北師大版-必修二-解析幾何初步-§1直線與直線的方程-1.2直線的方程“十市聯(lián)賽”一等獎

《直線與方程》教學(xué)設(shè)計一、教材的地位與作用在平面幾何和立體幾何里，我們直接依據(jù)幾何圖形中點、直線、平面的關(guān)系研究幾何圖形的性質(zhì)。現(xiàn)在采用另外一種研究方法：坐標(biāo)法。坐標(biāo)法是在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題，通過代數(shù)運算研究幾何圖形性質(zhì)的方法，它是解析幾何中最基本的研究方法。初步形成用代數(shù)方法解決幾何問題的能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想。解析幾何是17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家笛卡兒和費馬創(chuàng)立的。解析幾何的創(chuàng)立是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個里程碑，數(shù)學(xué)從此由常量數(shù)學(xué)進入變量數(shù)學(xué)時期。解析幾何由此成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一。二、教材分析（一）新課程知識結(jié)構(gòu)：從幾何直觀到代數(shù)表示（建立直線的方程）從代數(shù)表示到幾何直觀（通過方程研究幾何性質(zhì)和度量）1．“直線的傾斜角與斜率”首先探索平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素－－點和傾斜角。給出斜率的概念，并用代數(shù)方法表示它，導(dǎo)出用兩點坐標(biāo)表示斜率的公式，并根據(jù)直線的斜率判斷兩條直線平行與垂直。2．“直線的方程”首先在直角坐標(biāo)系中建立直線的方程，然后介紹直線方程的點斜式、兩點式、一般式，最后得出結(jié)論：在平面直角坐標(biāo)系中，一切直線的方程都是二元一次方程，二元一次方程表示直線。3．“直線的交點坐標(biāo)與距離公式”通過直線的方程研究兩條直線的交點，并由此判斷兩條直線的位置關(guān)系：相交、平行及重合。通過點的坐標(biāo)和直線的方程，導(dǎo)出兩點間的距離、點到直線的距離以及兩平行線間的距離。4．“探究與發(fā)現(xiàn)魔術(shù)師的地毯”是一個非常有趣的素材，主要是讓學(xué)生運用直線斜率的知識，看兩條直線是否共線，進而探究的地毯到什么地方去了？（二）新課程與傳統(tǒng)教材（舊《大綱》）的比較1．舊《大綱》與新《課程標(biāo)準(zhǔn)》的比較；舊《大綱》新《課程標(biāo)準(zhǔn)》說明=1\*GB3①理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握由一點和斜率導(dǎo)出直線方程的方法。=2\*GB3②掌握直線方程的點斜式、兩點式和直線方程的一般式并能根據(jù)條件熟練的求出直線的方程。=3\*GB3③簡單介紹了斜截式、截距式。=4\*GB3④掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線的交角、兩條直線的交點和點到直線的距離。=5\*GB3⑤能夠根據(jù)兩條直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系。①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式。③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標(biāo)。⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離。1．總體要求提高，線性規(guī)劃問題不是刪去，而是移到《數(shù)學(xué)5》“不等式”部分。2．更注重過程教學(xué)，加大了師生共同探索知識的力度。如：①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素；②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程。=3\*GB3③根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式)，體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。2．課時安排上的差異舊《大綱》課時安排大約10課時，新《課程標(biāo)準(zhǔn)》課時安排大約9課時，如果增加1課時以復(fù)習(xí)初中的相關(guān)知識，兩者基本相當(dāng)。新舊教材內(nèi)容和結(jié)構(gòu)上的差異：①舊教材為了建立直線的方程，首先引入了直線的傾斜角與斜率的概念，導(dǎo)出經(jīng)過兩點的直線的斜率公式。然后，利用經(jīng)過兩點的斜率公式，推導(dǎo)出直線方程的點斜式；利用點斜式，推導(dǎo)出直線方程的兩點式；作為以上兩種直線方程的特殊形式，介紹了直線方程的斜截式、截距式。指出了在平面直角坐標(biāo)系中直線與二元一次方程的關(guān)系，介紹了直線方程的一般式。接著，研究了判定平面直角坐標(biāo)系中兩條直線平行與垂直的充要條件、兩條直線的夾角與交點、點到直線的距離等問題；新課程首先在平面直角坐標(biāo)系中，介紹直線的傾斜角與斜率的概念，通過直線的斜率，研究直線間的位置關(guān)系：平行與垂直，然后建立直線的方程：點斜式、斜截式、兩點式、截距式；以及兩條直線的交點坐標(biāo)、點到直線的距離等。新教材自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的思想：在圖形的研究過程中，注意代數(shù)方法的使用；在代數(shù)方法的使用過程中，加強與圖形的聯(lián)系。

