第八章第七節(jié)雙曲線

第八章第七節(jié)雙曲線第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三一、雙曲線的定義平面內(nèi)與定點(diǎn)F1、F2的距離的

等于常數(shù)(小

于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，定點(diǎn)叫做雙曲線的

，兩焦點(diǎn)之間的距離叫做雙曲線的

．

差的絕對(duì)值焦點(diǎn)焦距第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三二、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)圖形第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三標(biāo)準(zhǔn)方程(a>0，b>0)(a>0，b>0)性質(zhì)范圍對(duì)稱性對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：對(duì)稱軸：

對(duì)稱中心：頂點(diǎn)A1

，A2頂點(diǎn)坐標(biāo)A1

，A2漸近線坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸原點(diǎn)原點(diǎn)(0，－a)(0，a)(－a,0)(a,0)x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三標(biāo)準(zhǔn)方程

(a>0，b>0)(a>0，b>0)性質(zhì)離心率e＝

，e∈

，其中c＝實(shí)虛軸線段

叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|A1A2|＝

；線段

叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|B1B2|＝

；

叫做雙曲線的實(shí)半軸，

叫做雙曲線的虛半軸通徑過(guò)焦點(diǎn)垂直于實(shí)軸的弦叫通徑，其長(zhǎng)為

.a、b、c關(guān)系c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)(1，＋∞)A1A22aB1B22bab第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中，a、b只限制a＞0,b＞0,二者沒(méi)有大小要求，若a＞b＞0,a=b＞0,0＜a＜b,雙曲線哪些性質(zhì)受影響？提示：離心率受到影響.∵故當(dāng)a＞b＞0時(shí)，1＜e＜,當(dāng)a=b＞0時(shí)，e=（亦稱等軸雙曲線），當(dāng)0＜a＜b時(shí),e＞.第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．雙曲線的焦距為(

)解析：由已知有c2＝a2＋b2＝12，所以c＝2，故雙曲線的焦距為4.答案：D第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．已知雙曲線的方程為2x2－3y2＝6，則此雙曲線的離心

率為(

)解析：方程為答案：C第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3．過(guò)雙曲線x2－y2＝8的左焦點(diǎn)F1有一條弦PQ交左支于P、Q點(diǎn)，若|PQ|＝7，F(xiàn)2是雙曲線的右焦點(diǎn)，則△PF2Q的周

長(zhǎng)是(

)A．28B．14－8C．14＋8D．8第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解析：∵|QF2|－|QF1|＝4，|PF2|－|PF1|＝4，∴|QF2|＋|PF2|－|PQ|＝8，∴|QF2|＋|PF2|＝8＋7，∴周長(zhǎng)為8＋14.答案：C

第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三4．若雙曲線的一條漸近線方程為＋y＝0，則此雙曲線的離心離為_(kāi)_______________．解析：漸近線方程為又a2＋b2＝c2，從而答案：+y=0,即e=第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三5．已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)是(－4,0)，(4,0)則其標(biāo)

準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．解析：由∴方程為答案：第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．應(yīng)用雙曲線的定義時(shí)注意的問(wèn)題：

在雙曲線的定義中要注意雙曲線上的點(diǎn)(動(dòng)點(diǎn))具備的幾

何條件，即“到兩定點(diǎn)(焦點(diǎn))的距離之差的絕對(duì)值為一常

數(shù)，且該常數(shù)必須小于兩定點(diǎn)的距離”．若定義中的“絕

對(duì)值”去掉，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支．第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．雙曲線方程的求法：(1)定義法：根據(jù)定義求出相應(yīng)的a、b、c.(2)待定系數(shù)法步驟①定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上.②定式：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)出相應(yīng)的雙曲線方程．③定量：根據(jù)題目條件確定相關(guān)的系數(shù)．第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【注意】若不能明確焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，可設(shè)雙曲線方程為：mx2＋ny2＝1(mn＜0)．(3)幾種方程的常用設(shè)法①與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可

設(shè)為②若已知漸近線方程為mx＋ny＝0則雙曲線方程可設(shè)為m2x2－n2y2＝λ(λ≠0)．第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三在△ABC中，B(4,0)，C(－4,0)，動(dòng)點(diǎn)A滿足sinB－sinC＝sinA.求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程．

利用正弦定理結(jié)合雙曲線的定義分析A的軌跡，從而用待定系數(shù)法求解.第18頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【解】設(shè)A的坐標(biāo)為(x，y)，在△ABC中，由正弦定理得(其中R為△ABC外接圓的半徑)，代入sinB－sinC＝sinA得，又|BC|＝8，則得|AC|－|AB|＝4，因此A的軌跡為以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去右頂點(diǎn))，且2a＝4,2c＝8即a＝2，c＝4.b2＝c2－a2＝12.所以所求A點(diǎn)的軌跡方程(x＞2)．第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．(2009·遼寧高考)已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，A(1,4)，P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，則|PF|＋|PA|的最

