吳淞中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，則（）A． B． C． D．2．若將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)得到函數(shù)的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)的周期是C．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱 D．函數(shù)在上最大值是13．已知函數(shù)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線，，切點(diǎn)分別為，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在個(gè)數(shù)，，…，使得不等式成立，則的最大值為()A．4 B．5 C．6 D．74．若函數(shù)，則()A．0 B．-1 C． D．15．已知集合,,則下圖中陰影部分所表示的集合為()A． B． C． D．6．展開式中x2的系數(shù)為（）A．15 B．60 C．120 D．2407．已知三角形的面積是，，，則b等于()A．1 B．2或1 C．5或1 D．或18．某班某天上午有五節(jié)課，需安排的科目有語文，數(shù)學(xué)，英語，物理，化學(xué)，其中語文和英語必須連續(xù)安排，數(shù)學(xué)和物理不得連續(xù)安排，則不同的排課方法數(shù)為（）A．60 B．48 C．36 D．249．同學(xué)聚會(huì)時(shí)，某宿舍的4位同學(xué)和班主任老師排隊(duì)合影留念，其中宿舍長必須和班主任相鄰，則5人不同的排法種數(shù)為（）A．48 B．56 C．60 D．12010．一個(gè)隨機(jī)變量的分布列如圖，其中為的一個(gè)內(nèi)角，則的數(shù)學(xué)期望為（）A． B． C． D．11．由數(shù)字0，1，2，3組成的無重復(fù)數(shù)字且能被3整除的非一位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．12 B．20 C．30 D．3112．設(shè)實(shí)數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的解集為__________．14．化簡______.15．已知復(fù)數(shù)，其中是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的實(shí)部為__________.16．已知點(diǎn)，，，則△的面積是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)．（1）求f（x）的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，，△ABC的面積為，求a的值．18．（12分）已知函數(shù)的最大值為4.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的最小值.19．（12分）已知，其前項(xiàng)和為.（1）計(jì)算；（2）猜想的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.20．（12分）1，4，9，16……這些數(shù)可以用圖1中的點(diǎn)陣表示，古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將其稱為正方形數(shù)，記第個(gè)數(shù)為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，，…，，記楊輝三角的前行所有數(shù)之和為.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并加以證明.21．（12分）一個(gè)商場經(jīng)銷某種商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，每位顧客采用的分期付款次數(shù)的分布列為：123450.40.20.20.10.1商場經(jīng)銷一件該商品，采用1期付款，其利潤為200元；采用2期或3期付款，其利潤為250元；采用4期或5期付款，其利潤為300元．表示經(jīng)銷一件該商品的利潤．(1)求購買該商品的3位顧客中，恰有2位采用1期付款的概率；(2)求的分布列及期望．22．（10分）如圖，已知正三棱柱的高為3，底面邊長為，點(diǎn)分別為棱和的中點(diǎn)．（1）求證：直線平面；（2）求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由已知向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求得的坐標(biāo)．【詳解】∵向量（-2，﹣1），（3，2），∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了向量坐標(biāo)的運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】

