高中數(shù)學(xué)必修5之?dāng)?shù)列

-35-高中數(shù)學(xué)必修5第二單元數(shù)列【第一部分】基礎(chǔ)知識提要2.1數(shù)列的概念與簡單表示法1、數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項。數(shù)列中的每一項和它的序號有關(guān)，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（也叫首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，…，排在第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項。所以，數(shù)列的一般形式可以寫成，，，…，，…，簡記為.2、數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。3、數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且從第2項（或某一項）開始的任一項與它的前一項（或前幾項）（）間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。定義式為（）4、數(shù)列與函數(shù)：數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當(dāng)自變量按照從大到小的順序依次取值時，所對應(yīng)的一列函數(shù)值。通項公式可以看成函數(shù)的解析式。5、數(shù)列的單調(diào)性：若數(shù)列滿足：對一切正整數(shù)，都有（或），則稱數(shù)列為遞增數(shù)列（或遞減數(shù)列）。判斷方法：①轉(zhuǎn)化為函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性，求數(shù)列的單調(diào)性；②作差比較法，即作差比較與的大??；2.2等差數(shù)列等差數(shù)列的定義：一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差常用字母表示。定義式為（，）或（）等差中項：由三個數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列。這時，叫做與的等差中項。是，的等差中項.等差中項判定等差數(shù)列：任取相鄰的三項，，（），則，，成等差數(shù)列（）是等差數(shù)列。等差數(shù)列的通項公式，其中為首項，為公差。變形為：.通項公式的變形：，其中為第項。變形為.等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）若，，，，且，則；（相同數(shù)量下，項數(shù)之和相等，項之和相等）（2）若，則；若，，成等差數(shù)列，則，，成等差關(guān)系；（等距等差）若為等差數(shù)列，也成等差數(shù)列（片段等差）若成等差數(shù)列（公差為，首項為）；若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列；如果都是等差數(shù)列，則，也是等差數(shù)列。2.3等差數(shù)列的前項和1、一般數(shù)列與的關(guān)系為.2、等差數(shù)列前項和的公式：3、等差數(shù)列前項和公式的函數(shù)特征：（1）由，令，，則為等差數(shù)列（為常數(shù)，其中，）.若，即，則是關(guān)于的無常數(shù)項的二次函數(shù)。若，即，則.（2）若為等差數(shù)列，也是等差數(shù)列，公差為（3）若，，則（5）若，則（4）若是均為等差數(shù)列，前項和分別是與，則有（5）等差數(shù)列中，，，則有最大值，，，則有最小值。2.4等比數(shù)列等比數(shù)列：一般地如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示.定義式：，(,,).等比中項：如果在與中間插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比數(shù)列。，，成等比數(shù)列.兩數(shù)同號才有等比中項，且有2個互為相反數(shù)。通項公式：其中首相為，公比為.等比數(shù)列的性質(zhì)：（，）.2.5等比數(shù)列的前項和1、等比數(shù)列的前項和的公式：2、等比數(shù)列的前項和的函數(shù)特征：當(dāng)時，.記，即.（幫助判斷等比數(shù)列）3、等比數(shù)列的前項和的性質(zhì)：在等比數(shù)列中：（1）當(dāng)，，，…均不為零時，數(shù)列成等差數(shù)列。公比為.（2）（3）或（、）（4）若，則（5）若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列（6）若為正項等比數(shù)列，則是等差數(shù)列（7）若、均為等比數(shù)列，則等仍是等比數(shù)列。公比分別為：.（8）等比數(shù)列的增減性：當(dāng)，或時，為遞增數(shù)列；當(dāng)或時，為遞增減數(shù)列。4、由遞推公式求數(shù)列通向法：（具體步驟參考金字塔教材）（1）累加法：變形：（2）累乘法：變形：（3）取倒數(shù)法：（4）構(gòu)建新數(shù)列法：（其中，均為常數(shù)，）設(shè)為等比數(shù)列。【總結(jié)與方法】1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）．6、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1<an）．7、常數(shù)列：各項相等的數(shù)列（即：an+1=an）．8、擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．9、數(shù)列的通項公式：表示數(shù)列的第項與序號之間的關(guān)系的公式．