小值為_(kāi)_______．解析：設(shè)右焦點(diǎn)為F1，依題意，|PF|＝|PF1|＋4，∴|PF|＋|PA|＝|PF1|＋4＋|PA|＝|PF1|＋|PA|＋4≥|AF1|＋4＝5＋4＝9.答案：9第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三1．雙曲線的幾何性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是圍繞雙曲線中的“六點(diǎn)”(兩

個(gè)焦點(diǎn)、兩個(gè)頂點(diǎn)、兩個(gè)虛軸的端點(diǎn))，“四線”(兩條對(duì)

稱軸、兩條漸近線)，“兩形”(中心、焦點(diǎn)以及虛軸端點(diǎn)

構(gòu)成的三角形、雙曲線上一點(diǎn)和兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形)研

究它們之間的相互聯(lián)系．2．在雙曲線的幾何性質(zhì)中，應(yīng)充分利用雙曲線的漸近線方

程，簡(jiǎn)化解題過(guò)程．同時(shí)要熟練掌握以下三方面內(nèi)容：第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(1)已知雙曲線方程，求它的漸近線．(2)求已知漸近線的雙曲線的方程．(3)漸近線的斜率與離心率的關(guān)系．如k=第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三(2009·重慶高考)已知雙曲線(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)、F2(c,0)．若雙曲線上存在點(diǎn)P使則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三利用正弦定理及雙曲線的定義結(jié)合性質(zhì)|PF2|＞c－a可求．第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【解析】

∵

(由正弦定理得)，∴∴|PF1|＝e|PF2|.又∵||PF1|－|PF2||＝2a(e>1)，∴(e－1)|PF2|＝2a，∴|PF2|＝由雙曲線性質(zhì)知|PF2|>c－a，∴>c－a，即>e－1，得e2－2e－1<0，又∵e>1，得1<e<1＋.【答案】

(1，＋1)第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三2．將本例條件改為“若雙曲線上存在點(diǎn)P使得|PF1|＝2|PF2|，求離心率的范圍．解：由||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＝2|PF2|，∴|PF2|＝2a，|PF1|＝4a.在△PF1F2中|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|.∴6a≥2c，∴1＜e≤3.第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三設(shè)雙曲線方程(a＞0，b＞0)，直線Ax＋By＋C＝0，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去y得到關(guān)于x的方程mx2＋nx＋p＝0，(1)若m≠0，當(dāng)Δ＞0時(shí)，直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)Δ＝0時(shí)，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)Δ＜0時(shí)，直線與雙曲線無(wú)公共點(diǎn)．(2)若m＝0，直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行．第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三已知雙曲線

(0＜λ＜1)的右焦點(diǎn)為B，過(guò)點(diǎn)B作直線交雙曲線C的右支于M、N兩點(diǎn)，試確定λ的范圍，使，其中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，尋找交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系.第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三【解】

設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)由已知易求B(1,0)，①當(dāng)MN垂直于x軸時(shí)，MN的方程為x＝1，設(shè)M(1，y0)，N(1，－y0)(y0＞0)，由得y0＝1，∴M(1,1)，N(1，－1)．又M(1,1)，N(1，－1)在雙曲線上，∴因?yàn)?＜λ＜1，所以λ＝第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三②當(dāng)MN不垂直于x軸時(shí)，設(shè)MN的方程為y＝k(x－1)．由得：[λ－(1－λ)k2]x2＋2(1－λ)k2x－(1－λ)(k2＋λ)＝0，由題意知：λ－(1－λ)k2≠0，所以x1＋x2＝X1x2＝于是y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三因?yàn)榍襇、N在雙曲線右支上，所以由①②知，第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三3．(2010·臨汾模擬)設(shè)雙曲線(a＞0，b＞0)的

左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，若點(diǎn)P為雙曲線右支上的一

點(diǎn)，且直線PA1，PA2的斜率分別為，2，則雙曲線

的漸近線方程為(

)A．y＝±2x

B．y＝±C．y＝±xD．y＝±第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三解析：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，則有又由于點(diǎn)P在雙曲線上，所以有：所以漸近線方程為：y＝±x＝±x.答案：C即得第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期三雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、漸近線與離心率問(wèn)題一直是歷年高考的命題熱點(diǎn)，尤其是離心率問(wèn)題，幾乎是每年必考內(nèi)容，在考查中多借助于幾何性質(zhì)建立a、b、c關(guān)