小波分析及其應用

小波分析及其應用內(nèi)容提綱一、小波分析發(fā)展史二、Fourier分析三、小波分析四、小波分析的應用小波分析發(fā)展歷史1807年Fourier提出傅里葉分析，1822年發(fā)表“熱傳導解析理論”論文1910年Haar提出最簡單的小波1980年Morlet提出平移伸縮的小波公式，用于地質(zhì)勘探。1985年Meyer和稍后的Daubeichies提出“正交小波基”，此后形成小波研究的高潮。1988年Mallat提出多分辨分析理論(MRA)，統(tǒng)一了語音識別中的徑向濾波，子帶編碼，圖象處理中的金字塔法等幾個不相關的領域當在某一個分辨度檢測不到的現(xiàn)象，在另一個分辨度卻很容易觀察處理。例如：

參考：M.Vetterli,”WaveletsandSubbandCoding“,PrenticeHallPTR,1995p.11小波分析是純數(shù)學、應用數(shù)學和工程技術的完美結合。從數(shù)學來說是大半個世紀“調(diào)和分析”的結晶(括傅里葉分析、函數(shù)空間等)。

小波變換是20世紀最輝煌科學成就之一。在計算機應用、信號處理、圖象分析、非線性科學、地球科學和應用技術等已有重大突破。

小波分析的應用我們知道，任何復雜的周期信號f(t)可以用簡單的調(diào)和振蕩函數(shù)表示成如下形式：這就是著名的傅立葉級數(shù)，coskω0t和sinkω0t都是簡單的調(diào)和振蕩級數(shù)，直觀講都是正弦波。ak和bk是函數(shù)f(t)的傅立葉系數(shù)，可由以下公式計算：實Fourier級數(shù)于是，周期函數(shù)f(t)就與下面的傅立葉序列產(chǎn)生了一一對應，即從數(shù)學上已經(jīng)證明了，傅立葉級數(shù)的前N項和是原函數(shù)f(t)在給定能量下的最佳逼近：借助Euler公式復Fourier級數(shù)可得周期為2π的函數(shù)f(t)的復數(shù)形式的Fourier級數(shù)為其中系數(shù)的計算公式為對于L2(R)上的非周期函數(shù)f(t)，有稱為f(t)的傅立葉變換，反變換公式為Fourier變換與逆Fourier變換有了傅立葉變換，我們可以很容易地將時域信號f(t)轉(zhuǎn)換到頻域上，于是信號的頻率特性一目了然，并且與傅立葉級數(shù)一樣，傅立葉變換將一段信號的主要低頻能量都集中在頻率信號的前面幾項，這種能量集中性有利于進一步的處理。在過去200年里，傅立葉分析在科學與工程領域發(fā)揮了巨大的作用，但傅立葉分析也有不足，主要表現(xiàn)在以下三點：傅立葉分析需要使用到時域的全部信號；傅立葉分析不能刻畫時域信號的局部特性；傅立葉分析對非平穩(wěn)信號的處理效果不好。Fourier變換的優(yōu)缺點歌聲是一種聲音震蕩的波函數(shù)。但遺憾地是，傅立葉變換無法反映信號在哪一時刻有高音，在哪一時刻有低音，因此結果是所有的音符都擠在了一起，如圖所示。

小波變換有效地克服了傅立葉變換的這一缺點，信號變換到小波域后，小波不僅能檢測到高音與低音，而且還能將高音與低音發(fā)生的位置與原始信號相對應，如圖所示。Fourier基與小波基傅里葉變換(Fourier)基小波基時間采樣基小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提?。▓D象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復雜性分別如下公式：

