，屬于基礎(chǔ)題.求異面直線所成的角主要方法有兩種：一是向量法，根據(jù)幾何體的特殊性質(zhì)建立空間直角坐標系后，分別求出兩直線的方向向量，再利用空間向量夾角的余弦公式求解；二是傳統(tǒng)法，利用平行四邊形、三角形中位線等方法找出兩直線成的角，再利用平面幾何性質(zhì)求解.3．雙曲線（7＜λ＜9）的焦點坐標為A．（±4，0） B．（±，0）C．（0，±4） D．（0，±）【答案】B【詳解】試題分析：∵雙曲線（7＜λ＜9）∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化為由此可得：雙曲線焦點在x軸，且∴雙曲線的焦點坐標為故選B【解析】雙曲線的標準方程．4．如圖，南北方向的公路，地在公路正東處，地在北偏東方向處，河流沿岸曲線上任意一點到公路和到地距離相等．現(xiàn)要在曲線上某處建一座碼頭，向，兩地運貨物，經(jīng)測算，從到，修建公路的費用都為萬元，那么，修建這兩條公路的總費用最低是（

）A．萬元 B．萬元 C．萬元 D．萬元【答案】C【分析】依題意知曲線是以A為焦點、為準線的拋物線，利用拋物線的定義求的最小值，即可求解.【詳解】根據(jù)拋物線的定義知：欲求從到A，修建公路的費用最低，即求的最小值，設(shè)點到直線的距離為，且，即求的最小值，即為點到直線的距離．因地在A地東偏北300方向km處，∴到點A的水平距離為3（km），∴到直線距離為：3+2=5（km），那么修建這兩條公路的總費用最低為：（萬元）．故選：C．5．圓錐曲線的離心率，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先根據(jù)離心率判斷曲線為雙曲線，根據(jù)雙曲線的離心率列方程，解方程求得的值.【詳解】由于曲線的離心率為，所以曲線為雙曲線.故，方程化為，所以，解得.故選B.【點睛】本小題主要考查根據(jù)圓錐曲線的離心率求參數(shù)，考查橢圓、雙曲線離心率的特征，屬于基礎(chǔ)題.6．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點，且離心率為，則橢圓的標準方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)橢圓的方程為，求出即得解.【詳解】由題得雙曲線的焦點為，所以橢圓的焦點為，設(shè)橢圓的方程為，所以.所以橢圓的標準方程為.故選：B7．過點與拋物線只有一個公共點的直線有(

)A．1條 B．2條 C．3條 D．無數(shù)條【答案】C【詳解】因為點在拋物線外面，與拋物線只有一個交點的直線有2條切線，1條和對稱軸平行，故3條．8．已知雙曲線-=1的右焦點為（3,0），則該雙曲線的離心率等于A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故該雙曲線的離心率e＝＝．9．已知直線與雙曲線交于A?B兩點，以AB為直徑的圓恰好經(jīng)過雙曲線的右焦點F，若的面積為4a2，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】設(shè)雙曲線的左焦點為，則可得四邊形為矩形，由雙曲線的定義和勾股定理結(jié)合三角形面積可得，即可求出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點為，根據(jù)雙曲線和圓的對稱性，圓過雙曲線的左右焦點，如圖，連接，則四邊形為矩形，則可得，，所以，又因為，所以，得，所以.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵是正確利用焦點三角形的性質(zhì)列出關(guān)于的齊次方程式，即可求出離心率.10．橢圓上一點到左焦點的距離是2，是的中點，是坐標原點，則的值為A．4 B．8 C．3 D．2【答案】A【詳解】根據(jù)橢圓的定義得，由于中，是的中點，根據(jù)中位線定理得，故選A．11．已知分別為雙曲線的左、右焦點，若在雙曲線右支上存在點，使得點到直線的距離為，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)已知條件可知點到過且平行于漸近線的直線的距離大于，由此可構(gòu)造不等式求得的范圍，根據(jù)可求得結(jié)果.【詳解】由雙曲線方程可知：雙曲線的一條漸近線為，焦點，，過點作該漸近線的平行線，則該直線方程為：，即；若雙曲線右支上存在點，使得點到直線的距離為，則只需點到直線的距離大于，即，，雙曲線離心率，即雙曲線離心率的取值范圍為.故選：B.12．設(shè)雙曲線=1(a＞0，b＞0)的一條漸近線與拋物線y＝x2＋1只有一個公共點，則雙曲線的離心率為A． B．5 C． D．