②內(nèi)容安排上的微調(diào)：兩直線的夾角、曲線與方程的關(guān)系沒有在此出現(xiàn)。兩條直線平行與垂直的判定放在了直線方程之前(學(xué)斜率之后的趁熱打鐵)。根據(jù)教學(xué)需要,開設(shè)了”思考”、“觀察”、“探究”等欄目，把學(xué)生當(dāng)作學(xué)習(xí)的主體來編排內(nèi)容，符合新課程理念。穿插了“閱讀與思考”等內(nèi)容。增加了教材旁注。（三）教材的重點與難點1．重點：（1）斜率的概念，用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，過兩點的直線斜率的計算公式。（2）根據(jù)斜率判定兩條直線平行與垂直。（3）直線的點斜式方程和一般式方程。（4）兩條直線的交點坐標(biāo)。2．難點（1）直線的斜率與它的傾斜角之間的關(guān)系，根據(jù)斜率判定兩條直線互相垂直。（2）直線方程的應(yīng)用。（3）點到直線的距離公式的推導(dǎo)。三、學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的知識突出問題初中階段1．函數(shù)及其圖象。已經(jīng)學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)；2．銳角三角函數(shù)，解直角三角形；3．三角形的相似和全等。1．雖然在立體幾何中出現(xiàn)過兩個平面所成的二面角α的范圍是：0o≤α≤180o，但未曾求過大于90o的二面角，課本上未曾出現(xiàn)過這種例題或習(xí)題；2．初中階段也未曾出現(xiàn)過求鈍角的正切值和0o的正切值，誘導(dǎo)公式等內(nèi)容未學(xué)。因此教師在教學(xué)時應(yīng)該特別注意。高中階段1．集合與基本初等函數(shù)；2．立體幾何初步分節(jié)教學(xué)目標(biāo)及建議直線的傾角與斜率1．教學(xué)目標(biāo)（1）理解直線的傾斜角的定義，知道直線的傾斜角的范圍。（2）理解直線的斜率，掌握過兩點的直線的斜率公式。（3）掌握直線的斜率和傾斜角之間的關(guān)系。能由直線的斜率求出直線的傾斜角，、也能由直線的傾斜角求出直線的斜率（斜率存在的條件下）。（4）使學(xué)生初步感受直線的方向與直線的斜率之間的對應(yīng)關(guān)系，從而體會到要研究直線的方向的變化規(guī)律，只要研究直線的斜率的變化規(guī)律。2．教學(xué)建議（1）本章開始增加1課時，以復(fù)習(xí)初中的相關(guān)知識，本章的章頭頁看似只有一頁，但它敘述了本章的靈魂，故建議可單獨上一節(jié)，以初中的函數(shù)為依托，首先講解方程與函數(shù)的關(guān)系，滲透函數(shù)與方程思想；其次重點復(fù)習(xí)初中階段一次函數(shù)的有關(guān)知識。（2）直線的傾斜角和直線的斜率一樣，也是刻畫直線傾斜程度的量，直線的傾斜角側(cè)重于直觀形象，直線的斜率則側(cè)重于數(shù)量關(guān)系。讓學(xué)生切實理解斜率和傾角都是反映“直線傾斜程度”這一概念的本質(zhì)特征。（3）在處理直線的斜率和傾斜角的關(guān)系時，可以通過計算機演示或計算器操作，使學(xué)生觀察并體會直線的傾斜角變化時，直線斜率的變化規(guī)律。（4）傳統(tǒng)的解析幾何內(nèi)容安排在三角函數(shù)后面，現(xiàn)在安排在三角函數(shù)之前。而書中很多例題和練習(xí)都要用到相關(guān)三角函數(shù)知識：如P86第一題要求120度與135度的正切，P89第一題問－1是多少度的正切值，造成學(xué)生的困擾，因此一些試點的省市將必修四提前學(xué)，以滿足此刻的需要。但根據(jù)我們的實際情況，在教學(xué)時只能給出提示，讓學(xué)生作為結(jié)論直接使用，不給出證明。例如，，，這些結(jié)論放在以后補證，不需要在此糾纏不清。兩條直線平行與垂直的判定1．教學(xué)目標(biāo)（1）掌握用斜率判定兩條直線平行和垂直的方法，感受用代數(shù)方法研究幾何圖形性質(zhì)的思想；（2）通過分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方的運用，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、辨證性2．教學(xué)建議（1）平行與垂直是幾何概念，直線的斜率是代數(shù)化概念，計算公式是又一次代數(shù)化，它一次一次地重復(fù)解析幾何的本質(zhì)。通過垂直和平行問題的解決，要讓學(xué)生切實感受用代數(shù)方法解決幾何問題的優(yōu)越性。（2）分類討論也是這一節(jié)要重點滲透的數(shù)學(xué)思想，對兩條直線平行和垂直的判定問題，要通過引導(dǎo)學(xué)生對斜率存在性的討論，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)密性。