第二章矩陣運(yùn)算和行列式

第二章矩陣運(yùn)算和行列式第1頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三例1.某廠家向三個(gè)代理商發(fā)送四種產(chǎn)品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算第2頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算例2.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.若aij表示從i市到j(luò)市航線的條數(shù),則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010例3.直線的一般方程A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0A1B1C1A2B2C2系數(shù)矩陣第3頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算3.向量n維行向量:1n矩陣[a1,a2,…,an]n維列向量:n1矩陣

a1a2…an第i分量:ai(i=1,…,n)n階方陣:nn矩陣

2.方陣第4頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算4.兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等時(shí),稱(chēng)它們是同型矩陣.5.若兩個(gè)同型矩陣A=[aij]mn與B=[bij]mn

滿(mǎn)足:對(duì)于任意的1im,1jn,

aij

=bij都成立,則稱(chēng)這兩個(gè)矩陣相等,記為A=B.二.矩陣的線性運(yùn)算1.加法兩個(gè)同型矩陣A=[aij]mn與B=[bij]mn的和C定義為:C=[cij]mn=[aij+bij]mn.第5頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算注:①若矩陣A=(aij)mn的元素都是零,則稱(chēng)之為零矩陣,記為Omn.在不引起混淆的情況下,簡(jiǎn)記為O.②設(shè)矩陣A=(aij)mn,記A=(aij)mn,稱(chēng)之為A的負(fù)矩陣.③設(shè)A,B是同型矩陣,則它們的差定義為

A+(B).記為A

B.即A

B=A+(B).第6頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算2.數(shù)乘設(shè)矩陣A=(aij)mn,數(shù)k與A的乘積定義為

(kaij)mn,記為kA或Ak.注:矩陣加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)

算.即kA=Ak=ka11

ka12…ka1nka21

ka22…ka2n

…………kam1

kam2…kamn第7頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算3.性質(zhì)定理2.1設(shè)A,B,C,O是同型矩陣,k,l是數(shù),則(1)A+B=B+A,(2)(A+B)+C=A+(B+C),(3)A+O=A,(4)A+(A)=O,(5)1A=A,(6)k(lA)=(kl)A,(7)(k+l)A=kA+lA,(8)k(A+B)=kA+kB.第8頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算三.矩陣與矩陣相乘

例4.某廠家向三個(gè)代理商發(fā)送四種產(chǎn)品.A=2050302516201616

B=200180190100120100150160140180150150第9頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算例5.四個(gè)城市間的單向航線如圖所示.若aij表示從i市直達(dá)j市航線的條數(shù),則右圖可用矩陣表示為1423A=(aij)=0111100001001010若bij表示從i市經(jīng)另外一個(gè)城市到j(luò)市航線的條數(shù),則由右圖可得矩陣B=(bij)=21100111100002111234ij其中bij=ai1a1j+ai2a2j+ai3a3j+ai4a4j.第10頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算1.設(shè)A=(aij)ms,B=(bij)sn,則A與B的乘積是一個(gè)mn矩陣C=(cij)mn,其中cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj=aikbkj.k=1s記為C=AB.稱(chēng)AB為“以A左乘B”或“以B右乘A”.a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32=a11

a12

a13a21

a22

a23b11

b12

b21

b22b31

b32如第11頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算2.矩陣乘積的特殊性(1)只有當(dāng)矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù)時(shí),乘積AB才有意義.(2)若A是一個(gè)mn矩陣,與B是一個(gè)nm矩陣,則AB和BA都有意義.但AB是一個(gè)m階方

陣,BA是一個(gè)n階方陣.當(dāng)mn時(shí),AB與

BA談不上相等不相等.即使m=n,AB與BA是同階方陣也未必相.例如:第12頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算1122241

