第六章 第四節(jié) 基本不等式

第六章第四節(jié)基本不等式第1頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第2頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、基本不等式基本不等式不等式成立的條件等號(hào)成立的條件a＞0，b＞0a＝b第3頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、常用的幾個(gè)重要不等式(1)a2＋b2≥

(a，b∈R)(2)Ab

()2(a，b∈R)(3)

()2(a，b∈R)(4)＋≥

(a，b同號(hào)且不為零)2ab≤2≥第4頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件是什么？提示：上述四個(gè)不等式等號(hào)成立的條件都是a＝b.第5頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三三、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b＞0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為

，幾何平均數(shù)為

，基本不等式可敘述為：

.兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)第6頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三四、利用基本不等式求最值設(shè)x，y都是正數(shù).(1)如果積xy是定值P，那么當(dāng)

時(shí)，和x＋y有最小值

.(2)如果和x＋y是定值S，那么當(dāng)

時(shí)積xy有最大值

.x＝y(tǒng)x＝y(tǒng)第7頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是(

)A.y＝x＋B.y＝sinx＋(0＜x＜π)C.y＝ex＋4e－xD.y＝log3x＋logx81答案：C第8頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.設(shè)a、b∈R，已知命題p：a2＋b2≤2ab；命題q：()2

≤，則p是q成立的(

)A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件解析：命題p：(a－b)2≤0?a＝b；命題q：(a－b)2≥0.顯然，p?q，但q

p，則p是q的充分不必要條件.答案：B第9頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.當(dāng)x＞1時(shí)，關(guān)于函數(shù)f(x)＝x＋，下列敘述正確的是(

)A.函數(shù)f(x)有最小值2B.函數(shù)f(x)有最大值2C.函數(shù)f(x)有最小值3D.函數(shù)f(x)有最大值3解析：∵x＞1，∴x－1＞0，答案：C+1=3第10頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.已知＋＝2(x＞0，y＞0)，則xy的最小值是

.解析：2＝，所以xy≥15，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以xy的最小值是15.答案：15第11頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物400噸，每次都購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為4

萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)

與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝

.解析：每年購(gòu)買(mǎi)次數(shù)為.∴總費(fèi)用＝·4＋4x≥2＝160，當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立，故x＝20.答案：20第12頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第13頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

1.利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，

其實(shí)質(zhì)就是從已知的不等式入手，借助不等式性質(zhì)和基本不

等式，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后推得所證問(wèn)題，其特征是“由因?qū)Ч?2.證明不等式時(shí)要注意靈活變形，多次利用基本不等式時(shí)，注

意每次等號(hào)是否都成立.同時(shí)也要注意應(yīng)用基本不等式的變

形形式.第14頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋≥4.(2)證明：a4＋b4＋c4＋d4≥4abcd.第15頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)利用a＋b＝1將要證不等式中的1代換，即可得證.(2)利用a2＋b2≥2ab兩兩結(jié)合即可求證.但需兩次利用不等式，注意等號(hào)成立的條件.第16頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【證明】

(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，＝4(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時(shí)等號(hào)成立).∴＋≥4.∴原不等式成立.(2)a4＋b4＋c4＋d4≥2a2b2＋2c2d2＝2(a2b2＋c2d2)≥2·2abcd＝4abcd.故原不等式得證，等號(hào)成立的條件是a2＝b2且c2＝d2且ab＝cd.第17頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.已知a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，求證：第18頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三證明：∵a、b、c∈R＋且a＋b＋c＝1，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)取等號(hào).第19頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1.利用基本不等式求最值需注意的問(wèn)題(1)各數(shù)(或式)均為正；(2)和或積為定值；(3)等號(hào)能否成立，即“一正、二定、三相等”，這三個(gè)條件

缺一不可.2.合理拆分項(xiàng)或配湊因式是常用的技巧，而拆與湊的目標(biāo)在于使等號(hào)成立，且每項(xiàng)為正值，必要時(shí)需出現(xiàn)積為定值或

和為定值.第20頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.當(dāng)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等

號(hào)成立，并且要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)，

因此在利用基本不等式處理問(wèn)題時(shí)，列出等號(hào)成立的條件

不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗(yàn)轉(zhuǎn)換是否有誤的一

種方法.第21頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4.基本不等式的幾種變形公式對(duì)于基本不等式，不僅要記住原始形式，而且還要掌握它

的幾種常見(jiàn)的變形形式及公式的逆運(yùn)用等，如：第22頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三求下列各題的最值.(1)已知x＞0，y＞0，lgx＋lgy＝1，求z＝的最小值.(2)x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值.(3)x＜3，求f(x)＝＋x的最大值.

第23頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)由條件lgx＋lgy＝1得定值xy＝10，故可用基本不等式.(2)由x＞0，·3x＝36是常數(shù)，故可直接利用基本不等式.(3)因·x不是常數(shù)，故需變形.f(x)＝＋x－3＋3，又x－3＜0，故需變號(hào).第24頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

【解】

(1)由已知條件lgx＋lgy＝1，可得xy＝10.則＝2.∴()min＝2.當(dāng)且僅當(dāng)2y＝5x，即x＝2，y＝5時(shí)等號(hào)成立.第25頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)∵x＞0，∴f(x)＝等號(hào)成立的條件是＝3x，即x＝2，∴f(x)的最小值是12.第26頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)∵x＜3，∴x－3＜0，∴3－x＞0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－[＋(3－x)]＋3≤－2＋3＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)＝3－x，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立.故f(x)的最大值為－1.