【答案】D【詳解】雙曲線＝1的一條漸近線設(shè)為y＝x，由方程組消去y，得x2－x＋1＝0，由題意知該方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e＝＝＝＝.二、填空題13．若橢圓的焦點在軸上，則的取值范圍為_______．【答案】【分析】根據(jù)題意，列出不等式，即可求解.【詳解】由題意，橢圓的焦點在軸上，可得，解得，所以的取值范圍為.故答案為：.14．雙曲線的一條漸近線為，則_____【答案】4【分析】利用雙曲線漸近線方程即可.【詳解】由題知，且雙曲線的焦點在軸上，所以，因為雙曲線的一條漸近線為，所以，故答案為：4.15．過拋物線焦點且斜率為1的直線與此拋物線相交于兩點，則_______.【答案】8【分析】先根據(jù)拋物線方程求得拋物線的焦點坐標，進而根據(jù)點斜式求得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去，根據(jù)韋達定理求得的值，進而根據(jù)拋物線的定義可知，求得答案.【詳解】拋物線的焦點為，且斜率為1，則直線的方程為，代入拋物線方程得，設(shè)，根據(jù)拋物線的定義可知.故答案為：8.16．如圖，過拋物線的焦點的直線交拋物線于點，交其準線于點，若，且，則為_______．【答案】【分析】分別過A、B作準線的垂線，利用拋物線定義將A、B到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離，結(jié)合已知比例關(guān)系，即可得p值．【詳解】設(shè)A，B在準線上的射影分別為A′，B′，則|BC|＝4|BB′|，且由于|BC|＝4|BB′|，故|AC|＝4|AA′|＝24，從而即故，即p＝，故答案為．【點睛】本題考查拋物線的定義及其應(yīng)用，拋物線的幾何性質(zhì)，過焦點的弦的弦長關(guān)系，轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，屬中檔題．三、解答題17．（1）求焦點在x軸上，長軸長為6，焦距為4的橢圓標準方程；（2）求與雙曲線有公共焦點，且過點的雙曲線標準方程．【答案】橢圓的標準方程為；雙曲線的標準方程為：．【分析】設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)2a，2c所表示的幾何意義求得a，c的值，再根據(jù)橢圓，求得b2的值，進而可得到橢圓的標準方程；先求得雙曲線的焦點，可設(shè)所求雙曲線的方程為，將點代入雙曲線方程，結(jié)合雙曲線，解方程可得a，b，進而可得雙曲線的方程．【詳解】設(shè)橢圓標準方程為，則焦距為4，長軸長為6，，，，橢圓標準方程為；雙曲線雙曲線的焦點為，設(shè)雙曲線的方程為，可得，將點代入雙曲線方程可得，，解得，，即有所求雙曲線的方程為：．【點睛】本題考查了橢圓的簡單性質(zhì)與橢圓標準方程的求法，考查了雙曲線的方程的求法，考查了運算能力；求橢圓或雙曲線的標準方程的一般步驟：先設(shè)出標準方程，再根據(jù)已知條件代入方程求解.18．已知雙曲線中，，虛軸長為.(1)求雙曲線的標準方程；(2)過點，傾斜角為的直線與雙曲線交于、兩點，為坐標原點，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個量的值，可求得雙曲線的標準方程；（2）將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出點、的橫坐標，即可求得的面積.【詳解】（1）解：由已知條件可得，解得，因此，雙曲線的標準方程為.（2）解：由題意可知，直線的方程為，設(shè)點、，聯(lián)立，可得，解得，，因此，.19．如圖，四棱錐中，底面是正方形，，，且，E為中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【分析】（1）由，，即：，又因為，，即：，所以平面.（2）通過建立空間直角坐標系，運用向量法即可求出二面角的正弦值.【詳解】解：（1）∵底面是正方形，，又，，平面，.同理可得，又，平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設(shè)底面正方形的邊長為2，則，，，.設(shè)是平面的法向量，則又，，令，則，得.設(shè)是平面的法向量，則又，，令，是平面的一個法向量，則，∴二面角的正弦值為.【點睛】本題主要考查線面垂直及二面角的知識，屬于中檔題目.20．如圖，斜率為k的直線l與拋物線y2＝4x交于A、B兩點，直線PM垂直平分弦AB，且分別交AB、x軸于M、P，已知P(4，0).(1)求M點的橫坐標；(2)求面積的最大值.【答案】（1）；（2）【分析】（1）設(shè)，，，，，，運用點差法和直線的斜率公式和中點坐標公式，解方程可得所求坐標；（2）設(shè)直線即，與拋物線聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，化簡整理，運用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，可得最大值．