210011122241

21001=0

000336112224=1122

1

212=0

0001122

1

212=3

33

3第13頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算定理2.2設(shè)k是數(shù),矩陣A,B,C使以下各式中一端有意義,則另一端也有意義并且等式成立(1)(AB)C=A(BC),(2)A(B+C)=AB+AC,(A+B)C=AC+BC,(3)(kA)B=k(AB).對(duì)于(1)的證明,我們先來(lái)看一個(gè)具體的例子:a11

a12

a13a21

a22

a23如A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.第14頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算a11b11+a12b21+a13b31

a11b12+a12b22+a13b32a21b11+a22b21+a23b31

a21b12+a22b22+a23b32AB=BC=b11c11+b12c21

b11c12+b12c22

b21c11+b22c21

b21c12+b22c22

b31c11+b32c21

b31c12+b32c22a11

a12

a13a21

a22

a23A=,b11

b12

b21

b22b31

b32B

=,c11

c12

c21

c22C=.我們比較(AB)C和A(BC)的“規(guī)格”以及它們的第一行第一列處的元素.第15頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算一般地,設(shè)A=[aij]mk,B=[bij]ks,C=[cij]sn,AB=U=[uij]ms,BC=V=[vij]kn,則(AB)C=UC與A(BC)=AV都是mn矩陣,且(AB)C=UC的(i,j)元素是它恰好是A(BC)=AV的(i,j)元素.可見(jiàn)(AB)C=A(BC).uiqcqj

q=1s=[(aipbpq

)cqj]q=1sp=1k=(aipbpq

cqj)q=1sp=1k=(

aipbpqcqj)q=1sp=1k=[aip(bpq

cqj)]q=1sp=1k=

aipvpj

p=1k第16頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算

結(jié)合律的妙用之一設(shè)A=BC,其中B=,C=[123],123123246,369則A=我們可以定義A的正整數(shù)冪

(還有“妙用之二”喔~~~!)

A1=A,A2=AA,…,Ak+1=AkA,對(duì)于這里的A,A2005=?當(dāng)然,對(duì)于任意方陣A,都可以像上面這樣去定義A的正整數(shù)冪.而且有如下結(jié)論第17頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl(AB)k=AkBk但即使A與B是同階方陣,也未必成立!注:不能說(shuō)“因?yàn)锳B=BA未必成立,所以(AB)k=AkBk

未必成立”.例如A=0

100,B=1

000,AB=0

000,BA=0

100,AB

BA,但(AB)k=AkBk成立.第18頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算(AB)k=AkBk要說(shuō)明即使A與B是同階方陣,也未必成立,只要舉出一個(gè)反例即可.例如A=1

100,B=1

010,AB=2

000,A2=1

100=A,當(dāng)然這里AB

BAB2=1

010=B,(AB)2=4

000,A2B2=AB=2

000,=1

111.第19頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算補(bǔ)充.

數(shù)學(xué)歸納法

1.第一數(shù)學(xué)歸納法原理:設(shè)P是一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,若①P對(duì)于n=n0成立.②當(dāng)nn0時(shí),由“n=k時(shí)P成立”可推出“n=k+1時(shí)P成立”,則P對(duì)于任意的自然數(shù)nn0成立.第20頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算2.

第二數(shù)學(xué)歸納法原理:設(shè)P為一個(gè)關(guān)于自然數(shù)n的命題,若①P對(duì)于n=n0成立,②由“n0

n

k時(shí)P成立”可推出“n=k+1時(shí)P成立”,則P對(duì)于任意的自然數(shù)nn0成立.第21頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算例6.設(shè)A=cos

sin

sincos,.求證An=cosn

sinn

sinncosn證明:當(dāng)n=1時(shí),結(jié)論顯然成立.假設(shè)結(jié)論對(duì)于n=k成立,即.cosk

sink

sinkcoskAk=cos

sin

sincos則Ak+1=AkAcosk

sink

sinkcosk=第22頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算cos

sin

sincosAk+1=AkAcosk

sink

sinkcosk=因此對(duì)于任意正整數(shù)n,coskcossinksin

cosksinsinkcos

sinkcos+cosksinsinksin+coskcos=cos(k+1)

sin(k+1)

sin(k+1)cos(k+1)=cosn

sinn

sinncosnAn=成立.第23頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算四.矩陣的轉(zhuǎn)置

