經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（中開本、金融專業(yè)）期末考試說明

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)（中開本、金融專業(yè)）期末考試說明

本課程期末考試采用閉卷筆試形式，卷面滿分為100分，開放教育學(xué)生的卷面成績加平時(shí)

作業(yè)成績滿60分為及格?？荚嚂r(shí)間為120分鐘。

多元函數(shù)微積分、線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)各部分所占分?jǐn)?shù)的百分比與它們在教學(xué)內(nèi)容中所

占課時(shí)的百分比大致相當(dāng)，

試題類型分為單項(xiàng)選擇題、填空題、解答題和證明題。單項(xiàng)選擇題的形式為四選一，即

在每題的四個(gè)備選答案中選出一個(gè)正確答案；填空題只要求直接填寫結(jié)果，不必寫出計(jì)算過

程和推理過程；解答題包括計(jì)算題、應(yīng)用題，解答題要求寫出文字說明、演算步驟或推證過

程。三種題型分?jǐn)?shù)的百分比為：單項(xiàng)選擇題20%、填空題20%、解答題45%、證明題15%。

多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)要點(diǎn)

,在學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分過程中要注意以下幾個(gè)問題：

1.知道二元函數(shù)的定義和幾何意義，會求二元函數(shù)的定義域。

2.知道偏導(dǎo)數(shù)的概念；熟練掌握給定的具體函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法；掌

握復(fù)合函數(shù)（抽象形式的，如2=/（孫，2））一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法，會計(jì)算隱函數(shù)的一

X

階偏導(dǎo)數(shù)；熟練掌握全微分的求法。

?一般的復(fù)合函數(shù)形式如：

Z=/（M,V）

其中u=w（x,y）,v=v（x,y）,變量之間的關(guān)系可以用下圖表示

U----------->X

利用“連線相乘，分線相加”的原則，得到

dzdzdudzdv

------------1-------

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

---=--------1-------

dydudydvdy

?函數(shù)z=的全微分為:

,dz,dz,

dz=d.r+--dy

dxdy'

熟悉了函數(shù)的全微分，再根據(jù)微分運(yùn)算法則和一階微分形式不變性可以方便地求出隱函

數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。

3了解二元函數(shù)極值的概念，知道極值點(diǎn)存在的必要條件，熟練掌握用拉格朗日乘數(shù)法

求較簡單的極值應(yīng)用問題。

?用拉格朗日乘數(shù)法求較簡單的極值應(yīng)用問題的步驟是：

①利用已知條件和相關(guān)知識建立函數(shù)關(guān)系（以二元函數(shù)為例）

Z=f(x,y)

并確定約束條件

9(，y)=0

②拉格朗日函數(shù)

F(x,y,A)=f(x,y)+沏?(x,y)

③由

F；=0

?F；=0

5=0

確定F(x,y,2)的駐點(diǎn)(%,%，%)，并由問題的實(shí)際意義確定(與，兒，兒)就是最值點(diǎn)，

從而得到z=/0,y)的最值點(diǎn)(尤o,y0)和最值/(%,%)。

多元函數(shù)重積分學(xué)習(xí)要點(diǎn)

在學(xué)習(xí)多元函數(shù)重積分中要注意以下幾點(diǎn)：

1.知道二重積分的定義，了解二重積分的幾何意義和性質(zhì)。

?二重積分的幾何意義：

當(dāng)/(x,y)20時(shí)，二重積分J1/(x,y)dcr是以z=/(x,y)為頂，區(qū)域。為底的曲頂

柱體體積。

特別地，當(dāng)/(x,y)三1時(shí)，區(qū)域。的面積4=

?由二重積分的幾何意義知

222

\\Dyla-x-yd(y=我，

其中D={(x,y)\x2+y2<a2}

?二重積分的性質(zhì)是指線性性質(zhì)和對積分區(qū)域的可加性，即

J[伙/(x,y)±k2f2(x,y)]d<7=勺f{(x,y)d(7±&f2(x,y)da

和

J￡/U，>與。=J￡f(x,y)dcr+J]/(x,y)dcr

其中。=。+。2

2.熟練掌握直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算方法；會在直角坐標(biāo)系下交換積分次序；會

在極坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分。

?二重積分的計(jì)算關(guān)鍵是根據(jù)被積函數(shù)和積分區(qū)域的特點(diǎn)選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，確定積分

