第七章 相似理論與量綱分析

第七章相似理論與量綱分析第1頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三重點：相似概念、相似準則數(shù)、相似準則、自模雷諾數(shù)、Π定理、因次分析法、相似換算難點：因次分析法

流體力學(xué)研究問題的方法有解析、數(shù)值和實驗的方法。本章介紹實驗研究方法的理論基礎(chǔ)知識。實驗研究既是理論分析的依據(jù)（通過探索性的實驗，尋找未知的流動規(guī)律），同時也是檢驗理論的準繩（理論計算、數(shù)值計算的結(jié)果還要實驗檢驗），具有很重要的作用。第七章相似理論與量綱分析2第2頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

常用的實驗設(shè)備介紹、實驗研究項目介紹。拖曳水池、風(fēng)波水池、水槽、水洞、風(fēng)洞等。船模試驗、氣泡減阻、粉塵試驗、蹼試驗、三峽大壩和南水北調(diào)包含多方面的研究等等。

那么試驗如何設(shè)計安排、試驗測量哪些數(shù)據(jù)、試驗結(jié)果如何換算到原型，這是本章要介紹的基礎(chǔ)知識。

模型實驗通常指用簡化的可控制的方法再現(xiàn)實際發(fā)生的物理現(xiàn)象的實驗。實際發(fā)生的現(xiàn)象被稱為原型現(xiàn)象，模型實驗的側(cè)重點是再現(xiàn)流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)；只有保證模型實驗和原型中流動現(xiàn)象的物理本質(zhì)相同，模型實驗才是有價值的。第七章相似理論與量綱分析3第3頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三§7-1相似概念

為使模型流動能表現(xiàn)出實型流動的主要現(xiàn)象和特性，并從模型流動上預(yù)測出實型流動的結(jié)果，就必須使兩者在流動上相似，即兩個互為相似流動的對應(yīng)部位上對應(yīng)物理量都有一定的比例關(guān)系。具體來說，兩相似流動應(yīng)幾何相似、運動相似、動力相似。第七章相似理論與量綱分析4兩流動相似應(yīng)滿足的條件第4頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三一、幾何相似（空間相似）geometrysimilarity

定義：兩流動的對應(yīng)邊長成同一比例，對應(yīng)角相等。引入尺度比例系數(shù)

進而，面積比例系數(shù)體積比例系數(shù)模型流動用下標m表示model原型流動用下標p表示prototype對應(yīng)角相等：第七章相似理論與量綱分析5第5頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

定義：在幾何相似的系統(tǒng)中，對應(yīng)的瞬時，兩流動的對應(yīng)點上的流體速度矢成同一比例，方向相同。引入速度比例系數(shù)由于因此運動相似建立在幾何相似基礎(chǔ)上，那么運動相似只需確定時間比例系數(shù)就可以了。運動相似也就被稱之為時間相似。二、運動相似（時間相似）kinematicssimilarity對應(yīng)角相等：第七章相似理論與量綱分析6第6頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

定義：在運動相似的系統(tǒng)中，對應(yīng)的瞬時，兩流動的對應(yīng)部位上同名力矢成同一比例(大小成同一比例，方向相同)。

引入力比例系數(shù)也可寫成力學(xué)物理量的比例系數(shù)可以表示為密度、尺度、速度比例系數(shù)的不同組合形式，如：力矩M壓強p功率N動力粘度對應(yīng)角相等：三、動力相似（受力相似）dynamicsimilarity第七章相似理論與量綱分析7第7頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

綜上所述，要使模型流動和原型流動相似，需要兩者在時空相似的條件下受力相似。動力相似（受力相似）用相似準則（相似準數(shù)）的形式來表示，即：要使模型流動和原型流動動力相似，需要這兩個流動在時空相似的條件下各相似準則都相等。第七章相似理論與量綱分析8第8頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三§7-2相似準則Re

數(shù)(雷諾數(shù))

低雷諾數(shù)粘性流動平板邊界層外流速度距前緣距離鈍體繞流

來流速度截面寬度圓管流動

平均流速管直徑

V

l區(qū)分粘性流動層流與湍流態(tài)邊界層外無粘流邊界層內(nèi)以為界區(qū)分層流與湍流態(tài)一、相似準則數(shù)表示慣性力和粘性力之比第七章相似理論與量綱分析9第9頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三Fr

數(shù)(弗魯?shù)聰?shù))

明渠流

平均流速水深水面船舶

船舶速度船長

V

l

Fr數(shù)是描述具有自由液面的液體流動時最重要的無量綱參數(shù)。如水面船舶的運動和明渠流中的水流。表示慣性力和重力之比，反映了流體流動中重力所起的影響程度。第七章相似理論與量綱分析10第10頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三Eu數(shù)(歐拉數(shù))

