湖南省長沙市寧鄉(xiāng)縣第一高級中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二下期末達標(biāo)檢測試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)平面向量，則與垂直的向量可以是（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．3．某校有6名志愿者，在放假的第一天去北京世園會的中國館服務(wù)，任務(wù)是組織游客參加“祝福祖國征集留言”、“歡樂世園共繪展板”、“傳遞祝福發(fā)放彩繩”三項活動，其中1人負責(zé)“征集留言”，2人負責(zé)“共繪展板”，3人負責(zé)“發(fā)放彩繩”，則不同的分配方案共有（）A．30種 B．60種 C．120種 D．180種4．已知有窮數(shù)列2，3，，滿足2，3，，，且當(dāng)2，3，，時，若，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是

A． B． C． D．5．若函數(shù)滿足：對任意的，都有，則函數(shù)可能是A． B． C． D．6．已知雙曲線的一條漸近線與軸所形成的銳角為，則雙曲線的離心率為（）A． B． C．2 D．或27．如圖所示是的圖象的一段，它的一個解析式是（）A． B．C． D．8．若的二項展開式各項系數(shù)和為，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的運算結(jié)果為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，若方程有4個不同的實數(shù)根，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在的展開式中，各項系數(shù)與二項式系數(shù)和之比為，則的系數(shù)為（）A．21 B．63 C．189 D．72911．用反證法證明命題“若，則”時，正確的反設(shè)為（）A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x2﹣2x﹣3≤0 D．x2﹣2x﹣3≥012．設(shè),則()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果關(guān)于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______.14．已知從裝有個球（其中個白球，1個黑球）的口袋中取出個球，，，共有種取法，在這種取法中，可以分成兩類：一類是取出的個球全部為白球，另一類是取出1個黑球和個白球，共有種取法，即有等式成立，試根據(jù)上述思想，化簡下列式子：________，15．甲、乙、丙、丁名同學(xué)被隨機地分到三個社區(qū)參加社會實踐，要求每個社區(qū)至少有一名同學(xué)，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是______________．16．要用三根數(shù)據(jù)線將四臺電腦A，B，C，D連接起來以實現(xiàn)資源共享，則不同的連接方案種數(shù)為______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0），F(xiàn)2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=．（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；（2）求點E的坐標(biāo)．18．（12分）某公司訂購了一批樹苗，為了檢測這批樹苗是否合格，從中隨機抽測株樹苗的高度，經(jīng)數(shù)據(jù)處理得到如圖1所示的頻率分布直方圖，其中最高的株樹苗的高度的莖葉圖如圖2所示，以這株樹苗的高度的頻率估計整批樹苗高度的概率.（1）求這批樹苗的高度于米的概率，并求圖中的值；（2）若從這批樹苗中隨機選取株，記為高度在的樹苗數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）若變量滿足且，則稱變量滿足近似于正態(tài)分布的概率分布，如果這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，則認為這批樹苗是合格的，將順利被簽收，否則，公司將拒絕簽收.試問：該批樹苗是否被簽收？19．（12分）在極標(biāo)坐系中，已知圓的圓心，半徑（1）求圓的極坐標(biāo)方程；（2）若，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線交圓于兩點，求弦長的取值范圍.20．（12分）如圖，在直三棱柱中，分別是棱的中點，點在線段上（包括兩個端點）運動．（1）當(dāng)為線段的中點時，①求證：；②求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（2）求直線與平面所成的角的正弦值的取值范圍.21．（12分）[選修4-4：坐標(biāo)系及參數(shù)方程]已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程及曲線上的動點到坐標(biāo)原點的距離的最大值；（2）若曲線與曲線相交于，兩點，且與軸相交于點，求的值.22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（Ⅰ）寫出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程：（Ⅱ）設(shè)點在上，點在上，求的最小值及此時的直角坐標(biāo).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：先由平面向量的加法運算和數(shù)乘運算得到，再利用數(shù)量積為0進行判定．詳解：由題意，得，因為，，，，故選D．點睛：本題考查平面向量的坐標(biāo)運算、平面向量垂直的判定等知識，意在考查學(xué)生的邏輯思維能力和基本計算能力．2、C【解析】分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個不等的實數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個不等的實數(shù)根，f（x）=1有3個不等的實數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個不相等的實數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題；(2)應(yīng)用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．3、B【解析】

從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，即可得出不同的分配方案.【詳解】從6人中選1人負責(zé)“征集留言”，從剩下的人中選2人負責(zé)“共繪展板”，再從剩下的人中選3人負責(zé)“發(fā)放彩繩，則不同的分配方案共有種故選：B【點睛】本題主要考查了分組分配問題，屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】