根據(jù)三角函數(shù)伸縮變換特點(diǎn)可得到解析式；利用整體對應(yīng)的方式可判斷出在上單調(diào)遞增，正確；關(guān)于點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)最小正周期的求解可知錯(cuò)誤；根據(jù)正弦型函數(shù)在區(qū)間內(nèi)值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯(cuò)誤.【詳解】將橫坐標(biāo)縮短到原來的得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增在上單調(diào)遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，關(guān)于點(diǎn)對稱，錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，此時(shí)沒有最大值，錯(cuò)誤.本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到三角函數(shù)的伸縮變換、正弦型函數(shù)周期性、單調(diào)性和對稱性、正弦型函數(shù)在一段區(qū)間內(nèi)的值域的求解；關(guān)鍵是能夠靈活應(yīng)用整體對應(yīng)的方式，通過正弦函數(shù)的圖象來判斷出所求函數(shù)的性質(zhì).3、B【解析】設(shè)，因，故，由題意過點(diǎn)可得；同理可得，因此是方程的兩個(gè)根，則，故．由于在上單調(diào)遞增，且，所以，因此問題轉(zhuǎn)化為對一切正整數(shù)恒成立．又，故，則，由于是正整數(shù)，所以，即的最大值為，應(yīng)選答案B．4、B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入自變量即可求出函數(shù)值.【詳解】因?yàn)?所以，，因?yàn)?，所以，故，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)，屬于中檔題.5、B【解析】分析：根據(jù)韋恩圖可知陰影部分表示的集合為，首先利用偶次根式滿足的條件，求得集合B，根據(jù)集合的運(yùn)算求得結(jié)果即可.詳解：根據(jù)偶次根式有意義，可得，即，解得，即，而題中陰影部分對應(yīng)的集合為，所以，故選B.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)集合的運(yùn)算的問題，在求解的過程中，首先需要明確偶次根式有意義的條件，從而求得集合B，再者應(yīng)用韋恩圖中的陰影部分表示的是，再利用集合的運(yùn)算法則求得結(jié)果.6、B【解析】

∵展開式的通項(xiàng)為，令6-r=2得r=4，∴展開式中x2項(xiàng)為，所以其系數(shù)為60,故選B7、D【解析】

由三角形面積公式，計(jì)算可得的值,即可得B的值,結(jié)合余弦定理計(jì)算可得答案.【詳解】根據(jù)題意:三角形的面積是,即,又由，則則或，若則此時(shí)則；若,則,此時(shí)則；故或.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積公式,考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,難度較易.8、D【解析】

由排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題得：不同的排課方法數(shù)為，得解．【詳解】先將語文和英語捆綁在一起，作為一個(gè)新元素處理，再將此新元素與化學(xué)全排，再在3個(gè)空中選2個(gè)空將數(shù)學(xué)和物理插入即可，即不同的排課方法數(shù)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合中的相鄰問題與不相鄰問題，屬中檔題．9、A【解析】

采用捆綁法，然后全排列【詳解】宿舍長必須和班主任相鄰則有種可能，然后運(yùn)用捆綁法，將其看成一個(gè)整體，然后全排列，故一共有種不同的排法故選【點(diǎn)睛】本題考查了排列中的位置問題，運(yùn)用捆綁法來解答即可，較為基礎(chǔ)10、D【解析】

利用二倍角的余弦公式以及概率之和為1，可得，然后根據(jù)數(shù)學(xué)期望的計(jì)算公式可得結(jié)果.【詳解】由，得，所以或(舍去)則，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查給出分布列，數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，掌握公式，細(xì)心計(jì)算，可得結(jié)果.11、D【解析】

分成兩位數(shù)、三位數(shù)、四位數(shù)三種情況，利用所有數(shù)字之和是的倍數(shù)，計(jì)算出每種情況下的方法數(shù)然后相加，求得所求的方法總數(shù).【詳解】兩位數(shù)：含數(shù)字1，2的數(shù)有個(gè)，或含數(shù)字3，0的數(shù)有1個(gè).三位數(shù)：含數(shù)字0，1，2的數(shù)有個(gè)，含數(shù)字1，2，3有個(gè).四位數(shù)：有個(gè).所以共有個(gè).故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查分類加法計(jì)數(shù)原理，考查一個(gè)數(shù)能被整除的數(shù)字特征，考查簡單的排列組合計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】

對4個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．【詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯(cuò)；當(dāng)0＜c＜1時(shí)，ca＜cb；當(dāng)c＝1時(shí)，ca＝cb；當(dāng)c＞1時(shí)，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯(cuò)；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯(cuò)．，D對；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求出，根據(jù)為偶函數(shù)，即可得出,從而得出，從而判斷在上單調(diào)遞增，且，這樣即可由，得出，從而得出，這樣解不等式即可.【詳解】由題知函數(shù)為偶函數(shù)，則解得，所以，，故即答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè)，一是利用關(guān)系式：奇函數(shù)由恒成立求解，偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.14、【解析】

