精算師課程精講講義金融數(shù)學(xué)第2章年

第2章年金【考試要求】2.1標(biāo)準(zhǔn)型年金

期末付年金期初付年金任意時(shí)刻的年金值永續(xù)年金年金的非標(biāo)準(zhǔn)期問(wèn)題年金的未知時(shí)間問(wèn)題年金的未知利率問(wèn)題

2.2一般型年金

變利率年金付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金連續(xù)年金基本變化年金更一般變化年金連續(xù)變化年金精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【要點(diǎn)詳解】§2.1標(biāo)準(zhǔn)型年金

1．期末付年金

（1）年金：是指一系列按照相等時(shí)間間隔支付的款項(xiàng)。（2）期末付年金

①定義：在每個(gè)付款期末付款的年金

②年金現(xiàn)值：每期期末付款額為l，付款期限為n期，每期利率為i的付款在時(shí)間0時(shí)的現(xiàn)值：

③年金終值：每期期末付款額為l，付款期限為n期，每期利率為i的付款在時(shí)間n時(shí)的積累值之和：

（3）常用關(guān)系式：

注意：通常符號(hào)中不必標(biāo)出計(jì)算所依據(jù)的利率，在一個(gè)問(wèn)題中涉及多個(gè)利率時(shí)，為避免引起混淆，可寫(xiě)作：的形式，如等。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.1】甲年金在36年內(nèi)每年底支付4，乙年金在18年內(nèi)每年底支付5，在某一年利率i下兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，則要使某一以i為收益率的投資翻倍，需要的投資年限為（）。[2008年春季真題]A．8B．9C．10D．11E．12

【答案】B

【解析】由題意得：解得：v18=1/4，即(1+i)9=2。設(shè)投資年限為t，由題意得：(1+i)t=2，故t=9。

【例題2.2】年金A在前10年的年末每次支付1，在隨后10年的年末每次支付2，在第三個(gè)10年的年末每次支付1；年金B(yǎng)在第一個(gè)10年的年末每次支付X，在第三個(gè)10年的年末每次支付X，中間的10年沒(méi)有支付。假設(shè)年利率使得本金在10年末翻一倍，且兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，則X的值等于（）。[2008年春季真題]A．1.4B．1.5C．1.6D．1.8E．1.9

【答案】D

【解析】設(shè)年利率為i，則（1+i）10=2，即v10=0.5，v20=0.25，由題意有：解得：X=1.8。

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【例題2.3】在年復(fù)利利率j下，已知：（1）每年末支付2，共2n年的年金的現(xiàn)值及每年末支付1，共n年的年金的現(xiàn)值之和為36；（2）延期n年每年末支付2，共n年的年金的現(xiàn)值為6。則j=（）。A．0.04B．0.05C．0.06D．0.07E．0.08

【答案】D

【解析】根據(jù)題意，有：

由③－②，得：代入②，解得：j=0.07。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．期初付年金

（1）定義：是指在每個(gè)付款期間開(kāi)始時(shí)付款的年金。①期初付年金現(xiàn)值：表示每期期初付款額為1，每期利率為i的n期年金，各現(xiàn)值和：②期初付年金終值：表示每期期初付款額為1，每期利率為i的n期年金在第n期期末的積累值：（2）常用關(guān)系式：

（3）常用關(guān)系式：

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【例題2.4】某人用2000元一次性購(gòu)買(mǎi)了15年確定年金，假定年利率為6%，第一次年金領(lǐng)取從購(gòu)買(mǎi)時(shí)開(kāi)始，計(jì)算每次可以領(lǐng)取的金額為（）元。[2008年春季真題]A．167.45B．177.45C．180.13D．194.27E．204.18

【答案】D

【解析】設(shè)每次領(lǐng)取的金額為P，則有：故P＝2000/10.295=194.27（元）。

【例題2.5】某年金分20年于每月月初支付30元。利息每月轉(zhuǎn)換一次，年名義利率為12%，則該年金現(xiàn)值為（）元。[2008年春季真題]A．2652.52B．2751.84C．2755.42D．2814.27E．2842.33

【答案】B

【解析】月實(shí)際利率為：12%÷12＝0.01。該年金現(xiàn)值為：

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【例題2.6】若則下列表達(dá)式中與等價(jià)的是（）。

【答案】D

【解析】

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3．任意時(shí)刻的年金值

（1）延期年金①定義：指以當(dāng)前時(shí)刻為0時(shí)刻，在0時(shí)刻以后若干時(shí)期后開(kāi)始按期支付的年金。②三種一般的延期年金：a．首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值；b．最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值；c．付款期間某時(shí)刻年金的當(dāng)前值。圖2.1為三種一般的延期年金的范例