【詳解】解：（1）設(shè)，，，，，，則，，，，而，由得，即；（2）設(shè)直線即，與拋物線聯(lián)立得，則，，所以，而到直線的距離為，所以，又由于，所以，令，則且，所以，令，則，當，，當時，，故，即面積的最大值為8．【點睛】本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，直線和拋物線方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．21．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，四邊形EDCF為矩形，DE＝2，平面EDCF⊥平面ABCD．(1)求證：DF∥平面ABE；(2)求平面ABE與平面BEF所成二面角的正弦值；(3)若點P在線段EF上，且直線AP與平面BEF所成角的正弦值為，求線段AP的長．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)6.【分析】（1）由DE⊥CD，及面面垂直的性質(zhì)定理得線面垂直，取D為原點，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立如圖所求的空間直角坐標系，得出各點坐標，求出平面的一個法向量，由法向量與的方向向量垂直，再由不在平面內(nèi)可證線面平行；（2）求出平面ABE與平面BEF的法向量，由法向量的夾角正弦值得二面角正弦值；（3）點P在線段EF上，由，用表示出點坐標，由與平面BEF方向向量的夾角的余弦值的絕對值等于，求出，從而可得線段長．【詳解】(1)證明：∵四邊形EDCF為矩形，∴DE⊥CD，又平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD＝CD，∴ED⊥平面ABCD．取D為原點，DA所在直線為x軸，DE所在直線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(﹣2，4，0)，E(0，0，2)，F(xiàn)(﹣2，4，2)，設(shè)平面ABE的法向量＝(x，y，z)，∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，由，取z＝1，得＝(1，0，1)，又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，則⊥，又∵DF?平面ABE，∴DF∥平面ABE．(2)解：設(shè)平面BEF的法向量＝(a，b，c)，∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)由，取b＝1，可得＝(2，1，4)，∴cos＜＞＝，∴sin＜＞＝，即平面ABE與平面BEF所成二面角的正弦值為．(3)解：∵平面BEF的法向量＝(2，1，4)，點P在線段EF上，設(shè)P(m，n，t)，，則(m，n，t﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，解得P(﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，∵直線AP與平面BEF所成角的正弦值為，∴＝，解得λ＝1，∴線段AP的長為|．【點睛】本題考查用空間向量法證明線面平行，求二面角，直線與平面所成的角，從而求得空間線段長，解題關(guān)鍵是建立空間直角坐標系．考查了空間想象能力與運算求解能力．22．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．【答案】（1）＋＝1；（2）.【分析】(1)由橢圓的離心率,和點P在橢圓上求出橢圓的標準方程;(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx＋1,設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2),聯(lián)立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標表示,利用點在橢圓上和韋達定理求出直線l的斜率.【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.所以橢圓的標準方程為＋＝1.又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.所以橢圓的標準方程為＋＝1.(2)由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設(shè)其方程為y＝kx