第十四章線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析

第1頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三重點(diǎn)(1)拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)(2)掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟(3)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)返回第2頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時(shí)間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時(shí)域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時(shí)域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運(yùn)算法。14.1

拉普拉斯變換的定義1.拉氏變換法下頁上頁返回第3頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例一些常用的變換對數(shù)變換乘法運(yùn)算變換為加法運(yùn)算相量法時(shí)域的正弦運(yùn)算變換為復(fù)數(shù)運(yùn)算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))對應(yīng)f(t)(時(shí)域原函數(shù))下頁上頁返回第4頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三2.拉氏變換的定義定義[0,∞)區(qū)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s

復(fù)頻率下頁上頁返回第5頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+

開始，稱為0

+

拉氏變換。積分域注意今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區(qū)間

f(t)=(t)時(shí)此項(xiàng)

0象函數(shù)F(s)存在的條件：下頁上頁返回第6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三如果存在有限常數(shù)M和c

使函數(shù)f(t)

滿足：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因?yàn)榭偪梢哉业揭粋€(gè)合適的s

值使上式積分為有限值。下頁上頁象函數(shù)F(s)用大寫字母表示,如I(s)，U(s)原函數(shù)f(t)用小寫字母表示，如i(t),

u(t)返回第7頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三3.典型函數(shù)的拉氏變換(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回第8頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回第9頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)下頁上頁證返回第10頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例1解例2解根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個(gè)函數(shù)相加減的象函數(shù)時(shí)，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計(jì)算。下頁上頁結(jié)論返回第11頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三2.微分性質(zhì)下頁上頁證若足夠大0返回第12頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例解下頁上頁利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)返回第13頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三推廣：解下頁上頁返回第14頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁3.積分性質(zhì)證應(yīng)用微分性質(zhì)0返回第15頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁例解返回第16頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三4.延遲性質(zhì)下頁上頁證返回第17頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例1例2求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)求三角波的象函數(shù)解下頁上頁TTf(t)o1Ttf(t)o返回第18頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三求周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f1(t)為一個(gè)周期的函數(shù)例3解下頁上頁...tf(t)1T/2To返回第19頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁對于本題脈沖序列5.拉普拉斯的卷積定理返回第20頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁證返回第21頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開用拉氏變換求解線性電路的時(shí)域響應(yīng)時(shí)，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時(shí)間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下頁上頁(3)把F(s)分解為簡單項(xiàng)的組合部分分式展開法返回第22頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三利用部分分式可將F(s)分解為：下頁上頁象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論返回第23頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三待定常數(shù)的確定：方法1下頁上頁方法2求極限的方法令s=p1返回第24頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁例解法1返回第25頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三解法2下頁上頁原函數(shù)的一般形式返回第26頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁K1、K2也是一對共軛復(fù)數(shù)注意返回第27頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁返回第28頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例解下頁上頁返回第29頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁返回第30頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例解下頁上頁返回第31頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三

n=m

時(shí)將F(s)化成真分式和多項(xiàng)式之和由F(s)求f(t)的步驟：求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式求各部分分式的系數(shù)對每個(gè)部分分式和多項(xiàng)式逐項(xiàng)求拉氏反變換下頁上頁小結(jié)返回第32頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例解下頁上頁返回第33頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.4運(yùn)算電路基爾霍夫定律的時(shí)域表示：1.基爾霍夫定律的運(yùn)算形式下頁上頁根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運(yùn)算形式對任一結(jié)點(diǎn)對任一回路返回第34頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三u=Ri2.電路元件的運(yùn)算形式電阻R的運(yùn)算形式取拉氏變換電阻的運(yùn)算電路下頁上頁uR(t)i(t)R+-時(shí)域形式：R+-返回第35頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三電感L的運(yùn)算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運(yùn)算電路下頁上頁i(t)+u(t)

-L+-sLU(s)I(s)+-時(shí)域形式：sL+U(s)I(s)-返回第36頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三電容C的運(yùn)算形式C的運(yùn)算電路下頁上頁i(t)+u(t)