圖2.1

付款次數(shù)為5，首次付款發(fā)生在時(shí)刻2，末次付款發(fā)生在時(shí)刻6。則時(shí)刻0時(shí)的年金現(xiàn)值就是延期年金現(xiàn)值，相當(dāng)于a中的情況；時(shí)刻10時(shí)的年金積累值相當(dāng)于ｂ中的情況；時(shí)刻4時(shí)的年金當(dāng)前值相當(dāng)于c中的情況。另外，這5次付款在時(shí)刻l時(shí)的年金現(xiàn)值是一個(gè)5期的期末付款額為l的年金現(xiàn)值即；在時(shí)刻2的年金現(xiàn)值是，在時(shí)刻6的年金積累值為，在時(shí)刻7的年金積累值為。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）在首期付款前某時(shí)刻的年金現(xiàn)值①第m期開(kāi)始支付，每期期末付款1個(gè)單位，共付款n期的年金現(xiàn)值為：②第m期開(kāi)始支付，每期期初付款1個(gè)單位，共付款n期的年金現(xiàn)值為：（3）在最后一期付款后某時(shí)刻的年金積累值①第1期開(kāi)始支付，每期期末付款1個(gè)單位，共付款n期的年金在（m＋n）時(shí)刻的積累值為：②第1期開(kāi)始支付，每期期初付款1個(gè)單位，共付款n期的年金在（m＋n）時(shí)刻的積累值為：（4）付款期間某時(shí)間的年金當(dāng)前值①每期付款1個(gè)單位的n年期期末付年金在m（0＜m＜n）時(shí)刻的當(dāng)前值為：②每期付款1個(gè)單位的n年期期初付年金在m（0＜m＜n）時(shí)刻的當(dāng)前值為：

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【例題2.7】則i=（）。

A．8.09%B．8.29%C．8.49%D．8.69%E．8.89%

【答案】B

【解析】

4．永續(xù)年金

（1）永續(xù)年金：付款次數(shù)沒(méi)有限制，永遠(yuǎn)持續(xù)的年金。（2）永續(xù)年金的現(xiàn)值：①期末付永續(xù)年金的現(xiàn)值：②期初付永續(xù)年金的現(xiàn)值：

注意，永續(xù)年金的最終值不存在，因?yàn)榻o付沒(méi)有終點(diǎn)時(shí)刻，且無(wú)窮的均衡給付導(dǎo)致積累值變?yōu)闊o(wú)窮大。

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【例題2.8】甲、乙、丙、丁四人從一個(gè)等額的永久年金中獲得支付，甲、乙、丙在前n年的年末獲得相等的支付，n年后的支付全歸丁所有，如果四個(gè)人獲得支付的現(xiàn)值相等，則vn等于（）。[2008年春季真題]

A．1/4

B．1/5

C．1/6

D．1/7

E．1/8

【答案】A

【解析】設(shè)年金的支付額為P，則甲、乙、丙的現(xiàn)值為：，丁的現(xiàn)值為：，

【例題2.9】甲、乙、丙三人共同為某學(xué)校設(shè)立總額為10000元的獎(jiǎng)學(xué)基金，該基金以永續(xù)年金的方式每年末支付一次。甲、乙、丙經(jīng)協(xié)商，決定由甲為前8年的支付出資，乙為接下來(lái)的10年的支付出資，余下的支付由丙出資。假設(shè)基金采用的年實(shí)際利率為8%，則乙、丙兩人的出資額之和為（）元。

A．2503

B．2900

C．4597

D．5403

E．4099

【答案】D

【解析】解法①：由題意可知學(xué)校每年可從該基金中取出的用做獎(jiǎng)學(xué)金的金額為：

故乙、丙兩人的出資額之和=2900.20.49=5402.69（元）。解法②：乙、丙兩人的出資額之和即總出資額與甲的出資額之差。故乙、丙兩人的出資額之和=10000－4597.31=5402.69（元）。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

5．年金的非標(biāo)準(zhǔn)期問(wèn)題

假定整個(gè)付款期長(zhǎng)度為n+k，0＜k＜1，前n期各期期末付款額為1，在時(shí)刻n+k時(shí)，有一個(gè)對(duì)應(yīng)于k期間長(zhǎng)度的年金式零頭付款，則這種年金現(xiàn)值：顯然，n+k時(shí)刻的零頭付款額為。

6．年金的未知時(shí)間問(wèn)題

（1）上浮式付款：當(dāng)付款期限不是整數(shù)時(shí)，在最后一次規(guī)則付款的額度上外加一個(gè)根據(jù)等價(jià)計(jì)算出來(lái)的零頭，最后的零頭付款稱為上浮式付款。（2）扣減式付款：當(dāng)付款期限不是整數(shù)時(shí)，在最后一次規(guī)則付款的下一期支付一個(gè)根據(jù)等價(jià)計(jì)算出來(lái)的零頭，最后的零頭付款稱為扣減式付款。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.10】某人購(gòu)房借款50000元，計(jì)劃每年末還款10000元，直到還完。設(shè)利率為7%，借款人還款的整數(shù)次數(shù)為n?，F(xiàn)有以下三種方式償還最后的零頭：

