經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一階微分方程

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)一階微分方程第1頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、可分離變量的微分方程與分離變量法設(shè)有一階微分方程則稱方程為可分離變量的微分方程,其中都是連續(xù)函數(shù).根據(jù)這種方程的特點(diǎn),我們可通過積分來求解.設(shè)用除方程的兩端,用乘以方程的兩端,以使得未知函數(shù)與自變量置得,第2頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四兩邊積分,得如果則易知也是方程的解.求解可分離變量的方程的方法稱為分離變量法.上述第3頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第4頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1求微分方程解分離變量?jī)啥朔e分從而記則得到題設(shè)方程的通解第5頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第6頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第7頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例3解分離變量得得求微分方程的通解.的各項(xiàng),先合并及設(shè)兩端積分得于是第8頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四則得到題設(shè)方程的通解記注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中,用它除方程兩邊,這樣得到的通解,不包含使的特解.但是,其失去的解仍包含在通解中.如在本例中,我們得有時(shí)如果我們擴(kuò)大任意常數(shù)的取值范圍,則到的通解中應(yīng)該但這樣方程就失去特解而如果允許則仍包含在通解中.的前提下,我們?cè)诩俣ǖ?頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例4某公司年凈資產(chǎn)有(百萬元),并且資產(chǎn)本身以每年5%的速度連續(xù)增產(chǎn),同時(shí)該公司每年要以30百萬元的數(shù)額連續(xù)支付職工工資.(1)給出描述凈資產(chǎn)的微分方程;(2)求解方程,這時(shí)假設(shè)初始凈資產(chǎn)為(3)討論在三種情況下,變化特點(diǎn).解(1)利用平衡法,即由凈資產(chǎn)增長(zhǎng)速度資產(chǎn)本身增長(zhǎng)速度職工工資支付速度得到所求微分方程第10頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解(1)得到所求微分方程(2)分離變量,得兩邊積分,得(為正常數(shù)),于是將代入,得方程通解:上式推導(dǎo)過程中當(dāng)時(shí),或第11頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四通常稱為平衡解,仍包含在通解表達(dá)式中.(3)由通解表達(dá)式可知,當(dāng)百萬元時(shí),產(chǎn)額單調(diào)遞減,公司將在36年破產(chǎn);凈資萬元時(shí),公司將收支平衡,當(dāng)百將資產(chǎn)保持在600百萬元不變;當(dāng)百萬元時(shí),不斷增大.公司凈資產(chǎn)將按指數(shù)第12頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、齊次方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法作變量代換代入原式,得可分離變量的方程1.定義)(xyfdxdy=形如.)(xuufdxdu-=即第13頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四,ln)(1xCuufdu=-ò得第14頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例5解原方程變形為求解微分方程令則故原方程變?yōu)榧捶蛛x變量得,dxduxudxdy+=齊次方程第15頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四分離變量得兩邊積分得或便得所給方程的通解為回代第16頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例6求下列微分方程的通解:解原方程變形為令則代入原方程并整理兩邊積分得即變量回代得所求通解第17頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四課堂練習(xí)求解微分方程解,dxduxudxdy+=則第18頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四微分方程的解為第19頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:上面方程稱為齊次的.上面方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性微分方程第20頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四齊次方程的通解為1.一階線性齊次方程一階線性微分方程的解法由分離變量法第21頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.一階線性非齊次方程討論兩邊積分即非齊次方程通解形式對(duì)照),()(xvdxyxQ為設(shè)òò=-dxxPCey)(齊次方程的通解第22頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法.實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量代換.作變換第23頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一階線性非齊次微分方程的通解為:對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解第24頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解例7第一步，求相應(yīng)的齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第25頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解例7第二步，常數(shù)變易法求非齊次方程的通解.2的通解求方程xxydxdy=-第26頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解例7第27頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例8解方程化為其中.02)6(2的通解求方程=+-ydxdyxy第28頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四所以第29頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、利用變量代換求微分方程的解解代入原方程原方程的通解為.)(92的通解求例yxdxdy+=第30頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例10

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q解下列微分方程:解所求通解為貝努利方程,2dxdyydxdz=則第31頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解分離變量法得所求通解為,dxdyxydxdz+=則第32頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四解代入原式分離變量法得所求通解為另解（一階線性微分方程）,1-=dxdudxdy則.yxdydx+=方程變形為第33頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、小結(jié)1.可分離變量的微分方程:分離變量法（1）分離變量;（2）兩端積分-------隱式通解.可分離變量的微分方程解法：第34頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.線性非齊次方程2.齊次方程齊次方程的解法線性非齊次方程的解法第35頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考題1.求解微分方程2.方程是否為齊次方程?第36頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四思考題解答為所求解.第37頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.方程兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo):原方程是齊次方程.第38頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第39頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四練習(xí)題一、求下列微分方程的通解:

1.0tansectansec22=+xdyyydxx；

2.0)()(=++-++dyeedxeeyyxxyx；

3.0)1(32=++xdxdyy.

二、

求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.xdxyydyxsincossincos=,40p==xy；

2.0sin)1(cos=++-ydyeydxx,40p==xy.

第40頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第41頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四五、

求下列齊次方程的通解:

1.0)(22=-+xydydxyx；

2.0)1(2)21(=-++dyyxedxeyxyx.

六、

求下列齊次方程滿足所給初始條件的特解:

1.1,02)3(022==+-=xyxydxdyxy；

2.,0)2()2(2222=-++-+dyxxyydxyxyx

11==xy.

第42頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四七、求下列微分方程的通解:

1.xexyysincos-=+￠；

2.0)ln(ln=-+dyyxydxy；

3.02)6(2=+-ydxdyxy.

八、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:

1.4,5cot2cos-==+=pxxyexydxdy；

2..0,132132==-+=xyyxxdxdy

第43頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第44頁(yè)，共49頁(yè)，2023年，2月20日，星期四十、

用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q將下列方程化為可分離變量的方程,然后求出通解:

1.11+-=yxdxdy；

2.1cossin2sin)1(sin222+--+-+=￠xxxyxyy；

3.xyxyxdxdy-=)(sin12.

十一、已知微分方程)(xgyy=+￠,其中

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