上、下限，把二重積分化為累次積分。

?二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算公式是

JJ/(尤，>,)dcr=JJ/(x,y)dxdy

DD

其中面積元素為dcr=dxdy。

上述公式化為累次積分計(jì)算可以得到兩個(gè)計(jì)算公式

(1)設(shè)積分區(qū)域D由直線x==方和曲線>'=干\(x),y=(p2{x}圍成。

。={*，y)|n<x<b,(p}{x}<y<(p-,]

則先對y積分，再對x積分，化累次積分為

JJ/(x,y)dy

D

(2)設(shè)積分區(qū)域。由直線y=c,y=d和曲線x=%(y),x=%(y)圍成。

則先對x積分，再對y積分，化累次積分為

JJ/(x，y)dxdy=(無，y)dx

具體計(jì)算二重積分時(shí)選擇以上兩個(gè)公式中的哪一個(gè),要根據(jù)積分區(qū)域的形狀和被積函數(shù)

的特點(diǎn)來確定。但是無論是先對x積分，再對y積分，還是先對y積分，再對無積分最終計(jì)

算的結(jié)果應(yīng)該是相同的。正確地選擇積分次序可以使積分計(jì)算簡便。

?計(jì)算二重積分的步驟是：

(I)畫出積分區(qū)域。的草圖，根據(jù)圖形的特點(diǎn)確定積分順序是先對x積分，還是先對

y積分；

(II)聯(lián)立方程，確定區(qū)域。的坐標(biāo)應(yīng)滿足的不等式，從而確定積分上、下限，化為前

面的情形(1)或(2)的累次積分；

(ill)利用公式計(jì)算積分。

行列式學(xué)習(xí)要點(diǎn)

在學(xué)習(xí)行列式中要注意以下幾點(diǎn)：

1理解n階行列式定義

2掌握計(jì)算行列式的方法，數(shù)字最高為四階，字母最高為三階。

3知道克萊姆法則

矩陣學(xué)習(xí)要點(diǎn)

在學(xué)習(xí)矩陣要注意以下幾點(diǎn)：

1、知道矩陣的概念、熟練掌握矩陣的運(yùn)算。

2、了解矩陣、單位矩陣、數(shù)量矩陣、對角陣、上(下)三角陣、對稱矩陣、正交矩陣

的定義和性質(zhì)、能夠利用它們的性質(zhì)和定義進(jìn)行簡單的證明。

3、了解可逆矩陣和逆矩陣的概念及性質(zhì)。掌握矩陣可逆的充分必要條件、公用伴隨矩

陣法和初等行變換法求矩陣的逆矩陣，能夠利用簡單的性質(zhì)和定理進(jìn)行簡單的證明。

4、會求矩陣的秩。

線性方程組復(fù)習(xí)要點(diǎn)

重點(diǎn)

主要概念：齊次線性方程組非齊次線性方程組方程組的矩陣表示系數(shù)矩陣增廣矩陣一

般解通解（全部解）特解基礎(chǔ)解系自由元（自由未知量）

〃維向量線性組合（線性表出）線性相關(guān)線性無關(guān)極大線性無關(guān)組向量組的秩向

量空間向量空間的基和維數(shù)

主要性質(zhì)：齊次線性方程組解的性質(zhì)非齊次線性方程組解的性質(zhì)

主要定理：

線性方程組的理論

齊次線性方程組有非零解的充分必要條件齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

非齊次線性方程組有解的充分必要條件非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

向量組線性相關(guān)性的有關(guān)定理

極大無關(guān)向量組的有關(guān)定理

主要方法：高斯消元法

齊次線性方程組解的情況判別

非齊次線性方程組解的情況判別

AX=0基礎(chǔ)解系的求法

AX=8（8。0）通解的求法

向量組線性相關(guān)（無關(guān)）的判別法

極大線性無關(guān)組的求法

本章重點(diǎn)：向量組相關(guān)性的概念及判別，線性方程組相容性定理，齊次線性方程組基礎(chǔ)解系

幾通解的求法，非齊次線性方程組特解和全部解的求法。

隨機(jī)事件與概率復(fù)習(xí)提要

在學(xué)習(xí)矩陣要注意以下幾點(diǎn)：

1.了解隨機(jī)事件的概念。

學(xué)習(xí)隨機(jī)事件的概念時(shí)，要注意它的兩個(gè)特點(diǎn)：

⑴在一次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生；即隨機(jī)事件的發(fā)生具有偶然性。

⑵在大量重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件的發(fā)生具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

