應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題庫(kù)

千里之行，始于足下讓知識(shí)帶有溫度。第第2頁(yè)/共2頁(yè)精品文檔推薦應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計(jì)試題庫(kù)一填空題1

設(shè)

6

21,,,XXX是總體

)

1,0(~NX的一個(gè)樣本，

26542321)()(XXXXXXY+++++=。當(dāng)常數(shù)C=1/3時(shí)，CY聽(tīng)從2χ分布。

2設(shè)統(tǒng)計(jì)量)(~ntX，則~2XF(1,n)，

~1

2

XF(n,1)。3設(shè)nXXX,,,21是總體),(~2

σuNX的一個(gè)樣本，當(dāng)常數(shù)C=1/2（n-1）時(shí)，

∑-=+-=1

1

212

)(niiiXXCS為2σ的無(wú)偏估量。

4設(shè))),0(~(2σεε

βαNxy++=，),,2,1)(,(niyxii=為觀測(cè)數(shù)據(jù)。對(duì)于固定的0x，

則0xβα+~()

2

0201,xxNxnLxxαβσ??

?

?-???++?????????

?

。5．設(shè)總體X聽(tīng)從參數(shù)為λ的泊松分布，，2，2，，為樣本，則λ的矩估量值為?λ

＝。

6．設(shè)總體2

12~(,),,,...,nXNXXXμσ為樣本，μ、σ2未知，則σ2的置信度為1－α的

置信區(qū)間為()()()()22

2212211,11nSnSnnααχχ-??--????--????

。7．設(shè)X聽(tīng)從二維正態(tài)),(2∑μN(yùn)分布，其中???

???=∑???

?

??=8221,

10μ

令Y＝XYY??????=??????202221，則Y的分布為()12,02T

NAAAAμ??=???

∑。8．某實(shí)驗(yàn)的極差分析結(jié)果如下表（設(shè)指標(biāo)越大越好）：

表2極差分析數(shù)據(jù)表

則（1）較好工藝條件應(yīng)為22121ABCDE。

（2）方差分析中總離差平方和的自由度為7。

（3）上表中的第三列表示AB?交互作用。

9．為了估量山上積雪融化后對(duì)河流下游澆灌的影響，在山上建立觀測(cè)站，測(cè)得延續(xù)10年的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表（見(jiàn)表3）。

則y關(guān)于x的線性回歸模型為()?2.3561.813~0,1.611y

xNεε=++10設(shè)總體12~(,1),,,...,nXUXXXθθ+為樣本，則θ的矩估量量為1

2

x-，極大似然估量量為max{X1,X2,…,Xn}。

12設(shè)總體X在區(qū)間]1,[+θθ上聽(tīng)從勻稱分布，則θ的矩估量=θ

?12

x-；=)?(θ

D1/12n。

13設(shè)nXX,,1是來(lái)自正態(tài)總體),(2σμN(yùn)的樣本，2

,σμ均未知，05.0=α.

則μ的置信度為α-1的置信區(qū)間為

(

)()221,1xnxnαα??--????

；若μ為已知常數(shù)，則檢驗(yàn)假設(shè),::20222022σσσσθ為待估量參數(shù)）

6設(shè)總體),(~2

σuNX（方差已知），問(wèn)需抽取容量n多大時(shí)，才干使得總體均值μ的置信度為α-1的置信區(qū)間的長(zhǎng)度不大于L解：

(2~,~(0,1)/XXNNn

μσσ

21PUUαα??

∴=?≤?

，其中λ>0是未知參數(shù)，α>0是

已知常數(shù)，12,,...,nXXX為樣本，求λ的矩估量和極大似然估量。（1）矩估量：按照矩估量的定義E（X）=X

()()()1

1xEXx

xdxxdeααλαλα∞

∞

--==-?????

按照分部積分法：

()1

10

x

xxxxde

e

x

e

x

dxexdxα

λλαλαλααα∞

∞∞

∞

=-=-???

帶入（1）式，得：

()()()22

110

2x

x

EXx

e

dxxdeαλαλαα

λ∞∞==-?????

而()()()1

1220

11x

xx

xx

de

e

x

x

e

dxxedxαλλααλαλαα∞

∞

∞

∞

=--=--?