小波變換的特點基本小波函數(shù)定義1

函數(shù)(t)L2(R)稱為基本小波，如果它滿足以下的“容許”條件：如果是連續(xù)的，易得：規(guī)范性：母小波的例子：Harr小波：母小波的例子：Mexico草帽小波：母小波的例子：Morlet小波：Daubechies小波小波變換的分類：連續(xù)小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都連續(xù)的小波變換。離散參數(shù)小波變換時間連續(xù)，控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)離散的小波變換。離散小波變換時間、控制窗口大小的參數(shù)和時移參數(shù)都離散的小波變換。連續(xù)小波變換：連續(xù)小波變換的定義：假設信號f(t)L2(R)，則它的連續(xù)小波變換定義為：尺度伸縮參數(shù)時間平移參數(shù)歸一化因子連續(xù)小波變換的物理意義：時域上的意義：數(shù)學顯微鏡（一組有效寬度不同的窗口傅立葉變換的匯集）頻域上的意義：若f(t)的傅立葉變換為F()，a,b(t)的傅立葉變換為a,b()，則根據(jù)Parseval定理有：連續(xù)小波變換的物理意義：連續(xù)小波變換的逆變換：以a,b(t)為變換核的連續(xù)小波變換的逆變換：假設f(t)、(t)L2(R)：連續(xù)小波變換存在的問題連續(xù)小波變換中含有很多冗余信息，冗余信息不利于對信號的分析和處理。連續(xù)小波變換的計算量也大。由于連續(xù)小波變換中有冗余信息，可能對尺度和時移參數(shù)進行離散化后仍可重構信號。離散小波變換離散小波變換的定義：小波分析在一維信號處理中的應用小波變換使得“原始信號s”(最好是2的整次冪倍)“小波系數(shù)w”其中w=[wa

,wd]近似(approximation)系數(shù)wa---平均成分（低頻）細節(jié)(detail)系數(shù)wd---變化成分（高頻）

小波原始信號分解過程：原始信號s可分解成小波近似a與小波細節(jié)d之和。s=a+d 小波系數(shù)w=[wa

,wd]的分量，乘以基函數(shù)，形成小波分解： 小波近似系數(shù)wa

×基函數(shù)A=近似分解a---平均 小波細節(jié)系數(shù)wd

×基函數(shù)D=細節(jié)分解d---變化

小波分解和小波基

小波基D小波基A原始信號小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基AMallat分解算法WaveletAnalysisanditsApplications分解系數(shù)：信號不同頻率分解圖：Mallat重構算法重構系數(shù)：信號重構流程圖：WaveletAnalysisanditsApplicationsMallat算法舉例1.一維信號的Haar小波分解：16點信號：[6598378565981339]通過MATLAB(wavemenu)實現(xiàn)小波近似系數(shù)（加）小波細節(jié)系數(shù)（減）Haar小波濾波參數(shù)如下：WaveletAnalysisanditsApplications33Haar小波基母函數(shù)

（a）Haar“近似”基函數(shù)（b）Haar“細節(jié)”基函數(shù)低頻濾波系數(shù)高頻濾波系數(shù)

H0=[11]×qH1=[1-1]×q=[qq]=[q-q]其中：

Mallat算法舉例分解過程： [6598378565981339]1級分解=[6*0.5+5*0.5

9*0.5+8*0.5

3*0.5+7*0.5

8*0.5+5*0.5

6*0.5+5*0.5

9*0.5+8*0.5

1*0.5+3*0.5

3*0.5+9*0.5]=[5.5,8.5,5,6.5,5.5,8.5,2,6]=[6*0.5-5*0.5

9*0.5-8*0.5

3*0.5-7*0.5

8*0.5-5*0.5

6*0.5-5*0.5

9*0.5-8*0.5

1*0.5-3*0.5

3*0.5-9*0.5]=[0.5,0.5,-2,1.5,0.5,0.5,-1,-3]Mallat算法舉例2級分解 =[6+5+9+8

3+7+8+5

6+5+9+8

1+3+3+9]/2 =[14,11.5,14,8]

是二級近似分解原始信號每4個數(shù)的和值除以2

=[6+5-9-8

3+7-8-5

6+5-9-8

1+3-3-9]/2 =[-3,-1.5,-3,-4]