-C時(shí)域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)-返回第37頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三耦合電感的運(yùn)算形式下頁上頁i1**L1L2+_u1+_u2i2M時(shí)域形式：取拉氏變換,由微分性質(zhì)得互感運(yùn)算阻抗返回第38頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三耦合電感的運(yùn)算電路下頁上頁+-+sL2+sM++sL1-----+返回第39頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三受控源的運(yùn)算形式受控源的運(yùn)算電路下頁上頁時(shí)域形式：取拉氏變換b

i1+_u2i2_u1i1+R+__+R返回第40頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三3.RLC串聯(lián)電路的運(yùn)算形式下頁上頁u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)時(shí)域電路拉氏變換運(yùn)算電路運(yùn)算阻抗返回第41頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁運(yùn)算形式的歐姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏變換返回第42頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返回第43頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三電壓、電流用象函數(shù)形式；元件用運(yùn)算阻抗或運(yùn)算導(dǎo)納表示；電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下頁上頁電路的運(yùn)算形式小結(jié)例給出圖示電路的運(yùn)算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0時(shí)開關(guān)打開uc(0-)=25ViL(0-)=5A時(shí)域電路返回第44頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三注意附加電源下頁上頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-++-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t>0運(yùn)算電路返回第45頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路由換路前的電路計(jì)算uc(0-),iL(0-)；畫運(yùn)算電路模型，注意運(yùn)算阻抗的表示和附加電源的作用；應(yīng)用前面各章介紹的各種計(jì)算方法求象函數(shù)；反變換求原函數(shù)。下頁上頁1.運(yùn)算法的計(jì)算步驟返回第46頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例1(2)畫運(yùn)算電路解(1)計(jì)算初值下頁上頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)閉合，試用運(yùn)算法求電流i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回第47頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三(3)應(yīng)用回路電流法下頁上頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回第48頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁(4)反變換求原函數(shù)返回第49頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運(yùn)算電路1/sC+Uc(s)R返回第50頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁1/sC+Uc(s)R返回第51頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三t=0時(shí)打開開關(guān),求電感電流和電壓。例3下頁上頁解計(jì)算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運(yùn)算電路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回第52頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23注意返回第53頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三UL1(s)下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回第54頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三3.75ti1520下頁上頁uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返回第55頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁注意由于拉氏變換中用0-初始條件，躍變情況自動包含在響應(yīng)中，故不需先求t=0+時(shí)的躍變值。兩個(gè)電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個(gè)回路中無沖擊電壓。滿足磁鏈?zhǔn)睾?。返回?6頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁返回第57頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義線性線性時(shí)不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。下頁上頁返回第58頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動點(diǎn)阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下頁上頁注意若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng)h(t)。2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應(yīng)返回第59頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例下頁上頁1/4F2H2i(t)u1++--u21解畫運(yùn)算電路返回第60頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2++--1返回第61頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例下頁上頁解畫運(yùn)算電路電路激勵為，求沖激響應(yīng)GC+ucissC+Uc(s)G返回第62頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁3.應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)結(jié)論可以通過求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。

返回第63頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三K1=3,K2=-3例解下頁上頁圖示電路

，沖激響應(yīng)，求uC(t)。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)+-usCuc+-返回第64頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點(diǎn)和零點(diǎn)1.極點(diǎn)和零點(diǎn)下頁上頁當(dāng)

s=zi時(shí)，H(s)=0，

稱

zi為零點(diǎn)，zi

為重根，稱為重零點(diǎn)；當(dāng)

s=pj時(shí)，H(s)∞，

稱

pj為極點(diǎn)，pj

為重根，稱為重極點(diǎn)；返回第65頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三2.復(fù)平面（或s平面）在復(fù)平面上把H(s)的極點(diǎn)用‘

’表示，零點(diǎn)用‘

o

’表示。零、極點(diǎn)分布圖下頁上頁zi，

Pj為復(fù)數(shù)joo返回第66頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三例繪出其極零點(diǎn)圖。解下頁上頁返回第67頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁24-1jooo返回第68頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三14.8極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵響應(yīng)下頁上頁1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖擊響應(yīng)零狀態(tài)δ(t)h(t)1R(s)沖擊響應(yīng)H(s)和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對拉氏變換對。結(jié)論返回第69頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三H0=-10例已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個(gè)極點(diǎn)為s=0、s=-1，一個(gè)單零點(diǎn)為s=1，且有，求H(s)和h(t)解由已知的零、極點(diǎn)得：下頁上頁返回第70頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁2.極點(diǎn)、零點(diǎn)與沖激響應(yīng)若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為：討論當(dāng)pi為負(fù)實(shí)根時(shí)，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實(shí)根時(shí)，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)；極點(diǎn)位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點(diǎn)反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意返回第71頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁jo不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返回第72頁，共79頁，2023年，2月20日，星期三下頁上頁jo當(dāng)pi為共軛復(fù)數(shù)時(shí)，h(t)為衰減或增長的正弦函數(shù)；不穩(wěn)定電路穩(wěn)定