10、數(shù)列的遞推公式：表示任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系的公式．11、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等差數(shù)列，這個常數(shù)稱為等差數(shù)列的公差．符號表示:。注：看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①②2()③(為常數(shù)12、由三個數(shù)，，組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列，則稱為與的等差中項．若，則稱為與的等差中項．13、若等差數(shù)列的首項是，公差是，則．14、通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤．15、若是等差數(shù)列，且（、、、），則；若是等差數(shù)列，且（、、），則．16.等差數(shù)列的前項和的公式：=1\*GB3①；=2\*GB3②．③17、等差數(shù)列的前項和的性質(zhì)：=1\*GB3①若項數(shù)為，則，且，．=2\*GB3②若項數(shù)為，則，且，（其中，）．18、如果一個數(shù)列從第項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位上的值同號）注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①②(，)③(為非零常數(shù)).④正數(shù)列{}成等比的充要條件是數(shù)列{}（）成等比數(shù)列.19、在與中間插入一個數(shù)，使，，成等比數(shù)列，則稱為與的等比中項．若，則稱為與的等比中項．（注：由不能得出，，成等比，由，，）20、若等比數(shù)列的首項是，公比是，則．21、通項公式的變形：=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④．22、若是等比數(shù)列，且（、、、），則；若是等比數(shù)列，且（、、），則．23、等比數(shù)列的前項和的公式：①．②24、對任意的數(shù)列{}的前項和與通項的關(guān)系：[注]：①（可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.②等差{}前n項和→可以為零也可不為零→為等差的充要條件→若為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：1.等差數(shù)列的前項和為，在時，有最大值.如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數(shù)的性質(zhì)求的值.2.數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應(yīng)關(guān)系如下：數(shù)列通項公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為一次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列前n項和公式對應(yīng)函數(shù)等差數(shù)列（時為二次函數(shù)）等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關(guān)于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關(guān)問題提供了非常有益的啟示。3.例題：1、等差數(shù)列中，，則.分析：因為是等差數(shù)列，所以是關(guān)于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(m+n,)三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即，得=0（圖像如上），這里利用等差數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。例題：2、等差數(shù)列中，，前n項和為，若，n為何值時最大？分析：等差數(shù)列前n項和可以看成關(guān)于n的二次函數(shù)=，是拋物線=上的離散點，根據(jù)題意，，則因為欲求最大值，故其對應(yīng)二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為，即當(dāng)時，最大。例題：3遞增數(shù)列，對任意正整數(shù)n，恒成立，求分析：構(gòu)造一次函數(shù)，由數(shù)列遞增得到：對于一切恒成立，即恒成立，所以對一切恒成立，設(shè)，則只需求出的最大值即可，顯然有最大值，所以的取值范圍是：。構(gòu)造二次函數(shù)，看成函數(shù)，它的定義域是，因為是遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位置。從對應(yīng)圖像上看，對稱軸在的左側(cè)也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，，得4.如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應(yīng)項乘積，求此數(shù)列前項和可依照等比數(shù)列前項和的推倒導(dǎo)方法：錯位相減求和.例如：5.兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差的最小公倍數(shù).6.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。7.在等差數(shù)列｛｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)>0,d<0時，滿足的項數(shù)m使得取最大值.