三年級還原問題

還原問題知識結(jié)構(gòu)一、還原問題已知一個數(shù)，經(jīng)過某些運算之后，得到了一個新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運算順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原問題.還原問題又叫做逆推運算問題.解這類問題利用加減互為逆運算和乘除互為逆運算的道理，根據(jù)題意的敘述順序由后向前逆推計算.在計算過程中采用相反的運算，逐步逆推.二、解還原問題的方法在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反.方法：倒推法?？谠E：加減互逆，乘除互逆，要求原數(shù)，逆推新數(shù).關(guān)鍵：從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘.列式時還要注意運算順序，正確使用括號重難點還原法的知識點畫圖在解題過程中的應(yīng)用例題精講【例1】某數(shù)先加上3,再乘以3,然后除以2,最后減去2,結(jié)果是10,問：原數(shù)是多少？【考點】計算中的還原問題 【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】分析時可以從最后的結(jié)果是10逐步倒著推。這個數(shù)沒減去2時應(yīng)該是多少？沒除以2時應(yīng)該是多少？沒乘以3時應(yīng)該是多少？沒加上3時應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒減去2,此數(shù)是：10+2=12，如果沒除以2,此數(shù)是：12x2=24，如果沒乘以3,此數(shù)是：24+3=8，如果沒加上3，此數(shù)是：8—3=5，綜合算式(10+2)x2+3-3=5，原數(shù)是5.【答案】5【鞏固】(2008年“陳省身杯”國際青少年數(shù)學(xué)邀請賽)有一個數(shù)，如果用它加上6,然后乘以6,再減去6,最后除以6，所得的商還是6，那么這個數(shù)是 。Page1of12

【考點】計算中的還原問題 【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】將最終結(jié)果進(jìn)行逆推，得：（6x6+6）+6-6=1【答案】1【例2】學(xué)學(xué)做了這樣一道題：某數(shù)加上10,乘以10,減去10,除以10,其結(jié)果等于10,求這個數(shù).小朋友，你知道答案嗎？【考點】計算中的還原問題 【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】根據(jù)題意，一個數(shù)，經(jīng)過加法、乘法、減法、除法的變化，得到結(jié)果10，應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10,根據(jù)加、減法與乘、除法的互逆運算，倒著往前計算.10,根據(jù)加、減法與乘、除法的互逆運算，倒著往前計算.10x10=100,100+10=110,110+10=11,11-10=1綜合算式為：（10x10+10）+10-10=（100+10）+10-10=110+10-10=11-10=1所以這個數(shù)為1.解這種還原問題的關(guān)鍵是從最后結(jié)果出發(fā)，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘.列式時還要注意運算順序，正確使用括號，這種逆向思維的方法是數(shù)學(xué)中常用的思維方法.【答案】1【鞏固】學(xué)學(xué)做了這樣一道題：一個數(shù)加上3,減去5,乘以4,除以6得16,求這個數(shù).小朋友，你知道答案嗎？【考點】計算中的還原問題 【難度】1星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】根據(jù)題意，一個數(shù)，經(jīng)過加法、減法、乘法、除法的變化，得到結(jié)果16,應(yīng)用逆推法，由結(jié)果10,根據(jù)加、減法與乘、除法的互逆運算，倒著往前計算.某數(shù)16某數(shù)16綜合算式為：16x6+4+5-3=96+4+5-3=24+5-3=29-3=26【答案】26Page2of12【例3】牛老師帶著37名同學(xué)到野外春游.休息時，小強問：“牛老師您今年多少歲啦?〃牛老師有趣地回答：“我的年齡乘以2,減去16后，再除以2,加上8,結(jié)果恰好是我們今天參加活動的總?cè)藬?shù).〃小朋友們，你知道牛老師今年多少歲嗎？【考點】計算中的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】采用倒推法，我們可以從最后的結(jié)果”參加活動的總?cè)藬?shù)〃即38倒著往前推.這個數(shù)沒加上8時應(yīng)是多少？沒除以2時應(yīng)是多少？沒減去16時應(yīng)是多少？沒乘以2時應(yīng)是多少？