是二級細節(jié)分解，原始信號前一對數(shù)的和值減去下一對數(shù)的和值除以2Mallat算法舉例原始信號s=[6598378565981339]2級小波系數(shù)*Haar是正交變換。除以常數(shù)，目的使變換后平方和不變。例如：Matlab的小波分析圖形界面工具原始信號s=[6598378565981339]2級小波系數(shù)在Matlab命令窗口中輸入如下命令即可>>s=[6598378565981339];>>saves.mats;>>wavemenu在wavemenu中做二層小波分解保存小波分解結果：filesavecoefficients或positionMallat算法舉例2.二維信號的Haar小波分解：HLHHLLLH離散小波變換舉例2D離散小波變換：WaveletAnalysisanditsApplications44Mallat算法任何一幅圖像都可以分解為兩部分：低頻（主體信息）高頻（細節(jié)紋理）Mallat算法：將信息的低頻與高頻部分分開處理的信號的塔式多分辨分解與重構的算法。WaveletAnalysisanditsApplicationsMallat算法舉例LL:水平豎直方向均低頻，表示近似分量；HL:水平方向高頻，豎直方向低頻，可檢測豎線；LH:水平方向低頻，豎直方向高頻，可檢測橫線；HH:水平豎直方向均高頻，可檢測出對角線。小波去噪

一般噪聲特點：（1）高頻成分（細節(jié)），（2）幅度小：用閾值；去噪聲過程：去除原始信號高頻成分（細節(jié)）中幅度小于閾值部分。對2級小波，設定2個閾值，稱“閾值2”和“閾值1”。去除1級噪聲：去除1級小波細節(jié)分解中小于“閾值1”部分。去除2級噪聲：去除2級小波細節(jié)分解中小于“閾值2”部分。恢復：將小波近似分解，加上去噪后小波細節(jié)分解，即獲得去除噪聲的信號

小波變換在一維信號處理中的應用通過MATLAB實現(xiàn)(wavemenu)波形圖

(MATLAB\toolbox\wavelet\wavedemo\leleccum.mat) 是“電網(wǎng)監(jiān)視的電壓曲線”， 有4570個點 Haar小波變換

haar小波(s=a2+d2+d1)(wavemenu)leleccumLevel2

(s-原始信號，a2-近似，d1-d2細節(jié))1級細節(jié)分解(奇偶數(shù)值的差)2級細節(jié)分解(前2和后2的差)原始信號(紅)2級近似分解值2級小波分解波形中的毛刺(見下頁)

1級細節(jié)分解(奇偶數(shù)值的差)2級細節(jié)分解(前2和后2的差)原始信號(紅)2級近似分解值2級小波分解（放大）波形中的毛刺圖-5haar(s=a5+d5+..+d1)(wavemenu)leleccumLevel5

a5-近似，d5-d1細節(jié)附錄-5(wavemenu)leleccumhaarLevel5

leleccum.mat是有36560個點的一維電壓信號(s-原始信號，a1-近似，d1-細節(jié))信號前2和后2的差---細節(jié)2信號奇偶數(shù)值的差---細節(jié)1原始信號信號---近似值5級小波分解小波去噪聲leleccumhaar小波

兩級小波系數(shù)1級細節(jié)小波系數(shù)2級細節(jié)小波系數(shù)黃虛線表示閾值wd1wd2原始信號(紅),去噪后(黃)|wd1|1級去噪前絕對值|wd1|1級去噪后絕對值|wd2|2級去噪后絕對值|wd2|2級去噪前絕對值小波變換在圖象處理中的應用圖象是二維信號，其小波變換相當于二次一維信號的小波變換：。（1）第一次一維信號的小波變換相當于圖象的行變換。（2）第二次一維信號的小波變換相當于圖象的列變換。 小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標準如JPEG2000。小波變換用于圖象特征抽取

第1級斜線細節(jié)第1級水平細節(jié)第1級垂直細節(jié)水平細節(jié)近似圖象垂直細節(jié)斜線細節(jié)

第1級L1斜線細節(jié)第1級L1水平細節(jié)第1級L1垂直細節(jié)第2級L2細節(jié)近似圖象第3級L3小波系數(shù)分級方塊表示法圖像消噪