??

代入（2）得()()()()2222200

11xx

EXxedxxdeαλαλααααλλ∞∞==??以此類推，最后可得

()()()(

)22

2022!xEXdexλααααααλλλ∞

--???--?????=-==?=?

（2）極大似然估量：似然函數(shù)()()1

1

1

1,n

i

in

n

xn

n

iiiLfxxe

αλ

λλαλ=--==∑??

=

=?

??

∏

∏

()()()11lnlnln1lnnn

iiiiLnnxxλαλαλ==??

=++-+-???

∑∏

()1

ln1n

iiLnxλλλ=?=-?∑

()1ln11

0niiLnxnxx

λλλλ=?=?==?=?∑

12.設(shè)總體X的概率密度為22()

,0(,)0xxfxθθθθ-?0是未知參數(shù)，

12,,...,nXXX為樣本，求1）θ極大似然估量，2）總體均值μ的極大似然估量。

（1）已知密度函數(shù)：()()

22,0,0,xxfxθθθθ-?0是未知參數(shù)，12,XX為

樣本。

1）證實(shí)：11221227

(),(,)36

TXXTmaxXX=

+=都是θ的無(wú)偏估量。2）比較12,TT的有效性。

()()()()()()()()()()()}

{()}{}{}{}

{}{}{()()()11121212

121300

121221212365

1233660

224

1TETExxExExEx3

3

33343

ExExx,xET434ETTmax,36x0xfxdxdxuxx

FuPUuPxuPxuPxuxuuuPxuPxufxdxdxFuFuuθθθθ

θθθθ

θθθθθθ

??

=+=

+=????????====?=?===≤=≤?≤=≤≤=≤===?=?=DTTxdxdxθ

θθθ??==?????故更有效

()()()2

Dxx-

Exfxdx+∞

-∞

=

?????

離散方差公式：

14.設(shè)總體X聽(tīng)從參數(shù)為λ的泊松分布,對(duì)于假設(shè)01:0.5,

:2HHλλ==，0H的否決域

為12{3}DXX=+≥，試求此檢驗(yàn)問(wèn)題犯第一類錯(cuò)誤（棄真）及犯其次類錯(cuò)誤（取偽）的

概率。

}{}{}

{

}{}{}

{()()()}{

}{}{

}{}{}{}{00120

1

1

212120*********

12PPHHPxx30.5PPHHPx

x32xx214PPxx30.51Pu=≠S的均方：MSMS比：MS因?yàn)榈史駴Q原假設(shè)H0,接受：說(shuō)明在日產(chǎn)量上各臺(tái)機(jī)器之間是有顯著差異的。21設(shè)),(iixY滿足線性模型iiixxYεββ+-+=)(10，),0(~2

σεNi，

ni,2,1=，∑==n

iiXnx1

1，諸iε互相自立。

試求（1）參數(shù)T),(10βββ=的最小二乘估量T)?,?(?10βββ=；（2）1

?,?ββ的方差；（3）2σ的無(wú)偏估量。

()()

()()

()

()()

()()

()

()

012

2

011011

01011010

1010

n

n

101n

2

1

1

1Q,Q,minQ,2022

1,niii

n

n

iiiiin

iiin

iiiii

i

iiii

iYxxQYxxQYxxQYxxxxYxxLxyYYLxx

xxββεββεββββββββββββββ========+-+??

===??=??

??==??????????==?????-===

=

-∑∑∑∑∑∑∑解記要使則使

得：

()()()

()()

()()()()()T

T

012n22

12

2212

22

2,,112n

3E2E22

iieee

LxyYLxxLxyDDDLxyxxLxxLxx

LxxLxxDDYQQnnQnββββσβσσ

βσσσ=??

∴=?

??

??===-=???==

??-

?-??

-∑參數(shù)=的最小二乘估量由定理：=得=即的無(wú)偏估量為

22單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型為

ijijiijinjriNX,...,2,1;,...,2,1),,0(~,2

==+=σεεμ，

nnin

i=∑

=1

。諸jiε互相

自立。（1）試導(dǎo)出檢驗(yàn)假設(shè)rrHHμμμμμμ,...,,::211210?===中至少由兩個(gè)不相等的統(tǒng)計(jì)量。

（2）求2

σ的一個(gè)無(wú)偏估量量。（3）設(shè)μμμμ====r21，∑==i

njj

ii

iX

nX1

1

，求常數(shù)C使統(tǒng)計(jì)量∑=-=r

iiXC1

||?μσ

為σ的無(wú)偏估量.