這樣依次逆推，就可以求出牛老師今年的歲數(shù).沒加上8時應(yīng)是：38-8=30;沒除以2時應(yīng)是：30x2=60;沒減去16時應(yīng)是：60+16=76;沒乘以2時應(yīng)是：76+2=38,即[(38-8)x2+16]+2=38(歲).【答案】38歲【鞏固】學(xué)學(xué)和思思在游玩時，遇到一位小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！〃誰知這位神仙搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加上75,再除以5,然后減去15,再乘以10,恰好是2000歲.〃小朋友，你知道這位神仙現(xiàn)在有多少歲嗎？【考點】計算中的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】這就是一個還原問題，可以用倒推法解決.從結(jié)果“2000”逐步倒著推，沒乘10時是多少？沒減去15時是多少？沒除以5時是多少？沒加75時是多少？這樣依次倒推，就可以知道神仙的年齡了.⑴ “乘以10,恰好是2000”，不乘10時，應(yīng)該是：2000+10=200⑵ “減去15”是200,不減15時，應(yīng)該是：200+15=215⑶ “除以5”是215,不除以5,應(yīng)該是：215x5=1075⑷現(xiàn)在的年齡加上75是1075,如果不加75,這個數(shù)是：1075-75=1000也就是神仙現(xiàn)在的年齡是1000歲.驗算：按原題順序進(jìn)行列式計算，看最后是否等于2000,如果等于2000,則解題正確.1000+75=1075,1075+5=215,215-15=200,200x10=2000.【答案】1000歲【例4】在電腦里先輸入一個數(shù)，它會按給定的指令進(jìn)行如下運算:如果輸入的數(shù)是偶數(shù)，就把它除以2；如果輸入的數(shù)是奇數(shù)，就把它加上3.同樣的運算這樣進(jìn)行了3次，得出結(jié)果為27.原來輸入Page3of12

的數(shù)可能是【考點】計算中的還原問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】可逆思想方法，第七屆，小數(shù)報【解析】本題用倒推法解.最后結(jié)果是27,上一步的結(jié)果是54,再上一步的結(jié)果是108或51,原來輸入的數(shù)是216,105,102.思路如下:27216105I27216105I10854|J102511148（不合意）24（不合意）?【答案】216或105或102，答案不唯一【鞏固】假設(shè)有一種計算器，它由小B、C、D四種裝置組成，將一個數(shù)輸入一種裝置后會自動輸出另一個數(shù)。各裝置的運算程序如下：裝置A將輸入的數(shù)加上6之后輸出；裝置B:將輸入的數(shù)除以2之后輸出；裝置C：將輸入的數(shù)減去5之后輸出；裝置D:將輸入的數(shù)乘以3之后輸出。這些裝置可以連接，如在裝置A后連接裝置B，就記作：AfB。例如：輸人1后，經(jīng)過AfB，輸出3.5。（1）若經(jīng)過AfB-C-D，輸出120,則輸入的數(shù)是多少?⑵若經(jīng)過BfD-A-C,輸出13,則輸入的數(shù)是多少？【考點】計算中的還原問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級，二試，第16題，可逆思想方法【解析】方法一：逆向考慮。（1）輸入到D的數(shù)為120+3=40,輸入到C的數(shù)為40+5=45,輸入到B的數(shù)為45*2=90,所以輸入到A的數(shù)是90-6=84。（2）輸入到C的數(shù)是13+5=18,輸入到A的數(shù)是18-6=12,輸入到D的數(shù)是12+3=4,所以輸入到B的數(shù)是4x2=8。、. ° （x+6 ' 。一，方法二：（1）設(shè)輸入的數(shù)是x，則（ 5x3=120解得，x=84。（2）設(shè)輸入的數(shù)是y，則I2Jyx3+6-5=13，解得y=82【答案】（1）84;（2）8【例5】哪吒是個小馬虎，他在做一道減法題時，把被減數(shù)十位上的6錯寫成9,減數(shù)個位上的9錯寫成6,最后所得的差是577,那么這道題的正確答案應(yīng)該是多少呢？【考點】計算中的還原問題 【難度】2星【題型】解答Page4of12【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】被減數(shù)十位上的6變成9,使被減數(shù)增加90-60=30，差也增加了30;減數(shù)個位上的9錯寫成6,使減數(shù)減少了9-6=3，這樣又使差增加了3，這道題可以說成：正確的差加上30后又加上3得577,求正確的差.所以列式得：577-(9-6)-(90-60)=544.這題的正確答案應(yīng)該是544.【答案】544【鞏固】小馬虎在做一道加法題時，把一個加數(shù)個位上的9看作6，十位上的6看作9，結(jié)果和是174，那么正確的結(jié)果應(yīng)該是多少呢？