對二維圖像信號的消噪的方法同樣適用于一維信號，尤其是對于幾何圖像更適合。二維模型可以表述為

s(i，j)＝f(i，j)＋se(i，j)

(i，j＝0，…，m－1)

其中，e是標準偏差不變的高斯白噪聲。二維信號的消噪步驟與一維信號的消噪步驟完全相同，也有三步，只是用二維小波分析工具代替了一維小波分析工具。如果用固定的閾值形式，則閾值的選擇用m2代替一維信號中的n。這三步是：

(1)二維信號的小波分解。選擇一個小波和小波分解的層次N，然后計算信號s到第N層的分解。

(2)對高頻系數(shù)進行閾值量化。對于從1到N的每一層，選擇一個閾值，并對這一層的高頻系數(shù)進行軟閾值量化處理。

(3)二維小波的重構。根據(jù)小波分解的第N層的低頻系數(shù)和經(jīng)過修改的從第1層到第N層的各層高頻系數(shù)，來計算二維信號的小波重構。

例：給定一個有較大白噪聲的tire.mat信號，利用二維小波變換對圖像進行消噪。

解：由于圖像所含的噪聲主要是白噪聲，而且主要集中在圖像的高頻部分，因此我們可以通過全部濾掉圖像中的高頻部分實現(xiàn)圖像的消噪。具體消噪過程可由如下程序進行：

%裝載原始圖像，X中含有被裝載的信號

loadtire；

%畫出原始圖像

subplot(221)；image(X)；colormap(map)；

title(￠原始圖像￠)；

axissquare%使得坐標軸區(qū)域成為方形

%產(chǎn)生含噪圖像

init＝2055615866；randn(￠seed￠，init)

x＝X＋38*randn(size(X))；

%畫出含噪聲圖像

subplot(222)；image(x)；colormap(map)；

title(￠含噪聲圖像￠)；

axissquare；

%＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

%下面進行圖像的消噪處理

%用小波函數(shù)sym4對x進行兩層小波分解［c，s］＝wavedec2(x，2，￠sym4￠)；

%提取小波分解中第一層的低頻圖像，即實現(xiàn)了低通濾波消噪

a1＝wrcoef2(￠a￠，c，s，￠sym4￠，1)；

%畫出消噪后的圖像

subplot(223)；image(a1)；

title(￠第一次消噪圖像￠)；

axissquare；

%提取小波分解中第二層的低頻圖像，即實現(xiàn)了低通濾波消噪

%這相當于把第一層的低頻圖像經(jīng)過再一次的低頻濾波處理

a2＝wrcoef2(￠a￠，c，s，￠sym4￠，2)；

%畫出消噪后的圖像

subplot(224)；image(a2)；

title(￠第二次消噪圖像￠)；

axissquare；

輸出結果如圖所示。

從輸出結果可以看出，第一次消噪已經(jīng)濾去了大部分的高頻噪聲，但通過消噪圖像與原始圖像相比可以看出，第一次消噪后的圖像中還是含有不少的高頻噪聲；第二次消噪是在第一次消噪的基礎上，再次濾去其中的高頻噪聲，從消噪的結果可以看出，它具有較好的消噪效果。數(shù)學計算

在這里，我們用小波分析這一數(shù)學工具處理一些數(shù)學問題，從某種意義上講，這種應用可幫助讀者對小波分析理論有更進一步的理解。

例1：對于一給定的正弦信號s(i)＝sin(i×p/100＋p/4)，i＝0，1，…，99，請利用多分辨分析對該信號進行分解與重構。

解：該問題可以說是一個純粹的數(shù)學問題，通過對該問題的講解，我們可以加深對小波分析中的多分辨分析的理解，即如何對信號進行多層分解與重構。

在這里，我們分別選用db1和coif3小波對該正弦信號進行三層多分辨分析，處理過程可編程如下：

t＝0：pi/100：4*pi；

s＝sin(t＋pi/4)；

subplot(532)；plot(s)；

title(￠原始信號￠)；

［c，l］＝wavedec(s，3，￠db1￠)；grid；

ca3＝appcoef(c，l，￠db1￠，3)；%提取小波分解的低頻系數(shù)