23車間里有5名工人，3臺(tái)不同型號(hào)的機(jī)器生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，現(xiàn)在讓每個(gè)工人輪番在3臺(tái)

機(jī)器上操作，記錄其日產(chǎn)量結(jié)果如下：

試問(wèn)這5位工人技術(shù)之間和不同型號(hào)機(jī)器之間對(duì)產(chǎn)量有無(wú)顯著影響

)

84.3)8,4(,46.4)8,2(,05.0(05.005.0===FFα

()()0123A1B012345B1235

22

22211

222A:0:0,:0:0,116132116132184.4

15118383921613515AijTijijAHi

Hxxabααααββββββ=====≠=====≠=-=++???+-?++???+==?++-?++?∑∑解：雙因數(shù)實(shí)驗(yàn)，不考慮交互作用，記因數(shù)為機(jī)器，因數(shù)B為工人，則a=3,b=5假設(shè)H至少有一個(gè)H至少有一個(gè)j則有：SS()()()2

2222

222110.8

11498349585916132161.07

31584.410.861.0712.53

BeTAB??+==?++++-?++???+==--=--=SSSSS()()()()120.050.0510.0520.05F5.4

A10.825.43.447

1.5662515.2675

B

61.07

4

15.26759.748

1.56625

E12.538

1.56625T84.414

0.052.84.46,4.83.843.4472.84.46,9.7484.83.84

FFFFFFFFα=========方差分析表：

方差來(lái)源平方和自由度均方

值因數(shù)因數(shù)誤差總和對(duì)于給定，有因所0B0A以接受H，否決H，即不同機(jī)器之間對(duì)產(chǎn)量無(wú)顯著影響，而不同工人對(duì)產(chǎn)量有顯著影響

24設(shè)有線性模型

11223344556677

233YabYabYabYabYabYabYabεεεεεεε=++=-+=-+=++=-+=++=-+其中7654321,,,,,,εεεεεεε互相自立且同聽(tīng)從正態(tài)),0(2σN分布，

（1）試求的最小二ba,乘估量量ba?,?；（2）試求baY

?5??+=的概率分布。()()()()

()()()()12345677

2

17

1

7

17

1

7221

1,

1,1,1,1,2,3,3,,20a,20

b

17a,172iiiiiiiiiiiiiiiiiiabxxxxxxxxQababxQababxQababxxxyxyxLxyLxyYbxYbLxxLxxxxε======++==-=-==-==-=--??==?

?????==???-?=-=-==

-∑∑∑∑∑解：令Y其中令Y有

YY由定理可知：

()()()()()()2

22

2

221aNN5512525xx

xx

xxx

nLb

LYabab

xDYDaDbnLσσσσ

=+=+??+?=+=+???

（a,(+)）

（b,）

EEE

25某數(shù)理統(tǒng)計(jì)老師隨機(jī)地選取18名同學(xué)把他們分為3組，每一組各采納一種特別的教學(xué)方

法，期末舉行統(tǒng)考，各組成果如下：

假設(shè)同學(xué)成果聽(tīng)從正態(tài)分布，試問(wèn)：在顯著水平05.0=α下這三種教學(xué)辦法的教學(xué)效果有無(wú)顯著差異哪種教學(xué)效果最好注：70.2)15,2(05.0=F

211

11

2

2

211112222e1380,108114,r3n18

1110811413802134

n181111

5005103701380644.3

765181669.7644r

s

r

s

ijijijijr

s

rsTijijijijATAXXSXXSSSSFA============??=-=-?=???