2.掌握隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算，掌握概率的基本性質(zhì)。

要了解必然事件、不可能事件的概念，事件間的關(guān)系是指事件之間的包含、相等、和、積、

互斥（互不相容）、對立、差等關(guān)系和運(yùn)算。

在事件的運(yùn)算中，要特別注意下述性質(zhì)：A+B=A+AB,A=AB+AB

A+B=AB,AB=A+B

概率的主要性質(zhì)是指

①對任一事件A,有

0<P（A）<1

②P(U)=1,P(0)=O

③對于任意有限個(gè)或可數(shù)個(gè)事件A,,…，A“，若它們兩兩互不相容，則

P(ZAD=ZP(4)

kk

3.了解古典概型的條件，會求解簡單的古典概型問題。

在古典概型中，任一事件A的概率為

P(A)=L

n

其中攵是A所包含的基本事件個(gè)數(shù)，n是基本事件的總數(shù)。

4.熟練掌握概率的加法公式和乘法公式，理解條件概率，掌握全概公式。

⑴加法公式：對于任意事件A,3,有

P(A+B)=P(A)+P(B)—P(AB)

特別地，當(dāng)AB=0時(shí)有

P(A+B)=P(A)+P(B)

⑵條件概率：對于任意事件A,8,若P(8)H0,有

P(AB)

P(A|8)=

P(B)

稱P(A忸)為B發(fā)生的條件下A發(fā)生條件概率。

⑶乘法公式：對于任意事件A,3,有

P(AB)=(此時(shí)P(B)HO)

或P(AB)=P(A)P(B\A)(此時(shí)P(A)聲0)

⑷全概公式：事件A1,42,…，4兩兩互不相容，且BugAj,則

i=\

P(3)=fp(4)p(網(wǎng)4)

/=1

5.理解事件獨(dú)立性概念，會進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

若事件A,8滿足

P(8)=P(B|A)(當(dāng)時(shí)P(A)，O)

或P(A)=P(A|3)(當(dāng)時(shí)P(8)HO)

則稱事件A與8相互獨(dú)立。A與8相互獨(dú)立的充分必要條件是

P(AB)=P(A)P(B)

隨機(jī)變量及其數(shù)字特征復(fù)習(xí)提要

在學(xué)習(xí)矩陣要注意以下幾點(diǎn)：

1.理解隨機(jī)變量的概率分布、概率密度的概念，了解分布函數(shù)的概念，掌握

有關(guān)隨機(jī)變量的概率計(jì)算。

常見的隨機(jī)變量有離散型和連續(xù)型兩種類型。離散型隨機(jī)變量用概率分布

出｝來刻畫，出）滿足:

①Pj>0

②￡pi=1

i

連續(xù)型隨機(jī)變量用概率密度函數(shù)/（X）來刻畫，/（X）滿足：

①人九"0

②p7（x）dx=l

隨機(jī)變量X的分布函數(shù)/（尤）定義為

F（x）=P（X<x）

對于離散型隨機(jī)變量X有

F（x）=XPi

Xj<iX

對于連續(xù)型隨機(jī)變量X有

F（x）=［：/⑺dr

2.了解期望、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的概念，掌握求隨機(jī)變量期望、方差的方法。

⑴期望：隨機(jī)變量的期望記為E（X）,定義為

E（X）=Zx,.pj（離散型隨機(jī)變量，｛pj是X的概率分布）

i

=（連續(xù)型隨機(jī)變量，/（x）是X的概率密度）

⑵方差：隨機(jī)變量的方差記為。（X）,定義為

O（X）=Z［x,.-E（X）『p,（離散型隨機(jī)變量）

。（乂）=匚［》-￡（乂）］2/（尤）dr（連續(xù)型隨機(jī)變量）

⑶隨機(jī)變量函數(shù)的期望：隨機(jī)變量丫是隨機(jī)變量X的函數(shù)，即Y=g（X）,

若E（y）存在，則在兩種形式下分別表示為

E（y）=Zg（Xi）p,（離散型隨機(jī)變量，｛pj是x的概率分布）

E(y)=J：g(x)/(x)dx(連續(xù)型隨機(jī)變量，/(x)是X的概率密度)

由此可得方差的簡單計(jì)算公式

D(X)=E(X2)-E(X)2

⑷期望與方差的性質(zhì)

①若c為常數(shù)，則E(c)=c,Z)(c)=0

②若火為常數(shù)，則E(kX)=kE(X),D(kX)=ED(X)