cd3＝detcoef(c，l，3)；%提取第三層的高頻系數(shù)

cd2＝detcoef(c，l，2)；%提取第二層的高頻系數(shù)cd1＝detcoef(c，l，1)；%提取第一層的高頻系數(shù)

figure(2)；

subplot(421)；plot(ca3)；

title(￠第三層低頻系數(shù)￠)；

subplot(423)；plot(cd1)；

title(￠第一層高頻系數(shù)￠)；

subplot(425)；plot(cd2)；

title(￠第二層高頻系數(shù)￠)；

subplot(427)；plot(cd3)；

title(￠第三層高頻系數(shù)￠)；

s1＝waverec(c，l，￠db1￠)；ca3＝appcoef(c，l，￠coif3￠，3)；%提取小波分解的低頻系數(shù)cd3＝detcoef(c，l，3)；%提取第三層的高頻系數(shù)cd2＝detcoef(c，l，2)；%提取第二層的高頻系數(shù)cd1＝detcoef(c，l，1)；%提取第一層的高頻系數(shù)subplot(422)；plot(ca3)；title(￠第三層低頻系數(shù)￠)；subplot(424)；plot(cd1)；title(￠第一層高頻系數(shù)￠)；subplot(426)；plot(cd2)；title(￠第二層高頻系數(shù)￠)；

subplot(428)；plot(cd3)；

title(￠第三層高頻系數(shù)￠)；

s2＝waverec(c，l，￠coif3￠)；

figure(3)；

subplot(521)；plot(s1)；grid；

title(￠db1小波重構信號￠)；

［c，l］＝wavedec(s，3，￠coif3￠)；

subplot(522)；plot(s2)；grid；

title(￠coif3小波重構信號￠)

輸出結果如圖所示。

例2：給定一信號(信號文件名為leleccum.mat)，請用db1小波對信號分別進行單尺度和三尺度分解，求出各次分解的低頻系數(shù)和高頻系數(shù)，并分別對低頻系數(shù)、高頻系數(shù)以及低高頻系數(shù)進行重構。

解：該問題是運用小波分析進行信號單、多尺度分解與重構方法的一次全面的討論。通過對該問題的分析，主要讓讀者清楚如何用小波分析對信號進行單尺度、多尺度分解以及對信號進行部分重構以及全面重構。程序如下：

%裝載一原始的一維信號

loadleleccum；s＝leleccum(1：3920)；

ls＝length(s)；

%畫出原始波形圖

figure(1)；

subplot(511)；plot(s)；Ylabel(￠s￠)；

title(￠原始信號s及單尺度分解的低頻系數(shù)ca1和高頻系數(shù)cd1￠)；

%用小波db1進行單尺度一維分解

［ca1，cd1］＝dwt(s，￠db1￠)；

%畫出分解后的低頻系數(shù)ca1和高頻系數(shù)cd1

subplot(523)；plot(ca1)；Ylabel(￠ca1￠)；

subplot(524)；plot(cd1)；Ylabel(￠cd1￠)；

%分別對低頻系數(shù)ca1和高頻系數(shù)cd1進行重構

a1＝upcoef(￠a￠，ca1，￠db1￠，1，ls)；

d1＝upcoef(￠d￠，cd1，￠db1￠，1，ls)；

%分別畫出重構后低頻部分和高頻部分的波形圖

figure(2)；

subplot(511)；plot(a1)；Ylabel(￠a1￠)；

title(￠單尺度分解的低頻重構信號、高頻重構信號及合成重構信號￠)

subplot(512)；plot(d1)；Ylabel(￠d1￠)；

%畫出a1＋d1的波形圖，即對s的分解系數(shù)直接進行重構

a0＝idwt(ca1，cd1，￠db1￠，ls)；

subplot(513)；plot(a0)；Ylabel(￠a1＋d1￠)；

%用db1小波對信號進行三層分解

［c，l］＝wavedec(s，