先選出三個數(shù)確定為，其余三個數(shù)從剩下的7個里面選出來，排列順序沒有特殊要求.【詳解】先確定，相當(dāng)于從10個數(shù)值中選取3個，共有種選法，再從剩余的7個數(shù)值中選出3個作為，共有種選法，所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，故選A.【點睛】本題主要考查利用排列組合的知識確定數(shù)列的個數(shù)，有無順序要求，是選擇排列還是組合的依據(jù).5、A【解析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【詳解】對于，，對．對于，，不對．對于，，不對．對于，，不對，故選A．【點睛】本題考查了函數(shù)的解析式的性質(zhì)以及指數(shù)的運算、對數(shù)的運算、兩角和的正弦公式，意在考查對基本運算與基本公式的掌握與應(yīng)用，以及綜合應(yīng)用所學(xué)知識解答問題的能，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

轉(zhuǎn)化條件得，再利用即可得解.【詳解】由題意可知雙曲線的漸近線為，又漸近線與軸所形成的銳角為，，雙曲線離心率.故選：C.【點睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

根據(jù)圖象的最高點和最低點求出A，根據(jù)周期T求ω，圖象過（），代入求，即可求函數(shù)f（x）的解析式；【詳解】由圖象的最高點，最低點，可得A，周期Tπ，∴．圖象過（），∴，可得：，則解析式為ysin（2）故選D．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握函數(shù)圖象之間的變化關(guān)系．8、C【解析】

分析：利用賦值法求得，再按復(fù)數(shù)的乘方法則計算．詳解：令，得，，∴．故選C．點睛：在二項式的展開式中，求系數(shù)和問題，一般用賦值法，如各項系數(shù)為，二項式系數(shù)和為，兩者不能混淆．9、B【解析】

作函數(shù)的圖像，方程有4個不同的實數(shù)根，從而得到，，，的范圍，代入化簡，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可得到取值范圍。【詳解】作函數(shù)的圖像如下：由圖可知：，，，故；由在單調(diào)遞減，所以的范圍是，即的取值范圍是；故答案選B【點睛】本題考查分段函數(shù)的運用，主要考查函數(shù)單調(diào)性的運用，運用數(shù)形結(jié)合的思想方法是解題的關(guān)鍵。10、C【解析】分析：令得各項系數(shù)和，由已知比值求得指數(shù)，寫出二項展開式通項，再令的指數(shù)為4求得項數(shù)，然后可得系數(shù)．詳解：由題意，解得，∴，令，解得，∴的系數(shù)為．故選C．點睛：本題考查二項式定理，考查二項式的性質(zhì)．在的展開式中二項式系數(shù)和為，而展開式中各項系數(shù)的和是在展開式中令變量值為1可得，二項展開式通項公式為．11、C【解析】

根據(jù)反證法的要求，反設(shè)時條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，從而得到答案.【詳解】命題“若，則”，要用反證法證明，則其反設(shè)需滿足條件不變，結(jié)論設(shè)為相反，所以正確的反設(shè)為，故選C項.【點睛】本題考查利用反證法證明時，反設(shè)應(yīng)如何寫，屬于簡單題.12、C【解析】分析：由題意將替換為，然后和比較即可.詳解：由題意將替換為，據(jù)此可得：.本題選擇C選項.點睛：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法中由k到k+1的計算方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用絕對值三角不等式可求得，根據(jù)不等式解集不為空集可得根式不等式，根據(jù)根式不等式的求法可求得結(jié)果.【詳解】由絕對值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即當(dāng)時，不等式顯然成立；當(dāng)時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)不等式的解集求解參數(shù)范圍的問題，涉及到絕對值三角不等式的應(yīng)用、根式不等式的求解等知識；關(guān)鍵是能夠根據(jù)利用絕對值三角不等式求得函數(shù)的最值，將問題轉(zhuǎn)化為變量與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系問題.14、【解析】

在式子中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數(shù)的和，從裝有球中取出個球的不同取法數(shù)，根據(jù)排列組合公式，易得答案．【詳解】在中，從第一項到最后一項分別表示：從裝有個白球，個黑球的袋子里，取出個球的所有情況取法總數(shù)的和，故從裝有球中取出個球的不同取法數(shù).故答案為：【點睛】本題結(jié)合考查推理和排列組合，處理本題的關(guān)鍵是熟練掌握排列組合公式，明白每一項所表示的含義，再結(jié)合已知條件進行分析，最后給出正確的答案．15、【解析】