利用模的性質(zhì)、復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式直接求解即可.【詳解】.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)及計(jì)算公式,考查了復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.15、【解析】

通過分子分母同時(shí)乘以分母的共軛復(fù)數(shù)化簡，從而得到答案.【詳解】由題意復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的實(shí)部為.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，實(shí)部的相關(guān)概念，難度不大.16、【解析】

首先求出的直線方程：，線段的長度；然后由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)到直線的距離，根據(jù)三角形的面積公式即可求解?！驹斀狻恳?yàn)?，由兩點(diǎn)間的距離公式可得，又所以的直線方程為，整理可得：，由點(diǎn)到直線的距離公式，所以△的面積故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面解析幾何中的兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)斜式求直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解析】試題分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算列出解析式，化簡后利用周期公式求出最小正周期；利用正弦函數(shù)的單調(diào)性確定出遞增區(qū)間即可；

（2）由，，根據(jù)解析式求出的度數(shù)，利用三角形面積公式列出關(guān)系式，將b，及已知面積代入求出的值，再利用余弦定理即可求出的值．試題解析：（1）∵，，∴∴令（），∴（）∴的單調(diào)區(qū)間為，（2）由得，，∴又∵為的內(nèi)角，∴，∴，∴∵，，∴，∴∴，∴.【點(diǎn)睛】此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及三角形的面積公式，其中熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．18、（1）；（2）.【解析】【試題分析】(1)利用絕對值不等式,消去,可求得實(shí)數(shù)的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結(jié)合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號，此時(shí)取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”）∴的最小值為4.19、（1）；（2），證明見解析.【解析】

（1）由題可得前4項(xiàng)，依次求和即可得到答案；（2）由（1）得到前四項(xiàng)和的規(guī)律可猜想，由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得到結(jié)論。【詳解】（1）計(jì)算，.（2）猜想.證明：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，猜想成立.②假設(shè)猜想成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，，而，故當(dāng)時(shí)，猜想也成立.由①②可知，對于，猜想都成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納證明方法：（1）驗(yàn)證時(shí)成立；（2）假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，證得也成立；（3）得到證明的結(jié)論．其中在到的推理中必須使用歸納假設(shè)．著重考查了推理與論證能力．20、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析【解析】

（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點(diǎn)知，由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，求出楊輝三角形第行個(gè)數(shù)的和，由此能求出和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由時(shí)，，時(shí)，，證明：時(shí)，時(shí)，可以逐個(gè)驗(yàn)證；證明時(shí)，時(shí)，可以用數(shù)學(xué)歸納法證明．【詳解】（Ⅰ）由正方形數(shù)的特點(diǎn)可知；由二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，楊輝三角第行個(gè)數(shù)的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.證明如下：證法1：當(dāng)時(shí)，已證.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，已證：②假設(shè)時(shí)，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當(dāng)時(shí)，猜想也成立．根據(jù)①②，可知當(dāng)時(shí)，.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，以及數(shù)學(xué)歸納法不等式的證明，其中解答中要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)式定理和數(shù)學(xué)歸納法的合理運(yùn)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題．21、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）每位顧客采用1期付款的概率為，3位顧客采用1期付款的人數(shù)記為，則，（2）分別計(jì)算利潤為200元、250元、300元的概率，再列出分布列和期望；試題解析：（1）；（2）η的可能取值為200元，250元，300元.P（η=200）=P（ξ=1）=0.4，P（η=250）=P（ξ=2）+P（ξ=3）=0.2+0.2=0.4，P（η=300）=1-P（η=200）-P（η=250）=1-0.4-0.4=0.2.η的分布列為：

200

250

300

P

0.4

0.4

0.2

E（η）＝200×0.4+250×0.4+300×0.2=240（元）.考點(diǎn)：1.二項(xiàng)分布；2.分布列與數(shù)學(xué)期望；22、（1）詳見解析；（2）．【解析】

取BC中點(diǎn)F，連接FE，F(xiàn)D，可證平面AFDE，則，求解三角形證明，再由線面垂直的判定可得直線