表示壓力和慣性力的比值。p可以是某一點的特征壓強，也可以是兩點的壓強差；V為特征速度，ρ為流體密度。在描述壓強差時，Eu數(shù)常稱為壓強系數(shù)當(dāng)在液體流動中局部壓強低于當(dāng)?shù)卣羝麎簭妏v時，Eu數(shù)又稱為空泡數(shù)或空蝕系數(shù)第七章相似理論與量綱分析11第11頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三4．St數(shù)（斯特哈爾數(shù)）

l為特征長度，V為特征速度，t為特征時間。表示時變慣性力和位變慣性力之比，反映了流體運動隨時間變化的情況。5．Ma數(shù)（馬赫數(shù)）

V為特征速度，c為當(dāng)?shù)芈曀佟１硎緩椥粤蛻T性力之比，c為當(dāng)?shù)芈曀?，反映了流動的壓縮程度。第七章相似理論與量綱分析12第12頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三粘性力相似重力相似壓力相似慣性力相似壓縮性相似二、相似準則

綜上所述，欲使兩個流動相似必須達到動力相似。動力相似可以用相似準則表示，即若原型和模型流動動力相似，各同名相似準數(shù)均相等。第七章相似理論與量綱分析13第13頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三三、相似準則的幾點說明

1.

尋求的是主要動力的相似。如果相似準則全滿足則稱為完全的動力相似。但是事實上，要使兩者達到完全的動力相似，實際上辦不到。不是所有的相似準數(shù)之間都是相容的，滿足了甲，不一定就能滿足乙。如果所有的相似準數(shù)都相等，意味著各比例系數(shù)均等于1，這實際上意味著模型流動和原型流動各對應(yīng)參數(shù)均相等，模型流動和原型流動就成為了相等流動。對于具體的流動，作用于流體上的力不可能同時起主導(dǎo)作用，并非所有的相似準則同等重要。因此，我們抓主要因素（力、相似準則），忽略次要因素（力、相似準則）。第七章相似理論與量綱分析14第14頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三如：

a.Re數(shù)：水下潛艇運動、大氣中的物體運動、管道流動

b.Fr數(shù)：自由面的水流、具有動邊界的自由射流。波浪運動、水面船舶運動、孔口管嘴出流

c.Eu數(shù)：水下潛艇運動、大氣中的物體運動、管道流動（對于Eu數(shù)而言，在其他相似準則相等時，Eu數(shù)同時可以滿足）d.St數(shù)：定常流動，不需考慮。

e.Ma數(shù)：高速流動。高音速飛機飛行、火箭、宇宙飛船。不可壓縮流動，不必考慮。思考：重力場中，粘性流體不可壓縮、定常流動的相似準則。第七章相似理論與量綱分析15第15頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

2.Re數(shù)和Fr數(shù)相似準則不可能同時成立。

要Fr數(shù)相等，模型縮小后，試驗流速應(yīng)減?。欢猂e數(shù)相等，則縮小模型時，要求試驗流速增大。

如：在水槽中作船模試驗：設(shè)lp=100lm，求拖車速度（船模速度）。滿足重力相似：滿足粘性力相似：書中例9.2講了如何解決這個問題。第七章相似理論與量綱分析16第16頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三為保證兩數(shù)同時相等，應(yīng)有

由Fr數(shù)相等

由Re數(shù)相等設(shè)Cl

=0.1,νp=0.1cm2/s(空氣)，應(yīng)有νm=0.00032cm2/s。無法找到運動粘度系數(shù)如此低的實驗流體來實現(xiàn)完全相似。(可以采用不同種類的流體做實驗)造船業(yè)上的慣常方法是：保證Fr數(shù)為主作模型實驗，然后根據(jù)經(jīng)驗對粘性阻力影響作修正處理，稱為近似相似。普遍而言：第七章相似理論與量綱分析17第17頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三

3.