【考點】計算中的還原問題 【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】我們可以這樣理解這道題的意思：一個數(shù)(正確答案)，由于小馬虎兩次錯誤的計算，變成了另一個數(shù)(錯誤結(jié)果)，我們知道引起這種變化的原因是：①把個位上的9看作6，這就相當(dāng)于把正確答案減少了9-6=3②把十位上的6看作9，這就相當(dāng)于把正確答案增加了：10x(9-6)=30這樣原題就變成了“一個數(shù)減去3，再加上30，所得結(jié)果是174，求這個數(shù).〃我們只要把少加的加上，多加的減去，就可以求出正確的結(jié)果：174+(9-6)-10x(9-6)=174+3-30=147【答案】147【例6】一只猴吃63只桃，第一天吃了一半加半只，以后每天吃前一天剩下的一半再加半只，則天后桃子被吃完?！究键c】單個變量的還原問題 【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】2008年，第6屆，希望杯，4年級，1試【解析】通過畫表格的方式,可知答案是6.【答案】6天【鞏固】乒乓球從高空落下，到達(dá)地面后彈起的高度是落下高度的一半，如果乒乓球從8米的高度落下，那么彈起后再落下，則彈起第次時它的彈起高度不足1米?！究键c】單個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】第七屆，走美杯，三年級，初賽，可逆思想方法【解析】彈起第一次時變?yōu)?米，彈起第二次時變?yōu)?米，彈起第三次時變化為1米，第4次彈起時不足Page5of121米，所以彈起第4次時不足1米?！敬鸢浮?次【例7】李奶奶賣一筐雞蛋，第一位客人買走了一半少2個，第二位客人又買走了剩下的一半多2個，

第三位客人把剩下的5個雞蛋全部買走了.老婆婆的籃子里原來有 個雞蛋.【考點】單個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，學(xué)而思杯，1年級，第12題，可逆思想方法【解析】用倒堆的方法，第二位客人沒有買走之前共有7+7=14（個），第一位客人沒買走之前就是14—2=12（個），12+12=24（個）.＜考點〉數(shù)學(xué)方法倒退法【答案】24個【鞏固】小紅看一本故事書，第一天看了這本書的一半又10頁，第二天看了余下的一半又10頁，第三天看了10頁正好看完。這本故事書共有頁?！究键c】單個變量的還原問題 【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，希望杯，第五屆，五年級，一試，第13題，可逆思想方法【解析】第三天看的10頁等于第一天看了余下的一半少10頁，所以第一天看了余下了（10+10）x2=40頁，所以原來有（40+10）x2=100頁.【答案】100頁【例8】學(xué)學(xué)看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長的一半還多2米，第二次用去余

下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？【考點】單個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法川去13米還剩9米第:雙F? ? .?【解析】根據(jù)題意，畫圖倒推分析： 15+9=24（米）川去 剌卜4米第二次r-廣一 ]10?米 （24-10）X2=28（米）Page6of12

用去第一次-一.. 用去第一次-一.. 剩E我米一半;(28+2)x2=60(米)所以，這根繩子全長60米.【答案】60米【鞏固】一個人沿著公園馬路走了全長的一半后，又走了剩下路程的一班，還剩下1千米，問：公園馬路全長多少千米？【考點】單個變量的還原問題 【難度】3星【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】如圖:【解析】如圖:采取倒推的方法，1千米是第一次剩下的路程的一半，所以第一次剩下路程就是1X2=2（千米）。而第一次剩下的路程2千米又是全程長的一半，所以全程長為2x2=4（千米）。答：公園馬路全長為4千米?！敬鸢浮?千米【例9】盒子里有若干個球。小明每次拿出盒中的一半再放回一個球。這樣共操作了7次，袋中還有3個球。袋中原有（ ）個球?！究键c】單個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2010年，第8屆，走美杯，3年級，初賽【解析】倒退法：如，第7次操作前，還剩（3-1）x2=4個球。3.第7次4.第6次6,第5次10.第4次18.第3次34.第2次66.第1次100【答案】4個球【鞏固】有一個培養(yǎng)某種微生物的容器，這個容器的特點是：往里面放入微生物，再把容器封住，每過一個夜晚，容器里的微生物就會增加一倍，但是，若在白天揭開蓋子，容器內(nèi)的微生物就會正好減Page7of12少16個。小麗在實驗的當(dāng)天往容器里放入一些微生物，心急的她在第二、三、四天斗開封看了看，到第五天，當(dāng)她又啟封查看時，驚訝地發(fā)現(xiàn)微生物都沒了。