③若a,b為常數(shù),則E(aX+b)=aE(X)+0,D(aX+")=a20(x)

3.掌握幾種常用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的分布以及它們的期望與方差。熟

練掌握正態(tài)分布的概率計(jì)算，會查正態(tài)分布表(見附表)。

常用分布：

⑴二項(xiàng)分布X~B(〃，p)的概率分布為

Pk=P(X=k)=Cpk(i—p)"-k伏=o,i,2,.,〃；O<p<l)

特別地，當(dāng)〃=1時(shí)，X~3(l,p),叫做兩點(diǎn)分布。

⑵均勻分布X~U(a,力的密度函數(shù)為

'1,

----,a<x<b

f{x)=\b-a

0,其它

⑶正態(tài)分布X~N(4,<T2)的密度函數(shù)為

1.C

e

/(%)=——7=2b(-00<x<+℃>)

6/2〃

其圖形曲線有以下特點(diǎn)：

①/(x)20,即曲線在x軸上方。

②/'(4+c)=/'(//-C),即曲線以直線x=//為對稱軸，并在x=//處/(X)達(dá)

到極大值/(〃)=T=。

。川2兀

③在尤=4±。處，曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)。

④當(dāng)XT±8時(shí)，/(幻70,即/*)以x軸為水平漸近線。

特別地，當(dāng)4=0,。=1時(shí)，X~N(0,l),表示X是服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨

機(jī)變量。

將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的線性變換：

若乂~帽4，〃)，令丫=豈二幺，則y~N(0,l),且丫的密度函數(shù)為

(7

1

g(x)=——e2(―oo<x<+<x>)

服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量丫?N(O,I)的概率為

e2dr=①(x)

那么一般正態(tài)分布的隨機(jī)變量乂~N("d)的概率可以通過下列公式再查表求

出

VI\n/?！?X—/Jb—/J不/匕―〃、不/。一〃、

Pn(/a<X<h)=P(———<.......-<———)=C>(———)-0(———)

aaaaa

常見分布的期望與方差：

二項(xiàng)分布X~8(",p)：E(X)=np,D(X)=即(1-p)

均勻分布X?a,如玖用=等，。(刈=耍

正態(tài)分布X~NW，")：E(X)=〃，O(X)=(T2

4.了解隨機(jī)變量獨(dú)立性的概念，了解兩個(gè)隨機(jī)變量的期望與方差及其性質(zhì)。

對于隨機(jī)變量X,y,若對任意x,y有

P(X<x,Y<>)=P(X<x)P(y<y)

則稱X與y相互獨(dú)立。

對隨機(jī)變量X-X2,…，x“，有

E(X1+X2+…+X“)=E(X1)+E(X2)+-+E(X“)

若X「X2,…，X“相互獨(dú)立，則有

￡>(X]+X2+…+X“)=0(X1)+D(X2)+-+￡>(X“)

數(shù)理統(tǒng)計(jì)推斷復(fù)習(xí)提要

在學(xué)習(xí)矩陣要注意以下幾點(diǎn)：

1.理解總體、樣本，統(tǒng)計(jì)量等概念，知道22分布，?分布，會查表。

所研究對象的一個(gè)或多個(gè)指標(biāo)的全體稱為總體，組成整體的基本單位稱為個(gè)體，從總體

中抽取出來的個(gè)體稱為樣品，若干個(gè)樣品組成的集合稱為樣本。樣本中所含的樣品個(gè)數(shù)稱為

樣本容量。

統(tǒng)計(jì)量就是不含未知參數(shù)的樣本函數(shù)。

2.掌握參數(shù)的最大似然估計(jì)法。

最大似然估計(jì)法：設(shè)x-X2,…，x”是來自總體x~/（x；e）（其中未知）的樣本，

而X],%2,…，X”為樣本值，使似然函數(shù)

L（仇X],馬，…,x.）=/U,；；6）…/（X”；8）

達(dá)到最大值的。稱為參數(shù)e的最大似然估計(jì)值。一般地，e的最大似然估計(jì)值3滿足以下方

程

dinL八

-----=（）

d。

3.了解估計(jì)量的無偏性，有效性概念。

參數(shù)e的估計(jì)量認(rèn)%,9,…，尤“）若滿足

E（0）=e

則稱2為參數(shù)。的無偏估計(jì)量。

若優(yōu)，區(qū)都是6的無偏估計(jì)，而且0（4）K0（%），則稱,比應(yīng)更有效。

4.了解區(qū)間估計(jì)的概念，熟練掌握方差已知條件下單正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的求法,