(2)當(dāng)<0,d>0時，滿足的項數(shù)m使得取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。附：數(shù)列求和的常用方法1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項相消法:適用于其中{}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等。3.錯位相減法:適用于其中{}是等差數(shù)列，是各項不為0的等比數(shù)列。4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=2）1+3+5+...+(2n-1)=3）4);5)，；6）※附加：重點歸納等差數(shù)列和等比數(shù)列（表中）類別項目等差數(shù)列等比數(shù)列定義通項公式前n項和等差（比）中項公差（比），性質(zhì)成等差數(shù)列，公差為（是前項和）成等比數(shù)列，公比為（是前項積）仍然是等差數(shù)列，其公差為仍然是等比數(shù)列，其公比為是等差數(shù)列是等比數(shù)列（）單調(diào)性；；常數(shù)列時，，；時，，；為常數(shù)列；為擺動數(shù)列2.等差數(shù)列的判定方法：（為常數(shù)）⑴.定義法：若⑵.等差中項法：若為等差數(shù)列.⑶.通項公式法：若⑷.前n項和法：3.等比數(shù)列的判定方法：（，為非零常數(shù)）⑴.定義法：若⑵.等比中項法：若為等比數(shù)列.⑶.通項公式法：若

【第二部分】習(xí)題精講精煉2．1數(shù)列的概念與簡單表示法第1課時數(shù)列的概念與通項公式知識點一根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式1．?dāng)?shù)列－1，3，－7，15，…的一個通項公式可以是()A．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)B．a(chǎn)n＝(－1)n·(2n－1)C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)D．a(chǎn)n＝(－1)n＋1·(2n－1)2．根據(jù)數(shù)列的前4項，寫出下列數(shù)列的一個通項公式．(1)0．9，0．99，0．999，0．9999，…；(2)1eq\f(1,2)，2eq\f(4,5)，3eq\f(9,10)，4eq\f(16,17)，…；(3)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，…；(4)3，5，9，17，…．知識點二數(shù)列通項公式的應(yīng)用3．?dāng)?shù)列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,7)，eq\f(8,9)，…的第10項是()A．eq\f(16,17)B．eq\f(18,19)C．eq\f(20,21)D．eq\f(22,23)4．若數(shù)列an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)，則a5－a4＝()5．已知數(shù)列eq\r(3)，3，eq\r(15)，eq\r(21)，3eq\r(3)，…，eq\r(32n－1)，…，則9是這個數(shù)列的()A．第12項B．第13項C．第14項D．第15項6．已知數(shù)列{an}的通項公式，an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3n－1n為奇數(shù)，,2n－2n為偶數(shù)，))則a2a3的值是()A．70B．28C．20D．16知識點三數(shù)列的單調(diào)性7．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝eq\f(2n,n＋1)，那么這個數(shù)列是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．?dāng)[動數(shù)列D．常數(shù)列8．已知數(shù)列{an}滿足a1<0，eq\f(an＋1,an)＝2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”)．易錯點一忽視數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別9．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－ax－3，x≤7，,ax－6，x＞7，))數(shù)列{an}滿足an＝f(n)，n∈N*，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是________．易錯點二審題不細心，忽略細節(jié)10．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是()A．第5項B．第6項C．第4項或第5項D．第5項或第6項易錯分析本題易不注意n＝5和n＝6，哪一個距離n＝eq\f(21,4)更近而錯選D．一、選擇題1．下列說法正確的是()A．?dāng)?shù)列1，－2，3，－4，…是一個擺動數(shù)列B．?dāng)?shù)列－2，3，6，8可以表示為{－2，3，6，8}C．{an}和an是相同的概念D．每一個數(shù)列的通項公式都是唯一確定的2．?dāng)?shù)列7，9，11，…，2n－1的項數(shù)是()A．n－3B．n－2C．n－1D．n3．已知數(shù)列{an}的前四項分別為1，0，1，0，則下列通項公式可以作為數(shù)列{an}的通項公式的個數(shù)有()①an＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]②an＝sin2eq\f(nπ,2)③an＝eq\f(1－cosnπ,2)④an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1n為奇數(shù)，,0n為偶數(shù)))⑤an＝eq\f(1,2)[1＋(－1)n＋1]＋(n－1)(n－2)A．