1.設(shè)矩陣A=a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………am1

am2…amn,AT=a11

a21…am1a12

a22…am2

…………a1n

a2n…amn為A的轉(zhuǎn)置.則稱(chēng)矩陣第24頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算定理2.3矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算滿(mǎn)足如下性質(zhì)(1)(AT)T=A,(2)(A+B)T=AT+BT,(3)(kA)T=kAT,(4)(AB)T=BTAT.五.幾種特殊的矩陣

1.對(duì)稱(chēng)矩陣若矩陣A滿(mǎn)足AT=A,則稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣.矩陣A=[aij]mn為對(duì)稱(chēng)矩陣的充分必要條件是:m=n且aij=aji(i,j=1,2,…,n).第25頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算2.對(duì)角矩陣方陣A=[aij]nn的a11,a22,…,ann稱(chēng)為對(duì)角線元素.若方陣A=[aij]nn除了對(duì)角線元素(可能不是0)以外,其它元素都是0,則稱(chēng)A為對(duì)角矩陣.對(duì)角線元素依次為1,2,…,n的對(duì)角矩陣有時(shí)也記為=diag[1,2,…,n],即=diag[1,2,…,n]=10…002…000…n.第26頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算3.數(shù)量矩陣若對(duì)角矩陣A=[aij]nn的對(duì)角線元素為同一個(gè)數(shù),則稱(chēng)A為數(shù)量矩陣(純量矩陣).可以證明方陣A=[aij]nn為數(shù)量矩陣的充分必要條件是對(duì)于任意n階矩陣B,AB=BA.4.單位矩陣稱(chēng)為n階單位矩陣.In=10…001…0………00…1nn第27頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算注:①對(duì)于n階方陣A可以證明下列條件等價(jià):(i)A為單位矩陣;(ii)對(duì)于任意nm矩陣B,AB=B.(iii)對(duì)于任意mn矩陣C,CA=C.②有時(shí)我們也把n階單位矩陣In簡(jiǎn)記為I.有的書(shū)上用En表示n階單位矩陣,簡(jiǎn)記為E.③利用克羅內(nèi)克(Kronecker)記號(hào)ij=1,i=j

0,ijn階單位矩陣In也可以表示為[ij]nn.第28頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.1矩陣及其運(yùn)算六.方陣的多項(xiàng)式

設(shè)A為一個(gè)方陣,f(x)為一個(gè)多項(xiàng)式稱(chēng)之為方陣A的一個(gè)多項(xiàng)式.f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0

規(guī)定f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0I

5.反對(duì)稱(chēng)矩陣若矩陣A滿(mǎn)足AT=A,則稱(chēng)A為反對(duì)稱(chēng)矩陣.可以證明任何一個(gè)方陣都可以寫(xiě)成一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣與一個(gè)反對(duì)稱(chēng)矩陣的和.第29頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式§2.2方陣的行列式一.二元線性方程組與二階行列式(a11a22a12a21)x1=b1a22a12b2

(a11a22a12a21)x2=a11b2b1a21

當(dāng)a11a22a12a210時(shí),a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21,x2=a11a22a12a21a11b2b1a21.第30頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

a11a12a21a22記D=,b1

a12b2a22D1=,a11b1a21

b2D2=,則當(dāng)D=a11a22a12a210時(shí),,=D1D=D2D.§2.2方陣的行列式a11x1+a12x2=b1

a21x1

+a22x2=b2x1=b1a22a12b2a11a22a12a21有唯一確定的解x2=a11a22a12a21a11b2b1a21問(wèn)題:①能用對(duì)角線法則定義四階行列式嗎?②用對(duì)角線法則定義的“四階行列式”有用嗎?第31頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式1

