離散型隨機(jī)變量及其分布

離散型隨機(jī)變量及其分布第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二一、離散型隨機(jī)變量的概率分布律定義1如果隨機(jī)變量X的所有可能取到的值是有限個或可列無限個，這種隨機(jī)變量X叫做離散型隨機(jī)變量。定義2設(shè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為xk(k=12，…)，X取各個可能值的概率，即事件{X=xk}的概率為P{X=xk}=pkk=1，2，…

（1）稱pk為離散型隨機(jī)變量X的概率分布律，簡稱為分布律或概率分布。分布律有時也用表格的形式來表示：Xx1x2…xn…pkp1p2…pn…第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二例1設(shè)有一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通行，以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)（設(shè)各信號燈的工作是相互獨(dú)立的）。求X的分布律。解設(shè)每盞信號燈禁止汽車通過的概率為p，則X的分布律為：X01234pkpp（1－p）p（1－p）2p（1－p）3（1－p）4或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp,k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4以p＝1/2代入即得分布律為P{X=k}＝（1/2）k＋1k=0,1,2,3P{X=4}＝(1/2)4第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二由分布律的定義易知概率分布列具有以下性質(zhì)：1）pk≥0k=1，2，…

2）反過來，任意一個具有以上兩個性質(zhì)的數(shù)列{pk},都有資格作為某一個隨機(jī)變量的分布律。注：分布律不僅明確地給出了{(lán)X=xk}的概率。而且對于任意的實(shí)數(shù)a<b，事件{a≤X≤b}發(fā)生的概率均可由分布律求出。所以P{a≤X≤b}

更一般地，對于任意集合BIB={k:xk∈B}第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二二、幾種常用的概率分布1、0－1分布(兩點(diǎn)分布)定義3設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，它的分布律是

P{X=k}=pk(1-p)1-k，k=0，1(0<p<1)（2）則稱X服從(0－1)分布或兩點(diǎn)分布。其分布律也可寫成：X01pk1-pp

背景:如果一個隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間只有兩個結(jié)果Ω={e1,e2},則在Ω上我們總能定義一個服從0-1分布的隨機(jī)變量來描述試驗(yàn)結(jié)果.第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二2、二項(xiàng)分布定義4在n重貝努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)事件發(fā)生的概率，則事件發(fā)生的次數(shù)是一個隨機(jī)變量，它的分布律為其中0<p<1,q=1-p，因分布律中的每一項(xiàng)正是二項(xiàng)式展開式中的項(xiàng)，稱隨機(jī)變量服從參數(shù)為p的二項(xiàng)分布，記為X~B(n,p)．當(dāng)n=1時，二項(xiàng)分布就是參數(shù)為p的（0—1）分布．

m＝0，1，…，n（3）容易證明：第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二（3）*二項(xiàng)分布的最可能數(shù)和概率最大值定義5如果二項(xiàng)分布B(n,p)中Pk0＝P{X＝k0}＝Pk{X＝k}＝Pk則稱k0為二項(xiàng)分布b(n,p)的最可能數(shù)，此時Pk0是概率的最大值。定理1ⅰ)如果(n+1)p不是整數(shù)，則k0=[(n+1)p]是二項(xiàng)分布b(n,p)的唯一最可能數(shù)，當(dāng)k≤k0時，概率Pk隨k增大而增大；當(dāng)k≥k0時，它隨k增大而遞減；當(dāng)k＝k0時，Pk達(dá)到最大值。ⅱ)如果k0=(n+1)p是整數(shù)，則k0和k0-1都是b(n,p)的最可能數(shù)；當(dāng)k≤k0-1時，概率Pk隨k增大而遞增；當(dāng)k≥k0時，它隨k增大而遞減；當(dāng)k＝k0和k＝k0-1時，Pk達(dá)到最大值。第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二提示

返回

解

例2設(shè)有一大批產(chǎn)品其次品率為0002今從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽查100件試求所得次品件數(shù)的概率分布律

以X記所抽查的100件產(chǎn)品中次品的件數(shù)則X的可能取值是012

100

X的概率分布律為這是不放回抽樣但因元件總數(shù)很大所抽查的元件數(shù)與元件總數(shù)之比甚小故可當(dāng)作放回抽樣處理即抽查100件產(chǎn)品可看作每次抽查一件的100重貝努里試驗(yàn)第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