1個B．2個C．3個D．4個4．?dāng)?shù)列－eq\f(1,3×5)，eq\f(2,5×7)，－eq\f(3,7×9)，eq\f(4,9×11)，…的通項公式an為()A．(－1)n＋1eq\f(1,2n＋12n＋3)B．(－1)n＋1eq\f(n,2n＋12n＋3)C．(－1)neq\f(1,2n＋12n＋3)D．(－1)neq\f(n,2n＋12n＋3)5．設(shè)an＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么an＋1－an等于()A．eq\f(1,2n＋1)B．eq\f(1,2n＋2)C．eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)D．eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)二、填空題6．已知一組數(shù)1，1，2，3，5，8，x，21，34，55，按這組數(shù)的規(guī)律，x應(yīng)為________．7．eq\f(2,3)，eq\f(4,15)，eq\f(6,35)，eq\f(8,63)，eq\f(10,99)，…的一個通項公式是________．8．?dāng)?shù)列{an}滿足an＝eq\f(n－\r(2014),n－\r(2015))，若ap最大，aq最小，則p＋q＝________．三、解答題9．已知數(shù)列an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n－1，n為奇數(shù)，,n，n為偶數(shù)，))試求a1＋a100和a1－a2＋a3－a4＋…＋a99－a100的值．10．?dāng)?shù)列{an}中，an＝eq\f(n2,n2＋1)．(1)求數(shù)列的第7項；(2)求證：此數(shù)列的各項都在區(qū)間(0，1)內(nèi)；(3)區(qū)間eq\f(1,3)，eq\f(2,3)內(nèi)有無數(shù)列的項？若有，有幾項？

第2課時數(shù)列的遞推公式知識點一利用數(shù)列的遞推公式求數(shù)列的項1．已知數(shù)列{an}滿足an＝4an－1＋3，且a1＝0，則此數(shù)列第5項是()A．15B．255C．16D．632．已知a1＝1，an＋1＝eq\f(an,3an＋1)，則數(shù)列{an}的第4項是()3．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a1000＝()A．1B．1999C．1000D．－14．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于()A．－165B．－33C．－30D．－215．已知數(shù)列{an}，an＝an＋m(a＜0，n∈N*)，滿足a1＝2，a2＝4，則a3＝________．6．已知數(shù)列{an}滿足：a4n－3＝1，a4n－1＝0，a2n＝an，n∈N*，則a2011＝________；a2018＝________．知識點二利用數(shù)列的遞推公式求通項公式7．?dāng)?shù)列{an}滿足遞推公式a1＝5，an＝eq\f(n,n＋1)an－1(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的前四項依次為________，它的通項公式為________．8．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an－1＝eq\f(1,nn－1)(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項公式．易錯點一忽略數(shù)列中第1項9．在數(shù)列{an}中，若a1＝2，且對所有n∈N*滿足an＝an＋1＋2，則a2016＝________．易錯分析本題求通項公式時采用累加法易漏掉a1錯解an＝－2n＋2致a2016＝－4030．易錯點二對遞推公式變形時忽略n取值的變化而致錯10．已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，求an．易錯分析本題易忽略式子a1a2a3…an－1＝(n－1)2僅適用于n∈N*且n≥2時的情況，因此兩式相除得到an＝eq\f(n2,n－12)也僅適用于n≥2時的情況，從而錯誤斷定an＝eq\f(n2,n－12)是數(shù)列的通項．解當(dāng)n＝1時，a1＝1．由條件知a1a2a3…an＝n2(n∈N*)，當(dāng)n≥2時a1a2a3…an－1＝(n－1)2，兩式相除得an＝eq\f(n2,n－12)(n≥2，n∈N*)，故an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,\f(n2,n－12)，n≥2，n∈N*.))一、選擇題1．已知an＝3n－2，則數(shù)列{an}的圖象是()A．一條直線B．一條拋物線2．在數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，an＝(－1)n·2an－1(n≥2)，則a5等于()A．－eq\f(16,3)B．eq\f(16,3)C．－eq\f(8,3)D．eq\f(8,3)3．函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1，f(n＋1)＝f(n)＋3(n∈N*)，則f(n)是()A．遞增數(shù)列B．遞減數(shù)列C．常數(shù)列D．不能確定4．?dāng)?shù)列{an}的構(gòu)成法則如下：a1＝1，如果an－2為自然數(shù)且之前未出現(xiàn)過，則用遞推公式an＋1＝an－2，否則用遞推公式an＋1＝3an，則a6＝()A．－7B．3C．15D．815．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是()A．4eq\f(1,5)B．4eq\f(2,5)C．4eq\f(3,5)D．4eq\f(4,5)二、填空題6．