第27頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2.解下列問(wèn)題：(1)已知a＞0，b＞0，且4a＋b＝1，求ab的最大值；(2)已知x＞2，求x＋的最小值；(3)已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求的最小值.第28頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：(1)法一：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，∴1＝4a＋b≥2當(dāng)且僅當(dāng)4a＝時(shí)，等號(hào)成立.∴所以ab的最大值為法二：∵a＞0，b＞0,4a＋b＝1，當(dāng)且僅當(dāng)4a＝b=時(shí)，等號(hào)成立.所以ab的最大值為第29頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)∵x＞2，∴x－2＞0，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝即x＝4時(shí)，等號(hào)成立.所以x＋的最小值為6.+2=6,第30頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(3)∵x＞0，y＞0，x＋y＝1，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由∴當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以的最小值為25.第31頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意以下四點(diǎn)：(1)設(shè)變量時(shí)一般把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，確定函數(shù)的定義域；(3)在定義域內(nèi)只需再利用基本不等式，求出函數(shù)的最值；(4)回到實(shí)際問(wèn)題中去，寫(xiě)出實(shí)際問(wèn)題的答案.第32頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三某養(yǎng)殖廠需定期購(gòu)買(mǎi)飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價(jià)格為1.8元，飼料的保管與其他費(fèi)用為平均每千克每天0.03元，購(gòu)買(mǎi)飼料每次支付運(yùn)費(fèi)300元.(1)求該廠多少天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少？(2)若提供飼料的公司規(guī)定，當(dāng)一次購(gòu)買(mǎi)飼料不少于5噸時(shí)其價(jià)格可享受八五折優(yōu)惠(即為原價(jià)的85%).問(wèn)該廠是否可以考慮利用此優(yōu)惠條件？請(qǐng)說(shuō)明理由.

第33頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三

根據(jù)已知條件建立“購(gòu)買(mǎi)天數(shù)x”與“平均每天支付的總費(fèi)用”之間的函數(shù)關(guān)系式，然后利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性解決.第34頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【解】

(1)設(shè)該廠每x(x∈N*)天購(gòu)買(mǎi)一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y1.∵飼料的保管與其他費(fèi)用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，∴x天飼料的保管與其他費(fèi)用共是6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝3x2＋3x(元).從而有y1＝(3x2＋3x＋300)＋200×1.8＝＋3x＋363≥423.當(dāng)且僅當(dāng)＝3x，即x＝10時(shí)，y1有最小值.即每10天購(gòu)買(mǎi)一次飼料才能使平均每天支付的總費(fèi)用最少.第35頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購(gòu)買(mǎi)一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每x天(x≥25)購(gòu)買(mǎi)一次飼料，平均每天支付的總費(fèi)用為y2，則y2＝(3x2＋3x＋300)＋200×1.8×0.85＝＋3x＋309(x≥25).∵y2′＝－＋3，∴當(dāng)x≥25時(shí)，y2′＞0，即函數(shù)y2在[25，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝25時(shí)，y2取得最小值為396.而396＜423，∴該廠可以接受此優(yōu)惠條件.第36頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3.經(jīng)觀測(cè)，某公路段在某時(shí)段內(nèi)的車(chē)流量y(千輛/小時(shí))與汽車(chē)

的平均速度v(千米/小時(shí))之間有函數(shù)關(guān)系y＝(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度v為多少時(shí)車(chē)流量y最大？

最大車(chē)流量為多少？(2)為保證在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量至少為10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的

平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？第37頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解：當(dāng)散即v＝40(千米/小時(shí))時(shí)，車(chē)流量最大，最大值為11.08(千輛/小量).(1)y=第38頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2)根題意有化簡(jiǎn)得v2－89v＋1600≤0，即(v－25)(v－64)≤0，所以25≤v≤64.所以汽車(chē)的平均速度應(yīng)控制在[25,64]這個(gè)范圍內(nèi).第39頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第40頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三從近幾年的高考試題看，基本不等式的應(yīng)用一直是高考命題的熱點(diǎn)，在選擇題、填空題、解答題中都有可能出現(xiàn)，它的應(yīng)用范圍涉及高中數(shù)學(xué)的很多章節(jié)，且?？汲Ｐ?，但是它在高考中卻不外乎大小判斷、求最值、求取值范圍等.2009年湖北卷第17題考查了基本不等式的實(shí)際應(yīng)用，代表了一個(gè)重要的高考方向.第41頁(yè)，共46頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2009·湖北高考)圍建一個(gè)面積為360m2的矩形場(chǎng)地，要求矩形場(chǎng)地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對(duì)面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示.已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/米，新墻的造價(jià)為180元/米.設(shè)利用的