1001200001

10012仿照三階行列式的對(duì)角線法則可得=121211(1)1=4+1=5.3

1005200001

13012=3212

15(1)1=12+5=17.但方程組x1+x2=3x1+2x2=5x3x4=0x3+2x4=3有唯一解x1=1x2=2x3=1x4=1175第32頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式二.排列的逆序數(shù)與奇偶性全排列把n個(gè)不同的元素排成一列全排列,叫做這n個(gè)元素的全排列(簡(jiǎn)稱(chēng)排列).n個(gè)不同元素的所有排列的種數(shù)通常用Pn表示.例如,用1,2,3三個(gè)數(shù)字可以組成如下6個(gè)沒(méi)有重復(fù)的三位數(shù):123,132,213,231,312,321一般地,Pn=n!=n(n1)…21.第33頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式2.逆序數(shù)對(duì)于n個(gè)不同的元素,先規(guī)定各元素之間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序(如n個(gè)不同的自然數(shù),可規(guī)定由小到大的次序?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)次序),一個(gè)排列中所有逆序的總數(shù)叫做這個(gè)排列的逆序數(shù).逆序數(shù)為奇(偶)數(shù)的排列稱(chēng)為奇(偶)排列.于是在這n個(gè)元素的任意一個(gè)排列中,當(dāng)某兩個(gè)元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時(shí),就說(shuō)有一個(gè)逆序.第34頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式例1.求下列排列的逆序數(shù)(1)32514,(2)(2n)(2n2)…4213…(2n3)(2n1).3.對(duì)換在排列中,將任意兩個(gè)元素對(duì)調(diào),其余的元素不動(dòng),稱(chēng)為對(duì)換.將相鄰的兩個(gè)元素對(duì)調(diào),稱(chēng)為鄰對(duì)換.注:①任一鄰對(duì)換都改變排列的奇偶性.②任一對(duì)換都可通過(guò)奇數(shù)次鄰對(duì)換來(lái)實(shí)現(xiàn).第35頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式定理2.4.每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性.1234567891234567推論.n2時(shí),n個(gè)元素的所有排列中,奇、偶排列各占一半,即各有n!/2個(gè).第36頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式三.n階行列式的定義三階行列式的特點(diǎn)每一項(xiàng)都是三個(gè)元素的乘積.a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33=a11

a22

a33+a12

a23

a31+a13

a21

a32

a11

a23

a32a12

a21

a33a13

a22

a31

.每一項(xiàng)的三個(gè)元素都位于不同的行和列.行列式的6項(xiàng)恰好對(duì)應(yīng)于1,2,3的6種排列.各項(xiàng)系數(shù)與對(duì)應(yīng)的列指標(biāo)的排列的奇偶性有關(guān).第37頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.2方陣的行列式a11a12

a13a21a22

a23a31

a32

a33j1

j2

j3的逆序數(shù)對(duì)所有不同的三級(jí)排列j1

j2

j3求和a11a12a21a22第38頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

2.n階行列式的定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann注:①當(dāng)n=1時(shí),一階行列式|a11|=a11,這與絕對(duì)值符號(hào)的意義是不一樣的.②設(shè)A=[aij]為n階方陣,A的行列式記為|A|,或detA.§2.2方陣的行列式第39頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

3.幾個(gè)特殊的行列式10…00

2…0…………00…n0…010

…2

0…………n…00=12…n

,12…n

.(1)對(duì)角行列式§2.2方陣的行列式第40頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

(2)上(下)三角形行列式a11a12…a1n

0a22…a2n…………0

0

…anna110…0

a21a22…0…………an1

an2…ann=a11a22…ann

.=a11a22…ann

.事實(shí)上,只有pi

i(i=1,2,…n)時(shí),才有可能不為0.若有某個(gè)pk

>k,則必然有若有某個(gè)pl

<l,否則1+2+…+n=p1+p2+…+pn>1+2+…+n,矛盾!§2.2方陣的行列式第41頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

例2.設(shè)A=[aij]n×n,證明f()=|I－A|是的n次多項(xiàng)式,并求n,n－1的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng).a11a12…a1n

a21

a22…a2n…………an1an2…annf()=|I－A|=d1=(a11)(a22)…(ann)f(0)=|－A|=(－1)n|A|.A的跡,記為trA§2.2方陣的行列式第42頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

4.n階行列式的另外一種定義a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann§2.2方陣的行列式第43頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算一.行列式的性質(zhì)性質(zhì)1.DT=D.記D=行列式DT稱(chēng)為D的轉(zhuǎn)置.記bij=aji,則DTa11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…anna11

a21…an1

a12

a22

…an2…………a1n

a2n

…ann,DT=第44頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)2.互換行列式中的兩行(列),行列式變號(hào).證明:記互換行列式D中的第k,l行得到的行列式為D1.=