請問：小麗開始往容器里放了一個微生物？【考點】單個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2007年，希望杯，第五屆，四年級，二試，第15題【解析】還原倒推：0-16-8-24-12-28-14-30-15所以原來容器內(nèi)放了15個微生物.【答案】15個【例10】小麗用4元買了一本《童話大王》，又用剩下的錢的一半買了一本《兒童時代》，買鋼筆又用去第二次剩下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問：小麗原有多少錢？【考點】單個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法原有錢數(shù)YtV「MJ4元 剩下的一半剩下的一半1元4元【解析】用倒推法，第二次剩下的一半是4+1=5（元），第二次剩下5x2=10（元），第一次剩下10x2=20（元），原來有20+4=24（元）。列綜合算式：（4+1）x2x2+4=24答：小麗原有24元?！敬鸢浮?4元【鞏固】有一筐蘋果，甲取出一半又1個；乙取出余下的一半又1個；丙取出再余下的一半又1個，這時筐里只剩下1個蘋果。這筐蘋果共值6元6角，問每個蘋果平均值多少錢？【考點】單個變量的還原問題 【難度】3星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】Page8of12從上面的線段圖可以看出：最后剩下的1個再加上丙取出的1個就是再余下的一半，即2個是再余下的一半，因此，再余下的就是2x2=4（個）；4個再加上乙取出的1個就是余下的一半，所以，甲取出后余下的就是5x2=10（個）；10個再加上甲取出的1個就是全筐的一半，所以，全筐蘋果的總數(shù)是11x2=22（個）。22個蘋果共值6元6角，于是可求出每個蘋果平均值多少錢？先求有多少個蘋果：{[（1+1）x2+1]x2+1}x2=22（個）再求每個蘋果平均值多少錢：66?22=3（角），每個蘋果平均值3角錢。【答案】3角課堂檢測【隨練1】一個數(shù)減16加上24,再除以7得36,求這個數(shù).你知道這個數(shù)是幾嗎？【考點】計算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】36x7-24+16=244.【答案】244【隨練2】小智問小康：“你今年幾歲？〃小康回答說：“用我的年齡數(shù)減去8,乘以7,加上6,除以5,正好等于4.請你算一算，我今年幾歲？”【考點】計算中的還原問題【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】分析時可以從最后的結(jié)果是4逐步倒著推。這個數(shù)沒除以5時應(yīng)該是多少？沒沒加上6時應(yīng)該是多少？沒乘以7時應(yīng)該是多少？沒減去8時應(yīng)該是多少？這樣依次逆推，就可以推出某數(shù)。如果沒除以5，此數(shù)是：4x5=20如果沒加上6，此數(shù)是：20-6=14如果沒乘以7，此數(shù)是：14+7=2如果沒減去8，此數(shù)是：2+8=10綜合算式：（4x5-6）+7+8=10（歲）答：小康今年10歲?！敬鸢浮?0歲Page9of12【隨練3】淘氣在做一道減法時，把減數(shù)個位上的9看成了3,把十位上的4看成了7,得到的結(jié)果是164,請你幫淘氣算算正確的答案應(yīng)該是多少呢？【考點】計算中的還原問題【難度】2星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】164+（73—49）=188或164—6+30=188.【答案】188家庭作業(yè)【作業(yè)1】一個數(shù)的四分之一減去5,結(jié)果等于5,則這個數(shù)等于?！究键c】計算中的還原問題 【難度】1星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，五年級，二試，第3題【解析】方法一：倒推計算知道，一個數(shù)的四分之一是10，所以這個數(shù)是10x4=40。方法二：令這個數(shù)為x，則-%-5=5，所以％=40。4【答案】40【作業(yè)2】少先隊員采集樹種子，采得的個數(shù)是一個有趣的數(shù).把這個數(shù)除以5,再減去25,還剩25,你算一算，共采集了多少個樹種子？【考點】計算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】（25+25）x5=250（個），即共采集了250個樹種子.【答案】250【作業(yè)3】一次數(shù)學(xué)競賽頒獎會上，小剛問老師：“我得了多少分？〃老師說:“你的得分減去6后，縮小2倍，再加上10后，擴大2倍，恰好是100分〃.小剛這次競賽得了多少分？【考點】計算中的還原問題【難度】1星 【題型】解答【關(guān)鍵詞】可逆思想方法【解析】從最后一個條件“恰好是100分〃向前推算.擴大2倍是100分，沒有擴大2倍之前應(yīng)是100+2=50（分），加上10后是50分，沒有加上10前應(yīng)是50-10=40（分），縮小2倍是40分，那么沒有縮小2Page10