在數(shù)列{an}中，an＝2n＋1，對于數(shù)列{bn}，b1＝a1，當(dāng)n≥2時，bn＝abn－1，則b4＝________，b5＝________．7．已知F(x)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))－1是R上的奇函數(shù)．a(chǎn)n＝f(0)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n)))＋…＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n－1,n)))＋f(1)(n∈N*)．則數(shù)列{an}的通項公式為________．8．函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列{xn}滿足x0＝5，且對任意的自然數(shù)均有xn＋1＝f(xn)，則x2019＝________．x12345f(x)51342三、解答題9．?dāng)?shù)列{an}中a1＝1，對所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2．(1)求a3，a5；(2)探究eq\f(256,225)是否為此數(shù)列中的項；若是，是第多少項？(3)試比較an與an＋1(n≥2)的大?。?0．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)(n∈N*)，試探究數(shù)列{an}的通項公式．

2．2等差數(shù)列第3課時等差數(shù)列的概念及通項公式知識點一等差數(shù)列的定義1．下列數(shù)列不是等差數(shù)列的是()A．6，6，6，…，6，…B．－2，－1，0，…，n－3，…C．5，8，11，…，3n＋2，…D．0，1，3，…，eq\f(n2－n,2)，…2．下列數(shù)列是等差數(shù)列的是()A．eq\f(1,3)，eq\f(1,5)，eq\f(1,7)，eq\f(1,9)B．1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)C．1，－1，1，－1D．0，0，0，03．若數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n＋5，則此數(shù)列是()A．公差為－1的等差數(shù)列B．公差為5的等差數(shù)列C．首項為5的等差數(shù)列D．公差為n的等差數(shù)列4．在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，則a1等于()A．－9B．－8C．－7D．－45．已知{an}為等差數(shù)列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，則公差d等于()A．－2B．－eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)D．26．設(shè)等差數(shù)列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a2＋a5＝4，an＝33，則n＝()A．48B．49C．50D．517．等差數(shù)列的第3項是7，第11項是－1，則它的第7項是________．8．已知數(shù)列{an}滿足an－1＋an＋1＝2an(n∈N*，n≥2)且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{an}的通項公式為________．知識點三等差中項及應(yīng)用9．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，則a，b的等差中項為()A．eq\r(3)B．eq\r(2)C．eq\f(1,\r(3))D．eq\f(1,\r(2))10．設(shè)x是a與b的等差中項，x2是a2與－b2的等差中項，則a，b的關(guān)系是()A．a(chǎn)＝－bB．a(chǎn)＝3bC．a(chǎn)＝－b或a＝3bD．a(chǎn)＝b＝0易錯點一忽略角標(biāo)形式，相鄰項找錯11．若數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，則數(shù)列{a2n－1＋2a2n}是()A．公差為3的等差數(shù)列B．公差為4的等差數(shù)列C．公差為6的等差數(shù)列D．公差為9的等差數(shù)列易錯分析本題在找a2n－1＋2a2n的前一項時易錯找為a2n－2＋2a2n－1導(dǎo)致錯選A．易錯點二忽略公差d＝0的情況12．已知{an}是等差數(shù)列且an>0，求證：eq\f(1,\r(a1)＋\r(a2))＋eq\f(1,\r(a2)＋\r(a3))＋…＋eq\f(1,\r(an)＋\r(an＋1))＝eq\f(n,\r(a1)＋\r(an＋1))．一、選擇題1．已知等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝3－2n，則它的公差為()A．2B．3C．－2D．－32．若{an}為等差數(shù)列，ap＝q，aq＝p(p≠q)，則ap＋q為()A．p＋qB．03．等差數(shù)列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8，則數(shù)列{an}的通項公式是()A．a(chǎn)n＝2n－2(n∈N*)B．a(chǎn)n＝2n＋4(n∈N*)C．a(chǎn)n＝－2n＋12(n∈N*)D．a(chǎn)n＝－2n＋10(n∈N*)4．已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N*)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項，則公差d不可能是()A．2B．3C．4D．55．等差數(shù)列{an}的首項為a，公差為1，數(shù)列{bn}滿足bn＝eq\f(an,an＋1)．