掌握方差未知條件下單正態(tài)總體期望的置信區(qū)間的求法。

當(dāng)置信度a確定后，方差已知條件下單正態(tài)總體期望的置信區(qū)間是

[x-■■,—1,x+A一廠]

y/ny/n

其中。是總體標(biāo)準(zhǔn)差，亍是樣本均值，〃是樣本容量，4由①（m=1-0確定。

2

方差未知條件下單正態(tài)總體期望的置信區(qū)間是

[x~A——,x+

」一￡（￡—元）2稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，4滿足產(chǎn)（卜區(qū)2）=1-a。

其中s二

"-1/=!

5.知道假設(shè)檢驗(yàn)的基本思想，掌握單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)方法，會作單正態(tài)總體方差

的檢驗(yàn)方法。

單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn)方法包括U檢驗(yàn)法和T檢驗(yàn)法。

⑴U檢驗(yàn)法：設(shè)項(xiàng)，々，…，刀”是正態(tài)總體X~N（4，〃）的一個(gè)樣本，其中〃未知，

cr?已知。用Xi，/，…，與檢驗(yàn)假設(shè)“o：4=4o（4o是已知數(shù)），

選取統(tǒng)計(jì)量U=與華?（其中元=」之七），U~N（O,1）。對給定的顯著性水平a,

（y/4nn占

查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布數(shù)值表得到,，使得

2

①（Z。）=

f2

因?yàn)镻（\U\>zp=a,故若⑼>Zg,相當(dāng)于小概率事件發(fā)生了，則拒絕Ho（即接受&）；

2~2

否則接受”0（此時(shí)稱“0相容）。

⑵T檢驗(yàn)法：設(shè)/，》2,…，居是正態(tài)總體X~N（/z,cr2）的一個(gè)樣本，其中4，4均

未知。用修，尤2,…，相檢驗(yàn)假設(shè)“0：4=〃0（〃0是已知數(shù)），

選取統(tǒng)計(jì)量T=三誓（其中s=、」一，>》—為）2,一稱為當(dāng)，々，…，居的樣本

5/VnVn-17^

方差，它是的無偏估計(jì)量），T服從自由度為“-1的，分布。對給定的顯著性水平a,

查，分布的臨界值表得到臨界值心，使得

用刀>J）=a

若忸〉J，相當(dāng)于小概率事件發(fā)生了，則拒絕“°（即接受“I）；否則接受4°（此時(shí)稱"o

相容）。

多元函數(shù)微分學(xué)典型例題解析

例1（1）函數(shù)z=-----1-----的定義域?yàn)開________________。

ln（l-%-y）

（2）設(shè)函數(shù)z=e'+V,z；（—1,1）=。

（3）可微函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)（與，孔）達(dá)到極值，則必有。

1

解（1）因?yàn)楹瘮?shù)2=的定義域應(yīng)為:

In(l-x-y)

1—x—y>0

<

1-X+y

即尤+y<l且x+ywO。

應(yīng)該填寫：x+y＜l且x+ywO

（2）因?yàn)椤?lxe2+y2,所以4一1,1）=2?（-1＞尸.=一262。

dx

應(yīng)該填寫：-2e?

（3）由極值存在的必要條件知，可微函數(shù)/（x,y）在點(diǎn)（%,打）達(dá)到極值，則

/；（/，No）=0,f：（Xo，No）=。。

應(yīng)該填寫：＜（Xo，yo）=OJ；（Xo，yo）=O

例2⑴設(shè)z=/（再，），求半，手及出。

yoxoy

（2）設(shè)z=cos，_2y）,求

oxoy

“、.八z十力dzdx

（3）設(shè)e-xyz=xy,求一,——,——

解（1）設(shè)〃==其函數(shù)關(guān)系如圖

y

U------------X

利用“連線相乘，分線相加”的原則，得到

dzdzdudzdv

——=——~-F-----

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv

---=-------1-------

dydudydvdy

口士加1ydu1xdv1

且有菽=5匕寄=5日H京X

y2

dzdzdudzdv

于是-------------F

dxdudxdvdx

dzdzdudzdv1xdzxdz

—=---—+—---=-

dydudydvdyyduy~dv

由函數(shù)z=y(w,v)的全微分公式得

.dzdz,I[ydz13z-1[xdzxHz、、

dz=—dxtHdy=[—/------1-----]dx+[—I---------；]dy

dxdy2A\xduydv2yduy2dv,

Az

(2)因?yàn)椤?-sin(x2-2y)-2x

dx

3zddzd.o\o\

=—(-sin(x2-2y)-2x)

oxoydyaxdy

-2xcos(x2-2y)?(-2)=4xcos(x2-2y)