自模Re數(shù)對Re數(shù)相似準則，實際流動的Re數(shù)往往很大，以至于模型試驗不能達到。如：潛艇試驗：lp=78m，潛水航速Vp=10節(jié)=5.108m/s，比例尺lp:lm=65。在風(fēng)洞中做試驗，確定風(fēng)速（艇模速度）。滿足粘性力相似：目前不可壓縮風(fēng)洞速度最高達100m/s，不能達到。第七章相似理論與量綱分析18第18頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三計算實際流動的Re數(shù)：當(dāng)Re數(shù)很大時，實驗出現(xiàn)Re自模規(guī)律：即模型實驗的Re數(shù)不必達到與實際流動相等，只要達到一定Re數(shù)——自模Re數(shù)（小的），就可以滿足粘性力相似的要求。這一現(xiàn)象有利于做實驗。不同的實驗，自模Re數(shù)不同，由實驗確定，一般應(yīng)大于104～105

。對于上述的潛艇實驗，當(dāng)Re=3*106時，已達粘性相似。此時，實驗風(fēng)速為：第七章相似理論與量綱分析19第19頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三第七章相似理論與量綱分析20管道沿程損失系數(shù)自模現(xiàn)象：第20頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三§7-3量綱分析法

量綱分析法主要用于分析物理現(xiàn)象中的未知規(guī)律，通過對有關(guān)的物理量作量綱冪次分析，將它們組合成無量綱形式的組合量，用無量綱參數(shù)之間的關(guān)系代替有量綱的物理量之間的關(guān)系，揭示物理量之間在量綱上的內(nèi)在聯(lián)系，降低變量數(shù)目，用于指導(dǎo)理論分析和實驗研究。提議用量綱分析的是瑞利(L.Reyleigh,1877),奠定理論基礎(chǔ)的是布金漢(E.Buckingham,1914)第七章相似理論與量綱分析21第21頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三用[]表示物理量的量綱，用（）表示物理量的單位一、量綱分析的基本概念1.量綱是物理量的單位種類，又稱因次，如長度、寬度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同單位來度量，但它們屬于同一單位，即屬于同一單位量綱（長度量綱），用L表示。2.基本量綱導(dǎo)出量綱基本量綱是具有獨立性的量綱，在流體力學(xué)領(lǐng)域中有三個基本量綱：長度量綱L、時間量綱T、質(zhì)量量綱M導(dǎo)出量綱由基本量綱組合表示，如:加速度的量綱：[a]=LT-2

力的量綱：[F]=[ma]=MLT-2任何物理量B的量綱可寫成：[B]=MaLbTc第七章相似理論與量綱分析22第22頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三3.基本量導(dǎo)出量一個物理問題中諸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（導(dǎo)出量），后者可由前者通過某種關(guān)系到除，前者互為獨立的物理量。基本量個數(shù)取基本量綱個數(shù)，所取定的基本量必須包括三個基本量綱在內(nèi)，這就是選取基本量的原則。如、v、l可以構(gòu)成一組基本量，包含了L、M、T這三個基本量綱，而a、v、l就不能構(gòu)成基本量，因為不包含基本量綱M。第七章相似理論與量綱分析23第23頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三4.無量綱數(shù)dimensionlessparameter(number)指該物理量的量綱為1，用L0M0T0表示，實際是一個數(shù)，但與單純的數(shù)不一樣，它是幾個物理量組合而成的綜合物理量，如前面講過的相似準數(shù):第七章相似理論與量綱分析24第24頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三量綱齊次性原理又被稱為量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理，指一個物理現(xiàn)象或一個物理過程用一個物理方程表示時，方程中每項的量綱應(yīng)該是和諧的、一致的、齊次的。一個正確的物理方程，式中的每項的量綱應(yīng)該一樣，以伯努利方程為例

方程左邊各項的量綱從左到右依次為：二、量綱齊次性原理第七章相似理論與量綱分析25第25頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三三、布金漢（Buckingham）定理對于某個物理現(xiàn)象或過程，如果存在有

n個變量互為函數(shù)關(guān)系，

f(a1,a2,…an)=0而這些變量含有m個基本量綱，可把這

n個變量轉(zhuǎn)換成為有(n-m)=i

個無量綱量的函數(shù)關(guān)系式

F(1,2,…n-m)=0這樣可以表達出物理方程的明確的量間關(guān)系，并把方程中的變量數(shù)減少了m個，更為概括集中表示物理過程或物理現(xiàn)象的內(nèi)在關(guān)系。第七章相似理論與量綱分析26第26頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例：不可壓縮牛頓粘性流體在內(nèi)壁粗糙的直圓管定常流動，分析壓強降低與相關(guān)物理量的關(guān)系。

解：1.列舉物理量。Δp，V，d，ε，ρ，μ，l，共7個2.選擇基本量：ρ、V、d

四、量綱分析法量綱分析法就是應(yīng)用定理，通過分析所要研究問題中有關(guān)物理量的量綱，利用量綱齊次性原理導(dǎo)出無量綱的數(shù)，建立無量關(guān)系式，無量綱數(shù)包含相似準則數(shù)。下面舉例說明其過程。第七章相似理論與量綱分析27第27頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三解得：a=-1,b=-2,c=0（歐拉數(shù)、壓力系數(shù)，1/2是人為加上去的）