若對任意n∈N*，bn≤b6，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－8，－6)B．(－7，－6)C．(－6，－5)D．(6，7)二、填空題6．若m≠n，兩個等差數(shù)列m，a1，a2，n與m，b1，b2，b3，n的公差為d1和d2，則eq\f(d1,d2)的值為________．7．一個直角三角形三邊長a，b，c成等差數(shù)列，面積為12，則它的周長為________．8．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為________升．三、解答題9．已知f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，在數(shù)列{xn}中，x1＝eq\f(1,3)，xn＝f(xn－1)(n≥2，n∈N*)，試說明數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn)))是等差數(shù)列，并求x95的值．10．是否存在數(shù)列{an}(an≠0)同時滿足下列條件：(1){an}是等差數(shù)列且公差不為0；(2)數(shù)列eq\f(1,an)也是等差數(shù)列．第4課時等差數(shù)列的前n項和知識點一等差數(shù)列前n項和公式的簡單應(yīng)用1．已知等差數(shù)列{an}中，a2＝7，a4＝15，則S10等于()A．100B．210C．380D．4002．在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，則a2＋a9＝()3．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S7＝35，則a4＝()A．8B．7C．6D．5知識點二“知三求二”問題4．等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＋a5＝14，其前n項和Sn＝100，則n＝()A．9B．10C．11D．125．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝S3＝12，則{an}的通項an＝________．知識點三an與Sn的關(guān)系6．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2－3n，則{an}的前n項和Sn等于()A．－eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2)B．－eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)C．eq\f(3,2)n2＋eq\f(n,2)D．eq\f(3,2)n2－eq\f(n,2)7．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n，則過P(1，a1)，Q(2，a2)兩點的直線的斜率是()A．1B．2C．3D．48．已知{an}的前n項之和Sn＝2n＋1，則此數(shù)列的通項公式為________．易錯點一等差數(shù)列的特點考慮不周全9．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n＋2，判斷{an}是否為等差數(shù)列．易錯點二忽略對項數(shù)的討論10．已知等差數(shù)列{an}的第10項為－9，前11項和為－11，求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn．一、選擇題1．在各項均不為零的等差數(shù)列{an}中，若an＋1－aeq\o\al(2,n)＋an－1＝0(n≥2)，則S2n－1－4n＝()A．－2B．0C．1D．22．《九章算術(shù)》是我國第一部數(shù)學(xué)專著，下有源自其中的一個問題：“今有金箠(chuí)，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．問金箠重幾何？”其意思為：“今有金杖(粗細均勻變化)長5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．問金杖重多少？”則答案是()A．14斤B．15斤C．16斤D．18斤3．一個等差數(shù)列的項數(shù)為2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1－a2n＝33，則該數(shù)列的公差是()A．3B．－3C．－2D．－14．一同學(xué)在電腦中打出如下圖案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若將此圖案依此規(guī)律繼續(xù)下去，那么在前120個中的●的個數(shù)是()5．在小于100的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A．765B．665C．763D．663二、填空題6．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋1，則a1＋a5＝________．7．Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若eq\f(Sn,S2n)＝eq\f(n＋1,4n＋2)，則eq\f(a3,a5)＝________．8．在等差數(shù)列{an}中，aeq\o\al(2,3)＋aeq\o\al(2,8)＋2a3a8＝9，且an＜0，則S10＝________．三、解答題9．設(shè){an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))的前n項和，求Tn．10．已知{an}是等差數(shù)列，公差為d，首項a1＝3，前n項和為Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20項和T20＝330．?dāng)?shù)列{bn}滿足bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范圍．