D.第45頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算注:互換第k,l行記為rkrl,互換第k,l列記為ckcl.推論.如果行列式D中有兩行(列)完全相同,那么D=0.性質(zhì)3.行列式的某一行(列)的公因子可以提到行列式記號(hào)外.事實(shí)上,若行列式D中有兩行完全相同,交換這兩行,得D=

D.因此D=0.對(duì)于有兩列完全相同的情形,可類(lèi)似地證明.第46頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算a11a12…a1n

ka21

ka22…ka2n…………an1

an2…ann例如a11a12…a1n

a21a22…a2n…………an1

an2…ann=k.第47頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)4.若行列式D中有兩行(列)元素成比例,則D=0.

a11

a12…a1n

ka11

ka12

…ka1n…………an1

an2…ann例如a11

a12…a1n

a11

a12

…a1n…………an1

an2…ann=k=0.性質(zhì)5.行列式可按某一行(列)拆成兩個(gè)行列式之和.如|A1,…,As+Bs,…,An|=|A1,…,As,…,An|+|A1,…,Bs,…,An|.第48頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算例1.a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

00

a33

0a41a42

a43

a44+a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44D=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

0a32

0

0a41a42

a43

a44+a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

a31

0

0

0a41a42

a43

a44=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

00

0

a34a41a42

a43

a44+a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

a31

0

0

0a41a42

a43

a44=a11a12

a13

a14

a21a22

a23

a24

0

a32

a33

a34a41a42

a43

a44+第49頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)6.把行列式的某一行(列)元素乘以同一個(gè)數(shù),再加到另一行(列)對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.a11…(a1i+ka1j)…a1j…a1n

a21

…(a2i+ka2j)…a2j

…a2n…an1…(ani+kanj)…anj…ann=+a11…a1i…a1j…a1n

a21

…a2i…a2j

…a2n…an1…ani…anj…anna11…ka1j…a1j…a1n

a21

…ka2j…a2j

…a2n…an1…kanj…anj…ann第50頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算注:用常數(shù)k乘行列式D中的第j行(列)再加到第

i行(列)上,記為ri+krj(ci+kcj).例2.124(1)2213422124=0673423124=067

0

10

14124=2067057142=2

076075(1)142=2

076001=14.()53第51頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算(3)3112513420111533(2)=3112513420115500

=53112513420111100

=5

1312153402111100

=5

1100

021115341312(1)=5

11000211063402122第52頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算=5

11000411003400123=5

1100041100020012=5

1100041100120002=40.=5

11000211063402122第53頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算3111131111311113(3)6666

131111311113=1111131111311113=6(1)1111020000200002=6=48.第54頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算a

b

c

d

a

a+b

a+b+c

a+b+c+da2a+b3a+2b+c4a+3b+2c+da3a+b6a+3b+c10a+6b+3c+d(4)a

b

c

d

0a

a+b

a+b+c0a2a+b3a+2b+c0a3a+b6a+3b+c=(1)(1)(1)a

b

c

d

0a

a+b

a+b+c00a2a+b00a3a+b=(1)=a4.第55頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算注:①有些書(shū)上將上述轉(zhuǎn)化過(guò)程用

rkrj,ckcj,ri+krj,ci+kcj等記號(hào)表示,并寫(xiě)在等號(hào)的上方或下方.但這樣不夠直觀.②為了不引起混淆,每步最好只進(jìn)行一個(gè)操作.例如:abcda+cb+dcda+cb+d

abr1+r2abcdabcadbcdcadbr1+r2r2r1r2r1第56頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算例3.設(shè)D=a11…a1m

am1…amm

D1

=……,證明:D=D1D2.證明:對(duì)D1施行ri+krj這類(lèi)運(yùn)算,把D1化為下三角形行列式:=p11

pm1

…

pmm

…...=p11…

pmm

,b11…

b1nbn1…

bnnD2

=,……a11…

a1m0…0……………………,am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnna11…a1m

am1…amm

D1

=……應(yīng)用第57頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算對(duì)D2施行ci+kcj