=?+?+?-?==-=∑∑∑∑∑∑∑∑解：其中，方差分析表：

方差來(lái)源平方和自由度樣本方差值

因素()()0.050.050322.15

.32322.152.894

111.311669.7

15

111.31

2314172,152.72.8942,152.7

FE

TFFFH=

===>=誤差總和查表得：因故否決，即認(rèn)為教學(xué)辦法的教學(xué)效果有顯著差異。乙種教學(xué)辦法效果最好。

三、簡(jiǎn)述題（14分）

1.檢驗(yàn)的顯著性水平及檢驗(yàn)的p值。

小概率大事的值記為α，稱為顯著水平。它是檢驗(yàn)犯第一次錯(cuò)誤的概率（即棄真錯(cuò)誤的概率）檢驗(yàn)的P值是指統(tǒng)計(jì)量落入某個(gè)區(qū)域內(nèi)的概率，這里某個(gè)區(qū)域是個(gè)否決域。2.參數(shù)的點(diǎn)估量的類型、辦法、評(píng)價(jià)辦法。（1）點(diǎn)估量（2）區(qū)間估量

點(diǎn)估量法：a，矩估量法?；舅枷耄阂?yàn)闃悠穪?lái)源于總體，樣品矩在一定程度上反映了總體矩，而且因?yàn)榇髷?shù)定律可知，樣品矩依概率收斂于總體矩。因此，只要總體x的k階原點(diǎn)矩存在，就可以用樣本矩作為相應(yīng)總體矩的估量量，用樣本矩的函數(shù)作為總體矩的函數(shù)的估量量。b，極大似然估量法?；舅枷耄涸O(shè)總體分布的函數(shù)形式已知，但有未知參數(shù)θ,θ可以取無(wú)數(shù)值，有θ的一切可能取值中選一個(gè)使樣品觀測(cè)值浮現(xiàn)概率最大的值作為θ的估量量，記作θ，并稱為θ的極大似然估量值，這叫極大似然估量法。

3.假設(shè)檢驗(yàn)的思想、推理依據(jù)及參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟。先假設(shè)總體具有某種特征，然后再通過(guò)對(duì)樣品的加工，即構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量判斷出假設(shè)的結(jié)論是否合理。假設(shè)檢驗(yàn)是帶有概率性質(zhì)的反證法。

推理依據(jù)：第一，假設(shè)檢驗(yàn)采納的規(guī)律辦法是反證法；其次，合理與否，依據(jù)是小概率大事實(shí)際不行能發(fā)生的原理。參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)的步驟：（1）提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；（2）挑選適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，并確定其分布形式。（3）挑選顯著性水平α，確定其臨界值；（4）作出結(jié)論。

4.方差分析的目的及思想（結(jié)合單因素）。

目的：通過(guò)分析，判定某一因子是否顯著，當(dāng)因子顯著時(shí)，我們可以繪出每一水平下指標(biāo)均值的估量，以便找出最好的水平。方差分析是對(duì)多個(gè)總體均值是否相等這一假設(shè)舉行檢驗(yàn)。思想：檢驗(yàn)1μ=2μ=……γμ是通過(guò)方差的比較來(lái)確定的，即要考慮均值之間的差異，差異產(chǎn)生來(lái)自兩個(gè)方面，一是由因數(shù)中不同水平造成的，稱為系統(tǒng)性差異；二是由隨機(jī)性產(chǎn)生的差異。兩方面的差異用兩個(gè)方差來(lái)計(jì)量，一個(gè)稱水平之間的方差（既包括系統(tǒng)因數(shù)，又包括隨機(jī)性因數(shù)）；一個(gè)稱為水平內(nèi)部方差（僅包括隨機(jī)因數(shù)）。假如不同的水平對(duì)結(jié)果沒(méi)有影響，兩個(gè)方差的比值會(huì)臨近于1；反之，則兩個(gè)方差的比值會(huì)顯著地大于1無(wú)數(shù)，認(rèn)為HO不真，可作出推斷，說(shuō)明不同水平之間存在著顯著性差異。