2．3等比數(shù)列第5課時等比數(shù)列的概念及通項公式知識點一等比數(shù)列的定義1．?dāng)?shù)列m，m，m，…一定()A．是等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．是等差數(shù)列，但不一定是等比數(shù)列D．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列2．若正數(shù)a，b，c依次成公比大于1的等比數(shù)列，則當(dāng)x＞1時，logax，logbx，logcx()A．依次成等差數(shù)列B．依次成等比數(shù)列C．各項的倒數(shù)依次成等差數(shù)列D．各項的倒數(shù)依次成等比數(shù)列知識點二等比數(shù)列的通項公式3．一批設(shè)備價值a萬元，由于使用磨損，每年比上一年價值降低b%，則n年后這批設(shè)備的價值為()A．na(1－b%)B．a(chǎn)(1－nb%)C．a(chǎn)(1－b%)nD．a(chǎn)[1－(b%)n]4．在等比數(shù)列{an}中，an＞0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，則a4＋a5的值為()A．16B．27C．36D．81知識點三等比數(shù)列的證明5．已知數(shù)列{an}的首項a1＝t>0，an＋1＝eq\f(3an,2an＋1)，n∈N*，若t＝eq\f(3,5)，求證eq\f(1,an)－1是等比數(shù)列并求出{an}的通項公式．知識點四等比中項及應(yīng)用6．已知一等比數(shù)列的前三項依次為x，2x＋2，3x＋3，那么－13eq\f(1,2)是此數(shù)列的第________項()A．2B．4C．6D．87．若互不相等的實數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，a是b，c的等比中項，且a＋3b＋c＝10，則a的值是()A．1B．－1C．－3D．－48．在等比數(shù)列{an}中，若a4a5a6＝27，則a3與a7的等比中項是________．易錯點一忽略對等比中項符號的討論9．若1，x，y，z，16這五個數(shù)成等比數(shù)列，則y的值為()A．4B．－4C．±4D．2易錯點二忽略等比數(shù)列中公比可正可負10．已知一個等比數(shù)列的前4項之積為eq\f(1,16)，第2項與第3項的和為eq\r(2)，則這個等比數(shù)列的公比為________．一、選擇題1．若等比數(shù)列{an}滿足anan＋1＝16n，則公比為()A．2B．4C．8D．16、2．在數(shù)列{an}中，a1＝1，點(an，an＋1)在直線y＝2x上，則a4的值為()A．7B．8C．9D．163．已知等比數(shù)列a1，a2，…a8各項為正，且公比q≠1，則()A．a(chǎn)1＋a8＝a4＋a5B．a(chǎn)1＋a8＜a4＋a5C．a(chǎn)1＋a8＞a4＋a5D．a(chǎn)1＋a8與a4＋a5大小關(guān)系不能確定4．一個數(shù)分別加上20，50，100后得到的三個數(shù)成等比數(shù)列，其公比為()A．eq\f(5,3)B．eq\f(4,3)C．eq\f(3,2)D．eq\f(1,2)5．在如下表格中，每格填上一個數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每一縱列成等比數(shù)列，則a＋b＋c的值為()A．1B．2C．3D．eq\f(9,8)二、填空題6．一個直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值是________．7．我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有人持金出五關(guān)，前關(guān)二稅一，次關(guān)三而稅一，次關(guān)四而稅一，次關(guān)五而稅一，次關(guān)六而稅一，并五關(guān)所稅，適重一斤．問本持金幾何”其意思為“今有人持金出五關(guān)，第1關(guān)收稅金eq\f(1,2)，第2關(guān)收稅金eq\f(1,3)，第3關(guān)收稅金eq\f(1,4)，第4關(guān)收稅金eq\f(1,5)，第5關(guān)收稅金eq\f(1,6)，5關(guān)所收稅金之和，恰好1斤重，設(shè)這個人原本持金為x，按此規(guī)律通過第8關(guān)”，則第8關(guān)需收稅金為________．8．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a2－a1＝1．當(dāng)a3取最小值時，數(shù)列{an}的通項公式an＝________．三、解答題9．等比數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a4＝16．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列{bn}的第3項和第5項，試求數(shù)列{bn}的通項公式及前n項和Sn．10．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝－1，且an＝3an－1－2n＋3(n＝2，3，…)．(1)求a2，a3，并證明數(shù)列{an－n}是等比數(shù)列；(2)求an．