這類(lèi)運(yùn)算,把D2化為下三角形行列式:b11…

b1nbn1…

bnnD2

=……=q11

qn1

…

qnn

…...=

q11…

qnn

,于是對(duì)D的前m行施行上述ri+krj運(yùn)算,再對(duì)D的后n列施行上述施行ci+kcj

運(yùn)算,可得:.p11

pm1

…

pmm

c11…

c1kq11cn1…

cnkqn1…

qnn…………=.....0=

p11…

pmm

q11…

qnn

=D1D2.a11…

a1m0…0……………………D=am1

…amm

0…0c11…

c1mb11…

b1ncn1…

cnmbn1…

bnn第58頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算性質(zhì)7.方陣乘積的行列式等于方陣行列式的乘積,即對(duì)于同階方陣A,B,有如下乘

法公式|AB|=|A||B|.二.行列式按行(列)展開(kāi)

a11

a12

a21

a22a11+0

0+a12

a21

a22=a11

0

a21

a22=0

a12

a21

a22+=

a11a22

a12a21=

a11·(1)1+1a22

+a12·(1)1+2a21第59頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算a11

a12

a21

a22a11

a12

a21+0

0+a22=a11

a12a21

0=a11

a12

0

a22+=a21a12+a11a22=

a21·(1)2+1a12

+a22·(1)2+2a11a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

a33

+a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+第60頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

a11a12

a13

a21a22

a23

a31

0

0

=a11a12

a13a21a22

a230

a32

0

+a11a12

a13a21a22

a230

0

a33

+a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)20

a32

0

a11a12

a13a21a22

a23+(1)20

0

a33

a11a12

a13

a21a22

a23+(1)2a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算第61頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

a12

a13

a22

a23

=a31(1)2a11

a13a21

a23+a32(1)2+1a11

a12a21

a22+a33(1)2+2a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a31

0

0

a11

a12

a13

a21

a22

a23

=(1)2a320

0

a12

a11

a13a22

a21

a23+(1)2+1a330

0a13

a11

a12a23

a21

a22+(1)2+2應(yīng)用本節(jié)的例3§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算第62頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a12

a13

a22

a23

=a31(1)3+1a11

a13a21

a23+a32(1)3+2a11

a12a21

a22+a33(1)3+3a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33a11

a12

a13

a21

a22

a23

a31

a32

a33拆,移,降余子式代數(shù)余子式按第三行展開(kāi)§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算第63頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

一般地,在n階行列式中,把元素aij所在的第i行和第j列劃去,留下來(lái)的n1階行列式叫做元素aij的余子式,記作Mij,令A(yù)ij

=(1)i+jMij,并稱(chēng)之為aij的代數(shù)余子式.例如,四階階行列式中a32的余子式為a11

a12

a13

a14

a21

a22

a23

a24

a31

a32

a33

a34a41

a42

a43

a44a11

a13

a14

a21

a23

a24

a41

a43

a44M32=,代數(shù)余子式A32

=(1)3+2M32=M32.§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算第64頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

定理2.5.n階行列式D等于它的任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即

D

=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a21A21+a22A22+…+a2nA2n

=…=an1An1+an2An2+…+annAnn

=a11A11+a21A21+…+an1An1

=a12A12+a22A22+…+an2An2

=…=a1nA1n+a2nA2n+…+annAnn.§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算第65頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

例4.計(jì)算D2n=.§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算D2n=adD2(n1)bcD2(n1).依次類(lèi)推可得D2n=(adbc)n.第66頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算例5.證明n階級(jí)(n2)范德蒙(Vandermonde)行列式Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1=(aiaj).ni>j1Dn=11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1證明:當(dāng)n=2時(shí),D2=(a2a1).現(xiàn)設(shè)等式對(duì)于(n1)階范德蒙行列式成立,則(a1)(a1)(a1)…第67頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)算和行列式

§2.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算=111…10a2a1

a3a1…an

a10a2(a2a1)a3(a3a1)…an2(ana1)……………0a2n-2(a2a1)a3n-2(a3a1)…ann-2(ana1)Dn=

11…1a1

a2…ana12

a22…an2

…………a1n-1

a2n-1…ann-1(a1)(a1)(a1)…第68頁(yè)，共96頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第二章矩陣運(yùn)