假如方差分析只對(duì)一個(gè)因數(shù)舉行單因數(shù)方差分析,單因數(shù)方差分析所研究的是在一個(gè)總體標(biāo)準(zhǔn)差皆相等的條件下，解決一個(gè)總體平均數(shù)是否相等的問(wèn)題。5.簡(jiǎn)述正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)中的數(shù)據(jù)分析辦法辦法：極差分析法和方差分析法。極差分析法步驟：（1）定指標(biāo)，確定因數(shù)，選水平（2）選用適當(dāng)?shù)恼槐?，表頭設(shè)計(jì)，確定試驗(yàn)計(jì)劃；（3）嚴(yán)格按要求做試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)結(jié)果；（4）計(jì)算i個(gè)因數(shù)的每個(gè)水平的試驗(yàn)結(jié)果和極差（同一因數(shù)不同水平的差異），其反映了該因數(shù)對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響大小；（5）按級(jí)差大小羅列因數(shù)主次；（6）選取較優(yōu)生產(chǎn)條件（7）舉行試驗(yàn)性實(shí)驗(yàn)，做進(jìn)一步分析。方差分析法：思想：將數(shù)據(jù)的總偏差平方和分解為因數(shù)的偏差平方和與隨機(jī)誤差的平方和之和，用各因數(shù)的偏差平方和與誤差平方和相比，做一下檢驗(yàn)，即可推斷引述的作用是否顯著，這里用方差分析的思想來(lái)處理有正交表支配的多因數(shù)試驗(yàn)的試驗(yàn)結(jié)果，分析各因數(shù)是否存在顯著影響。

6主成分分析的基本思想。

主成分分析是從總體的多個(gè)指標(biāo)中構(gòu)造出很少幾個(gè)互不相關(guān)的綜合指標(biāo)，且使這幾個(gè)綜合指標(biāo)盡可能充分的反映本來(lái)各個(gè)指標(biāo)的信息。即主成分分析是一種把本來(lái)多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)幾個(gè)互不相關(guān)的綜合指標(biāo)的一種統(tǒng)計(jì)辦法。它的目的是力求數(shù)據(jù)信息走失最少的原則下，對(duì)高維變量空間舉行降維處理。即用本來(lái)變量的少數(shù)幾個(gè)線性組合（稱為綜合變量）來(lái)代替原變量，以達(dá)到簡(jiǎn)化數(shù)據(jù)，揭示變量之間關(guān)系和舉行統(tǒng)計(jì)解釋的目的。7、典型相關(guān)分析

答：考慮X的綜合指標(biāo)（X的線性函數(shù)）與y的綜合指標(biāo)之間的相關(guān)性程度來(lái)刻畫(huà)X與Y的相關(guān)性，即把兩組變量的相關(guān)變?yōu)閮蓚€(gè)新變量（線性函數(shù)）之間的相關(guān)來(lái)舉行研究，同時(shí)又盡量保留本來(lái)變量的信息，或者說(shuō)，找X的線性函數(shù)和Y的線性函數(shù)，使這兩個(gè)函數(shù)具有最大的相關(guān)性。稱這種相關(guān)為典型相關(guān)，稱形式的兩個(gè)線性函數(shù)即兩個(gè)新的變量為典型變量，繼而還可以分離找出X與Y的其次對(duì)線性函數(shù)，使其與第一對(duì)典型變量不相關(guān)，而這兩個(gè)線性函數(shù)之間又具有最大的相關(guān)性，如此繼續(xù)舉行下去，直到兩組變量X與Y之間的相關(guān)性被提取完畢為止，這就是典型相關(guān)分析的基本思想。總之，典型相關(guān)分析是揭示兩個(gè)因素“集團(tuán)”之間內(nèi)部聯(lián)系的一種數(shù)學(xué)辦法。8、貝葉斯判別法答：貝葉斯判別是按照先驗(yàn)信息使得誤判所造成的平均損失達(dá)到最小的判別法。假定對(duì)討論對(duì)象已有一定的熟悉，常用先驗(yàn)概率分布來(lái)描述這種熟悉，然后我們?nèi)〉靡粋€(gè)樣本，用樣原來(lái)修正已有的熟悉（先驗(yàn)概率分布）得到后驗(yàn)概率分布，各種統(tǒng)計(jì)判斷通過(guò)后驗(yàn)概率分布來(lái)舉行，將貝葉斯思想用于判別分析就得到貝葉斯分布。9、聚類，分類

答：聚類分析是討論對(duì)樣品或指標(biāo)舉行分類的一種多元統(tǒng)計(jì)辦法，分類是將一個(gè)觀測(cè)對(duì)象指定到某一類（組）。分類問(wèn)題可分為兩種：一是將一些未知類別的個(gè)體正確地歸屬于另外一些已知類中