(3)[方法一]公式法：F(x,y,z)=ez-xyz-xy

則字=一》一）

dx

dF

=-xz-X

利用公式，得

8F

運(yùn)==_yz—y=yz+y

dxdFez-xyez-xy

dz

dF

dz_dy_-xz-x_xz+x

dydfez-xye2-xy

dz

dF

dx_c)y__-xz-x_xz+x

力dF-yz-yyz+y

dx

［方法二］因?yàn)榉匠逃腥齻€(gè)變量，所以只有兩個(gè)變量是獨(dú)立的，求三時(shí)，將Z看成

ox

的函數(shù)。即在方程兩邊同時(shí)對工求導(dǎo)，得

,dzdz

e~~~yz-xy—=y

oxox

解出

dz)‘z+y

dxe"一孫

同理

,dzdz

e~---xz_xy—=x

dydy

解出

dz_xz+x

dyt2-xy

求用時(shí)，x是y,z的函數(shù)，方程兩邊求導(dǎo)得:

dxdx

-xz—yz——=x+y—

dydy

解出

dx_xz+x

dyyz+y

［方法三］利用微分形式的不變性和微分的運(yùn)算求出全微分的同時(shí)，求出偏導(dǎo)數(shù)。

d(e2-xyz)=d(孫)

ezdz-yzdx-xzdy-xydz=ydx+xdy

(ez-xy)dz=(yz+y)dx+(xy+x)dy

yz+yixz+xi

dz=-4———dx+-...dy

ez-xy-xy

Hz_yz+ydzxz+X

所以

dxez-xydye2-xy

若把微分式整理成：

(yz+y)dx=(e2-xy)dz-(xy+x)dy

r,dxxz+x

則—=-------

oyyz+y

例3在平面2x—y+z=2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到原點(diǎn)和(—1,0,2)的距離平方和最小。

解：設(shè)所求的點(diǎn)為(x,y,z),則到原點(diǎn)和點(diǎn)(-1,0,2)的距離平方和為

I=x2+y2+z2+(x+l)2+y2+(z-2)2

又因?yàn)辄c(diǎn)(%,%2)在平面2%-丁+2=2上，得到

條件函數(shù)為2x-y+z-2=0

F(^x,y,z,A)=x~+y-+z~+(x+1)~+y2+(z—2)~+A,[2,x-y+z—2)

dF

——=2x+2(x-1)+2/i=0

dx

dF

—=2y+2y—A=0

,dy

/F

—=2z+2(z-2)+4=0

dz

dFcc八

——=2x-y+z-2=()