第6課時等比數(shù)列的前n項和知識點一等比數(shù)列前n項和的直接應(yīng)用1．已知公比為q(q≠1)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列eq\f(1,an)的前n項和為()A．eq\f(qn,Sn)B．eq\f(Sn,qn)C．eq\f(1,Snqn－1)D．eq\f(Sn,a\o\al(2,1)qn－1)2．等比數(shù)列{an}的公比q＜0，已知a2＝1，an＋2＝an＋1＋2an，則{an}的前2020項和等于()A．2020B．－1C．1D．03．已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}中，a2·a6＝16，a3＋a5＝10，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝()A．2n－2－eq\f(1,4)B．2n－1－eq\f(1,2)C．2n－1D．2n＋1－24．等比數(shù)列{an}共有2n項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比q＝________．知識點二“知三求二”問題5．在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為()A．4B．5C．6D．76．?dāng)?shù)列{an}是以a為首項，q為公比的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝1＋a1＋a2＋…＋an(n＝1，2，…)，數(shù)列{cn}滿足cn＝2＋b1＋b2＋…＋bn(n＝1，2，…)．若{cn}為等比數(shù)列，則a＋q＝()A．eq\r(2)B．3C．eq\r(5)D．67．已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，Sn＝93，an＝48，公比q＝2，則項數(shù)n＝________．知識點三公式的綜合應(yīng)用8．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且4a1，2a2，a3成等差數(shù)列．若a1＝1，則S4等于()A．7B．8C．15D．169．已知{an}是公差不為零的等差數(shù)列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{2an}的前n項和Sn．易錯點忽視特殊情形致誤10．設(shè)數(shù)列{an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項和．求證：eq\f(lgSn＋lgSn＋2,2)＜lgSn＋1．一、選擇題1．在各項都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項a1＝3，前3項和為21，則a3＋a4＋a5等于()A．33B．72C．84D．1892．已知{an}是首項為1的等比數(shù)列，Sn是{an}的前n項和，且9S3＝S6，則數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前5項和為()A．eq\f(15,8)或5B．eq\f(31,16)或5C．eq\f(31,16)D．eq\f(15,8)3．如圖，畫一個邊長為2的正三角形，再將這個正三角形各邊的中點相連得到第二個正三角形，依此類推，一共畫了5個正三角形．那么這五個正三角形的面積之和等于()A．2eq\r(3)B．eq\f(21\r(3),16)C．eq\f(85\r(3),64)D．eq\f(341\r(3),256)4．已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝eq\f(1,4)，則a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝()A．16(1－4－n)B．16(1－2－n)C．eq\f(32,3)(1－4－n)D．eq\f(32,3)(1－2－n)5．某人為了觀看2020年奧運會，從2013年起每年5月10日到銀行存入a元定期儲蓄，若年利率為p，且保持不變，并約定每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新一年的定期，到2020年5月10日將所有存款和利息全部取回，則可取回的錢數(shù)(元)為()A．a(chǎn)(1＋p)7B．a(chǎn)(1＋p)8C．eq\f(a,p)[(1＋p)7－(1＋p)]D．eq\f(a,p)[(1＋p)8－(1＋p)]二、填空題6．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn(n∈N＋)，有下列三個命題：①若{an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則an＝an＋1；②若Sn＝an(a為非零常數(shù))，則{an}是等比數(shù)列；③若Sn＝1－(－1)n，則{an}是等比數(shù)列．其中真命題的序號是________．7．給定an＝log(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，定義乘積a1·a2…ak為整數(shù)的k(k∈N*)叫做“理想數(shù)”，則區(qū)間[1，2018]內(nèi)的所有理想數(shù)的和為________．8．已知{an}，{bn}均為等比數(shù)列，其前n項和分別為Sn，Tn，若對任意的n∈N*，總有eq\f(Sn,Tn)＝eq\f(3n＋1,4)，則eq\f(a3,b3)＝________．三、解答題9．已知等比數(shù)列{an}中，a1＝eq\f(1,3)，公比q＝eq\f(1,3)．(1)Sn為{an}的前n項和，證明：Sn＝eq\f(1－an,2)；(2)設(shè)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求數(shù)列{bn}的通項公式．10．等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知S1，S3，S2成等差數(shù)列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn．

2.4數(shù)列求和第17課時數(shù)列求和知識點一分組求和法1．求和：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)(a≠0)．2．求數(shù)列eq\f(3,2)，eq\f(9,4)，eq\f(25,8)，eq\f(65,16)，…的前n項和．知識點二裂項相消