解

例3設(shè)某汽車從甲地開往乙地途中有10盞紅綠燈而每盞紅綠燈獨(dú)立地以04的概率禁止汽車通行試求

(1)10盞紅綠燈全都順利通過的概率

(2)該車在途中因紅燈恰停3次的概率

(3)該車在途中第8盞紅綠燈處恰為第4次停車的概率

(1)P1(104)10(06)10(2)

(3)設(shè)A為“前面7盞紅綠燈處恰有3處停車”

B為“第8盞燈處需停車”則所求概率為P3P(AB)P(A)P(B)第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二例4某車間有9臺獨(dú)立工作的車床，在任一時刻用電的概率都是0.3,求:(1)同一時刻用電的車床數(shù)X的概率分布；(2)同一時刻至少有一臺車床用電的概率;(3)同一時刻最多有一臺車床用電的概率.解:(1)把對每臺車床是否用電的觀察看作一次試驗(yàn),對9臺車床是否用電的觀察就是9重貝努里概型,故X~B(9,0.3),其概率分布為第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

定義6

設(shè)隨機(jī)變量X的全部可能取值為非負(fù)整數(shù)，且

P{X=k}

k=0，1，2，…，λ>0，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記為X~P(λ)

歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似引入的.實(shí)際問題中服從泊松分布的隨機(jī)變量也是比較常見的.如:一段時間內(nèi)到達(dá)某公園的游客人數(shù)，一頁書上的印刷錯誤，電話交換臺在一天中收到的呼喚次數(shù),一定容積內(nèi)的細(xì)菌數(shù),放射物質(zhì)發(fā)出的粒子數(shù)等等,都服從泊松分布.3、泊松分布定理2（poissonTH）設(shè)λ>0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=λ，則對于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

例5在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率;(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元，20000元的概率.解

(1)保險(xiǎn)公司一年的總收入為2500*12元=30000元

設(shè)一年中死亡人數(shù)為X,則X~B(2500,0.002),保險(xiǎn)公司要付出2000X元.要使保險(xiǎn)公司虧本，則必須2000X>30000,即X>15第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二例6在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率;(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元，20000元的概率.解(1)即P{保險(xiǎn)公司虧本}=P{X>15}n很大，p很小,我們可以使用近似公式,此時λ=np=5則第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

例5在保險(xiǎn)公司里有2500名同一年齡和同社會階層的人參加了人壽保險(xiǎn)，在一年中每個人死亡的概率為0.002,每個參加保險(xiǎn)的人在1月1日須交12元保險(xiǎn)費(fèi),而在死亡時家屬可從保險(xiǎn)公司里領(lǐng)取2000元賠償金.求:(1)保險(xiǎn)公司虧本的概率;(2)保險(xiǎn)公司獲利分別不少于10000元，20000元的概率.解(2)P{保險(xiǎn)公司獲利不少于10000元}類似得P{保險(xiǎn)公司獲利不少于20000元}第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

例6商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為λ=10的泊松分布。為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？

解：設(shè)商店每月銷售某種商品X件，月底的進(jìn)貨量為n件，由題意X~P（10），則由查表知故n=15第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

4、幾何分布*定義7設(shè)隨機(jī)變量X可能取值是1,2,3，…它的分布律是

P{X=k}=p(1-p)k-1，k=1,2,3,…(0<p<1)則稱X服從參數(shù)為p的幾何分布,記為X~G(p)。

背景:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中首次成功所需試驗(yàn)次數(shù)的概率例7已知患色盲者占0.25%,試求:(1)為發(fā)現(xiàn)一例患色盲者至少要檢查25的概率;(2)為使發(fā)現(xiàn)患色盲者的概率不小于0.9,至少要對多少人的辨色力進(jìn)行檢查?解:設(shè)X為發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則X~G(0.0025),第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二例7已知患色盲者占0.25%,試求:(1)為發(fā)現(xiàn)一例患色盲者至少要檢查25的概率;(2)為使發(fā)現(xiàn)患色盲者的概率不小于0.9,至少要對多少人的辨色力進(jìn)行檢查?解第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二例7已知患色盲者占0.25%,試求:(1)為發(fā)現(xiàn)一例患色盲者至少要檢查25的概率;(2)為使發(fā)現(xiàn)患色盲者的概率不小于0.9,至少要對多少人的辨色力進(jìn)行檢查?解(2)設(shè)至少要對n個人的辨色力進(jìn)行檢查,則∴至少要檢查920人第18頁，共19頁，2023年，2月20日，星期二

解

例8某人進(jìn)行獨(dú)立射擊每次的命中率為0