可把甲乙看成一個整體，再分到三個社區(qū)，算出對應(yīng)的方法種數(shù)，再由題意算出所有的分配種數(shù)，結(jié)合古典概型公式求解即可【詳解】把甲乙看作一個整體，再與其他兩人分到三個社區(qū)共有種方法，而所有的分配方法有種，則甲、乙兩人被分在同一個社區(qū)的概率是故答案為：【點睛】本題考查排列組合公式的應(yīng)用，古典概型的求法，屬于基礎(chǔ)題16、【解析】

由題目可以聯(lián)想到正方形的四個頂點，放上四臺電腦，正方形的四條邊和它的兩條對角線，六條線中選3條，滿足題意的種數(shù)為：全部方法減去不合題意的方法來解答.【詳解】解：畫一個正方形和它的兩條對角線，在這6條線段中，選3條的選法有種.當(dāng)中，4個直角三角形不是連接方案，故不同的連接方案共有種.故答案為：.【點睛】連線、搭橋、幾何體棱上爬行路程、正方體頂點構(gòu)成四面體等，是同一性質(zhì)問題，一般要用排除法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)由題意分別求得a,b的值即可確定橢圓方程；(2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標(biāo)；解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點E的縱坐標(biāo)，然后代入橢圓方程可得點E的坐標(biāo).【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c.因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1.又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=，因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2.由b2=a2-c2，得b2=3.因此，橢圓C的標(biāo)準方程為.（2）解法一：由（1）知，橢圓C：，a=2，因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標(biāo)為1.將x=1代入圓F2的方程(x-1)2+y2=16，解得y=±4.因為點A在x軸上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2.由，得，解得或.將代入，得，因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：.由，得，解得或.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.將代入，得.因此.解法二：由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1.因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，從而∠BF1E=∠B.因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A.因為AF2⊥x軸，所以EF1⊥x軸.因為F1(-1，0)，由，得.又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以.因此.【點睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力.18、（1）概率為，，，（2）詳見解析（3）將順利被公司簽收【解析】

（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2求得，，，，即可求得答案；（2）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數(shù)量這批樹苗中隨機選取株，相當(dāng)于三次獨立重復(fù)試驗，可得隨機變量，即可求的分布列，進而求得；（3）利用條件，計算出，從而給出結(jié)論.【詳解】（1）由圖2可知，株樣本樹苗中高度高于米的共有株，以樣本的頻率估計總體的概率，可知這批樹苗的高度高于米的概率為，記為樹苗的高度，結(jié)合圖1，圖2可得：，，，組距為，，，.（3）以樣本的頻率估計總體的概率，可得這批樹苗中隨機選取株，高度在的概率為，因為從樹苗數(shù)量這批樹苗中隨機選取株，相當(dāng)于三次獨立重復(fù)試驗，隨機變量，分布列為：012340.00810.07560.26460.41160.2401.（3）由，取，，由（2）可知，又結(jié)合（1）可得，這批樹苗的高度近似于正態(tài)分布的概率分布，應(yīng)該認為這批樹苗是合格的，將順利被公司簽收.【點睛】本題解題關(guān)鍵是掌握頻率直方圖基礎(chǔ)知識和求二項式分布列，及其正態(tài)分布的實際應(yīng)用,考查了分析能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（3）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2（2）[2，2）【解析】

（3）極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)可得C（3，3），則圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化為極坐標(biāo)方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）聯(lián)立直線的參數(shù)方程與圓的直角坐標(biāo)方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．結(jié)合題意和直線參數(shù)的幾何意義討論可得弦長|AB|的取值范圍是[2，2）.【詳解】（3）∵C（，）的直角坐標(biāo)為（3，3），∴圓C的直角坐標(biāo)方程為（x﹣3）2+（y﹣3）2=3．化為極坐標(biāo)方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣3=2.（2）將代入圓C的直角坐標(biāo)方程（x﹣3）2+（y﹣3）2=3，得（3+tcosα）2+（3+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣3=2．∴t3+t2=﹣2（cosα+sinα），t3?t2=﹣3．∴|AB|=|t3﹣t2|==2．∵α∈[2，），∴2α∈[2，），∴2≤|AB|＜2．即弦長|AB|的取值范圍是[2，2）.【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）①見解析；②；（2）.【解析】

（1）以為正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由向量法證明線線垂直和計算二面角．（2）設(shè)（），設(shè)直線與平面所成的角為由向量坐標(biāo)法求得設(shè)設(shè)由導(dǎo)數(shù)法求得