、dA

解出x==0,z=1

27

由于只求出唯一駐點(diǎn)，又知一定存在平面上的點(diǎn)，該點(diǎn)到原點(diǎn)和定點(diǎn)的距離平方和最小,

所以平面上的點(diǎn)(；,0,1)到原點(diǎn)和點(diǎn)(一1,0,2)的距離平方和最小。

重積分典型例題解析

例1填空

222

(1)根據(jù)二重積分的幾何意義，jj/)y/R-x-ydxdy=。(其中

O={(x,y)|/+；/<我2卜

(2)累次積分交換積分次序后，得到的積分為。

(3)已知積分區(qū)域。={(%,刈W<1,b+1|41},二重積分JJ/(九，y)(kdy在直角

D

坐標(biāo)系下化為累次積分的結(jié)果是。

解(1)由二重積分的幾何意義，Jj"R2_x2_y2dAs表示球心在圓點(diǎn)，半徑為R的

上半球體的體積，故為士2成3a。

3

2

應(yīng)該填寫：—2砥3。

3

0<x<1

(2)由已知的累次積分，得積分區(qū)域?yàn)?一一廠，若變換積分次序，即先積x后

x<y<yjx

積y,則積分變量y的上、下限必須是常量，而積分變量了的積分上、下限必須是常量或是

y的函數(shù)，因此積分區(qū)域應(yīng)表為.I；"；；,于是交換后的積分為fd)f；/(x,y)ck。

應(yīng)該填寫：￡d)j：/(x,y)dr。

(3)由己知的積分區(qū)域?yàn)镈={(x,y)||x|<l,|y+l|<l)可知區(qū)域。滿足聯(lián)立不等式

-1<X<1

組《即而解得4,因?yàn)閮蓚€(gè)積分變量的上、下限都是常量，所以

-2<y<0

可隨意選擇積分的順序，若先積x后積y,則應(yīng)填(尤,y)dr,反之應(yīng)填

力?。

應(yīng)該填寫：J(x,y)dy或

例2單項(xiàng)選擇

(1)二重積分JJx2dxdy可表達(dá)為累次積分()。

區(qū)—+尸“

A.fdefr3cos20dr；B.fr3dr[cos20^0；

JoJiJoJi

C?「呵D.。時(shí)■尤2dx

(2)由曲面Z=j4--2—y2和z=0及柱面X2+y2=1所圍的體積是()。

A.「"阿力4-r”；B.4jd0^^rV4-r2dr；

JoJo~2~

C.-產(chǎn)dr；D.4frV4-r2dr

JoJoJoJo

解(1)因?yàn)榉e分區(qū)域是環(huán)域lW/+y2《4,若選擇極坐標(biāo)系計(jì)算積分，令

x=rcos^

y=rsin^

則代入解得區(qū)域。={(r,6)|lWrW2,0W/W2〃},所以A正確；若選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算

積分，要利用積分區(qū)間的可加性，或利用區(qū)域的對稱性，JJ/drdy=4JJ/dxdy,

\<x2+y2<4\<x2+y2<4

x>0,y>0

于是再選擇積分的順序，若先積X后積y,則積分區(qū)域

22

D={(X,y)\^-y<x<j4-y,l<y<2}

反之積分區(qū)域。={(九,y)|Jl-尤2WyW44-/jwxW2},所以C,D都是錯(cuò)誤的。

應(yīng)該選擇：A

(2)由曲面z=j4-/一/和z=0及柱面4+y2=1所圍的體積應(yīng)是以球面

Z=-九2_y2被圓柱面+y2=1和Qxy面所截的體積，由二重積分的幾何意義知，

積分區(qū)域?yàn)?+>2<1,被積函數(shù)為Z=)4-。若選擇極坐標(biāo)系求積分，則積分

區(qū)域。={(r,e)|0WeW2〃,04rWl},被積函數(shù)為,4—產(chǎn)226,故體積為

V=川4—-dr

JoJo

若利用積分區(qū)域和被積函數(shù)的對稱性，可以計(jì)算第一象限的二重積分，再乘4倍，這時(shí)

rr

積分區(qū)域。={(r,e)[0<^<pO<r<l},所以所求體積為

工]______

V=4「defr^4-r2dr

JoJo

故D正確。

應(yīng)該選擇：D

例3計(jì)算二重積分：

(1),其中。為x=l,x=2,y=2,孫=1所圍成的平面區(qū)域。

(2)Jj/ykdy,其中。為拋物線/=%和直線y=x-2所圍成的平面區(qū)域。

計(jì)算直角坐標(biāo)系的二重積分步驟是：

1)畫出區(qū)域。的草圖，根據(jù)圖形的情況確定積分次序;

2)聯(lián)立方程求交點(diǎn)，按積分的順序確定積分上、下限；

3)代入公式計(jì)算積分值。

解：(1)區(qū)域。如右圖所示。由區(qū)域的形狀，選擇先

積y后積X。

y=_b=2b=2

聯(lián)立方程xd=l'L=2

X=1

解得交點(diǎn)為：(1,1),(g,2),(1,2),(2,2)