直線的方程教學(xué)目標(biāo)（1）掌握直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式，能根據(jù)條件熟練地求出直線的方程。（2）能正確理解直線方程一般式的含義。（3）能將直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式等四種形式化為一般式，知道這四種形式的直線方程的局限性。（4）使學(xué)生感受到直線的方程和直線之間的對應(yīng)關(guān)系，知道要說明點在直線上，只要說明點的坐標(biāo)滿足直線的方程，反之也成立。2．教學(xué)建議（1）將直線方程作為一個核心概念處理．教學(xué)中要重視學(xué)生的自主探索和歸納能力的培養(yǎng).要充分利用“思考”“探究”引導(dǎo)學(xué)生從斜率公式推導(dǎo)出點斜式，進而得到其它各種形式.再引導(dǎo)學(xué)生去觀察特點，適用條件，記憶方法。（2）要讓學(xué)生明確方程要作為直線方程的兩個條件。（3）在講直線方程的斜截式時應(yīng)該與一次函數(shù)進行比較,加深方程與函數(shù)概念的理解。（4）由“數(shù)”到“形”歷來也是學(xué)生的一個薄弱，本節(jié)畫圖及其以后解析幾何中的畫圖問題要加強教學(xué)。五、教學(xué)方法與策略1．注意把握教學(xué)要求教學(xué)中，注意控制教學(xué)的難度，避免進行綜合性強、難度較大的數(shù)學(xué)題的訓(xùn)練，避免在解題技巧上做文章。但是也不能僅僅停留在書本的教學(xué)上，教參在P59、P71、P77、P82-84、P93-96都配備了大量不同類型的例題，從這里也可以看出編者對本章的重視程度，因此，我覺得可以在大綱規(guī)定的10課時的基礎(chǔ)上增加2節(jié)習(xí)題課，也為后面圓的方程的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。2．關(guān)注重要數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)重要的數(shù)學(xué)思想方法不怕重復(fù)。《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》要求“坐標(biāo)法”應(yīng)貫穿平面解析幾何教學(xué)的始終，幫助學(xué)生不斷地體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法。在教學(xué)中應(yīng)自始至終強化這一思想方法，這是解析幾何的特點。教學(xué)中注意“數(shù)”與“形”的結(jié)合，在通過代數(shù)方法研究幾何對象的位置關(guān)系以后，還可以畫出其圖形，驗證代數(shù)結(jié)果；同時，通過觀察幾何圖形得到的數(shù)學(xué)結(jié)論，對結(jié)論進行代數(shù)證明，即用解析方法解決某些代數(shù)問題，不應(yīng)割斷它們之間的聯(lián)系，只強調(diào)“形”到“數(shù)”的方面而忽視“數(shù)”到“形”的方面?！按鷶?shù)運算”“代數(shù)運算”“翻譯”“翻譯”幾何問題代數(shù)問題代數(shù)問題的解幾何問題的解點坐標(biāo)曲線方程幾何特征數(shù)式和數(shù)量關(guān)系3．關(guān)注學(xué)生的動手操作和主動參與學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變是課程改革的重要目標(biāo)之一。教學(xué)中，要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，以問題引導(dǎo)學(xué)習(xí)，注意提供充分的數(shù)學(xué)活動和交流的機會，促使他們在自主探索的過程中獲得知識、增強技能、掌握基本的數(shù)學(xué)思想方法。“觀察”、“思考”、“探究”等欄目設(shè)置目的之一就是讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動中來。充分利用教科書邊空不失時機提出的一些有一定思考價值的問題，例如，“直線的點斜式方程”中的邊空“截距是距離嗎？”、“直線的一般式方程”中邊空“分類討論時，常按和分類，這樣可以做到不重不漏?！钡鹊龋囵B(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維。4．關(guān)注結(jié)論形成的過程，通過思考、探究，得出結(jié)論本章在編寫時注意呈現(xiàn)方式，不直接給出結(jié)論，讓學(xué)生證明。而是把結(jié)論放在學(xué)生經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)活動之后，通過思考、探究，得出結(jié)論。比如，用“坐標(biāo)法”解決問題的“三部曲”就是通過解決一系列問題后得出。在例題的呈現(xiàn)時，增加了分析的過程，重點分析解題的思路。5．關(guān)注書本中例題的示范和導(dǎo)向作用應(yīng)該說書本中的例題個個都是精辟的，題的經(jīng)典與否并不在于其有多難.書本中的例題都載有編者的深刻用意.因此，對書本中的例題應(yīng)該深入思考，發(fā)掘內(nèi)涵，體會編者的意圖