②

2=ρabbccμ

M0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

c(ML–1T–1)

3.列表達式求解數(shù)①

1=ρaVbdcΔp

M0L0T0=(ML–3)a(LT–1)bLc(ML–1T

–2)第七章相似理論與量綱分析28第28頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三解得：a=b=c=-1

(雷諾數(shù))③

3=ρaVbdcεM0

L

0

T

0=(ML–3)a(LT–1)b

L

cL

解得：a=b=0，c=-1

第七章相似理論與量綱分析29第29頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三（相對粗糙度）④4=ρaVbdcl(同上)

（幾何比數(shù)）4.列數(shù)方程即或第七章相似理論與量綱分析30第30頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三由實驗知道壓力降p與l/d成正比，則上式可改寫為：這就是達西公式，為沿程阻力系數(shù)，表示了等直圓管中流動流體的壓降與沿程阻力系數(shù)、管長、速度水頭成正比，與管徑成反比。從該例題看出，利用定理，可以在僅知與物理過程有關(guān)物理量的情況下，求出表達該物理過程關(guān)系式的基本結(jié)構(gòu)形式。用量綱分析法所歸納出的式子往往還帶有待定的系數(shù)，這個系數(shù)要通過實驗來確定。而量綱分析法求解中已指定如何用實驗來確定這個系數(shù)。因此，量綱分析法也是流體力學(xué)實驗的理論基礎(chǔ)。第七章相似理論與量綱分析31第31頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三運動物體在流體中產(chǎn)生的阻力、升力、力矩和（動力機械的）功率等等的無量綱數(shù)：阻力系數(shù)升力系數(shù)

力矩系數(shù)

動力系數(shù)（D

為動力機械旋轉(zhuǎn)部件的直徑，n

為轉(zhuǎn)速。）

第七章相似理論與量綱分析32第32頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三§7-4相似理論的應(yīng)用根據(jù)相似理論安排實驗和整理實驗數(shù)據(jù)的主要步驟zh：1.用基本方程或量綱分析法導(dǎo)出所研究問題的相似準則數(shù)：基本方程已知，充分利用；未知，量綱分析法，基本量選取要恰當(dāng)。2.在相似的條件下設(shè)計實驗、安排實驗和進行實驗：在幾何相似的條件下，根據(jù)相似準則以及實驗設(shè)備的條件設(shè)計和安排實驗。相似準則的應(yīng)用要考慮主次、自模Re數(shù)現(xiàn)象等等。3.實驗結(jié)果的換h算：實驗過程中要測量量綱分析中無量綱數(shù)中包含的物理量。第七章相似理論與量綱分析33第33頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三模型流動設(shè)計設(shè)計模型流動，要使之成為原型流動的相似流動，原則上要滿足幾何相似、運動相似和主要動力相似。具體設(shè)計時，首先要考慮該流動性質(zhì)選擇決定性相似準數(shù)，此外還要考慮實驗規(guī)模和實驗室的條件以及實驗時所采用的流體是否與原型流動中的流體相同且是否同一溫度等因素。數(shù)據(jù)換算從模型流動實驗中測定的各個數(shù)據(jù)不能直接用到原型流動中去，需要用到數(shù)據(jù)換算。由模型流動中已確定的一些比例系數(shù)以及物理量之間的關(guān)系來確定其他一些比例系數(shù)，這樣，原型流動中所要獲得的數(shù)據(jù)就等于模型流動中的相應(yīng)數(shù)據(jù)除以對應(yīng)的比例系數(shù)。第七章相似理論與量綱分析34第34頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三最后得到風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)該是45m/s。例1有一轎車，高h=1.5m，在公路上行駛，設(shè)計時速v=108km/h，擬通過風(fēng)洞中模型實驗來確定此轎車在公路上以此速行駛時的空氣阻力。已知該風(fēng)洞系低速全尺寸風(fēng)洞(lm/lp=2/3)，并假定風(fēng)洞試驗段內(nèi)氣流溫度與轎車在公路上行駛時的溫度相同，試求：風(fēng)洞實驗時，風(fēng)洞實驗段內(nèi)的氣流速度應(yīng)安排多大？解：首先根據(jù)流動性質(zhì)確定決定性相似準數(shù)，這里選取Re作為決定性相似準數(shù)第七章相似理論與量綱分析35第35頁，共41頁，2023年，2月20日，星期三例2在例1中，通過風(fēng)洞模型實驗，獲得模型轎車在風(fēng)洞實驗段中的風(fēng)速為45m/s時，空氣阻力為1000N，問：此轎車以108km/h的速度在公路上行駛時，所受的空氣阻力有多大？解：在設(shè)計模型時，定下：那么力