區(qū)域。={(x,y)[l<x<2,-<y<2}

于是yexy(kdy==

「21|2r2(2x-l)e2A

=%K?T)吸&=1x2dr

=——=----e

xi2

(2)解法一：化為先對y后對x的累次積分。這時(shí)，區(qū)域的邊界的下部是由兩段不同

的曲線組成，因此用直線x=l將區(qū)域。分為R={(x,y)|一

O?={(x,y)|尤一2WywJ7,lWxW4}兩部分。那么

xydxdy山xyW+j￡xy^dxdy

plp4fiy/x

力網(wǎng)一產(chǎn)dy+]叫

=0+(￡x[x-(x-2)2]ch-=y

解法二：化為先對x后對y的累次積分。這時(shí)?？山y(tǒng)一表示為

O={(x,y)|y2WXWy+2,-\<y<2}

口戶也dy=J：d)]夕+2,1,2

因此/孫的=2y[(y+2)2-y4]dy=

o

顯然，第二種解法較為簡便?？梢?，無論怎樣選擇積分次序，其結(jié)果是相同的，但是選擇的

不同會影響計(jì)算的過程的繁簡，有時(shí)的積分次序選擇的不同可能造成二重積分不能計(jì)算

行列式典型例題解析

(-)填答題：

1、n階行列式中元素%的代數(shù)余子式&與余子式之間的關(guān)系

是,。，按第j列展開的公式是。,,=。

答案：&=(-1產(chǎn)％&=?%&

1=1

132

2、設(shè)行列式口=一102，則D中元素私3=2的代數(shù)余子式人3=

112

答案：2

20-15

3、行列式1320=。

0-400

7000

答案：-280

3、B為四階矩陣，且|A|=|B|=-3。則

答案：9

4、設(shè)三階矩陣A且有|A|=9,則卜2Al=

答案：-72仆

5、設(shè)二階矩陣A=\叫AiE_______

142)

答案：2

4—45)

6、n階矩陣A可逆的充要條件是

答案：|山豐0或r(A)=n

(二)、單選題

-110

12

1、設(shè)~0=°,則n=()

15x-3

A、2B、-2C、3D、-3

答案：C

2、設(shè)A為三階矩陣，且|A|二-4,則卜2Al=()

A、32B、-32C、8D、-8

3、A是階矩陣|2|=2,A*是A的伴隨矩陣，則|2A*|的值是()

A、22B、23C、24D、25

二、計(jì)算題

3261

5201

1、計(jì)算

0100

0043

326-336-3

解：原式===5201501

0100

043

0043

186-3

186

501

-154

1543

-(72+90)=162

x11

2、1x-1

45x-3

x1Ix11

原式===x+1x+10(x+1)010

45x—3-15x—3

===(x+1)===(x+l)[(x—l)(x—3)+1]

-1x-3

===(X+1)(X2-4X+4)=(X+I)(X—2)2

A-l3-3

3、-32+5-3

-66>1-4

A-l3-3

解：原式======—2—AA+20

-66A-4

4+23-3

0A+20

06A-4

4+2—3I2

=====("2)。2_>a+2/a-4)

'02-1Y1

.-.X=(I-Ay'B=-12-120

,01T人5-3>

矩陣典型例題解析

(-)填答題:

1)=

‘321、

642

、963,

25一

37一一

答案：3C

(37)

3、設(shè)A、B為n階方陣，則(A+B)2=A?+2AB+B2成立的充要條件是.

答案：AB=BA

4、當(dāng)K=時(shí)，等式:

’10"1

2-10*0=2成立。

、01<-1>

1

答案：-

B=

-13則AB的第2行第1列元素是

、5-2,

答案：-15

6',5

7、設(shè)二階矩陣A=IOA_1E_______

(42)

答案：2-P

4-45,

8、A、B都是n階可逆矩陣，則(ABY1=

答案：

9、n階矩陣A可逆的充要條件是

答案r(A)=n

10、設(shè)A、B均為二階可逆矩陣，則

I(。A？0、

答案:

11、方陣A滿足條件,稱A為對稱矩陣。

答案：A'=A

‘2-12、

12、矩陣A=402的秩為

、。-3%

答案：2

13、若A是n階可逆矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則r(A*)=

答案：n

(二)、單選題

1、己知A、B,AW0,,則它們的乘積AB()

A、一定不為0B、一定為0

C、一定為正D、也可能為0

答案：D

2、下列矩陣中，可逆矩陣是()

(02、

A、

I。b

三、計(jì)算題

(\101

1、已知A=010求A-1

Ui1J

q10100、’1101001

解:(A-1)=010010—>010010

J11001,、001-10工

'1001-10]‘1-10、

7010010/.A-1=010

k001-10L<-10L

2-1、，01-2]

2、設(shè)A=2438=121求(A+B)T

1-21-340J

’1?r

解：(A-B)=122

J1%

q11100、’111100、

(A-8,-i)=122010T011-110

12001、001

‘1002-10

->01001-1

^001-101

'2-10、

.?.(A-B)T=01-1

「101.

10、‘1-1、

3、已知X=AX+B其中A=-111B=2°求x

6川

、T03,

q-10100、

解：X=(I-A)-'B(7-A7)=10-1010

b

0—200"

‘1-10100、,10-1010、

T01—1-110T010-12-1

、00-10-1"