（1）在時(shí)刻n償還；（2）按年金支付規(guī)律，在時(shí)刻n與時(shí)刻n+1之間償還；（3）在時(shí)刻n+1償還。則整數(shù)n以及三種方式最后還款零頭的總額分別為（）元。A．5；3503.61B．5；3591.65C．5；3748.86D．6；10844.12E．6；10932.16

【答案】D

【解析】即前面6次還款額都是整數(shù)，故n=6。設(shè)f1，f2，f3分別為三種方式下最后還款的零頭，則：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）設(shè)n=6+k，其中0<k<1，所以，解得：k=0.367，（3）所以故三種方式還款的零頭總額為：f1+f2+f3=10844.12（元）。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

7．年金的未知利率問(wèn)題

（1）n較小的年金未知利率問(wèn)題直接利用解方程的方法求利率值。（2）n較大的年金未知利率問(wèn)題①線性插值法②迭代法

【例題2.11】對(duì)于利率i，己知?jiǎng)ti=（）。A．4.98%B．5.10%C．5.15%D．5.20%E．5.24%

【答案】E

【解析】從而有：12.8537=8.0336(1+v10)，即v10=0.6，故i＝0.0524。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)§2.2一般型年金

1．變利率年金

（1）各付款期間段的利率不同的情況：各付款期間段的利率不同。如在第一個(gè)付款期利率為i1，第二個(gè)付款期利率為i2，…，這樣：①所有付款的年金現(xiàn)值為：②所有付款的年金積累值為：

【例題2.12】某人在未來(lái)15年中每年年初向銀行存入5000元，前五年的年利率為5.6%，中間五年的年利率下調(diào)為3.7%，后五年由于通貨膨脹影響，年利率上調(diào)至8.9%，則第十五年年未時(shí)，這筆款項(xiàng)的積累額為（）。[2011年春季真題]

A．129509B．129907C．130601D．131037E．131736

【答案】A

【解析】

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（2）各次付款所依據(jù)的利率不同的情況：各次付款所依據(jù)的利率不同。如第一次付款的利率為i1，則一單位期末付款在零時(shí)刻現(xiàn)值為(1+i1)-1，n時(shí)積累值為(1+i1)n-1；第二次付款的利率為i2，則該期末付款在零時(shí)刻現(xiàn)值為(1+i2)-2，在n時(shí)刻積累值為(1+i2)n-2，…，這樣：①所有付款的年金現(xiàn)值為：②所有付款的年金積累值為：

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【例題2.13】小李每年年末存入銀行3000元錢(qián)，共存款8年，前4年的年利率為5%，后4年銀行調(diào)低利率，將年利率降至4%，則第8年末的存款積累值為（）元。

A．12740

B．15127

C．16503

D．27866

E．29752

【答案】D

【解析】前4年存款在第8年末的積累值為：后4年的存款在第8年末的積累值為：故所有存款在第8年末的積累值為：

15126.71.39=27866.10（元）

【例題2.14】小王在10年內(nèi)每年年末向一筆基金存入1000元錢(qián)，前4次存入的基金的年利率為5%，后6次存入的基金的年利率為4%，則第10年末這筆基金的積累值為（）元。

A．11776

B．16633

C．12087

D．12409

E．13632

【答案】D

【解析】前4次存入的基金在第10年末的積累值為：后6次存入的基金在第10年末的積累值為：故第10年末這筆基金的積累值為：

5775.98.98=12408.96（元）精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

2．付款頻率與計(jì)息頻率不同的年金

（1）付款頻率低于計(jì)息頻率的年金設(shè)k為每個(gè)付款期間內(nèi)的計(jì)息頻率，n為整個(gè)付款期的計(jì)息次數(shù)，每個(gè)計(jì)息期利率為i，并假設(shè)n，k為整數(shù)，則付款次數(shù)為n/k，且n/k也為整數(shù)。①期末付年金

?

每次付款額為1的年金現(xiàn)值為：

?

每次付款額為1的年金積累值為：

說(shuō)明：每次的付款額1可以看作是k期每期期末付款額為R的區(qū)間末的年金的積累值，即有：，這樣在n個(gè)計(jì)息期，就有n次額度為R的付款，則所有R形成的年金現(xiàn)值為：；同樣年金累計(jì)值為：。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

②期初付年金

?

每次付款額為1的年金現(xiàn)值為：

?

每次付款額為1的年金積累值為：③其他各種形式的付款頻率小于計(jì)息頻率的情況

?

期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為：

?

期初付永續(xù)年金現(xiàn)值為：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）付款頻率高于計(jì)息頻率的年金設(shè)m是每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的付款次數(shù)，n為計(jì)息期數(shù)，i為每個(gè)計(jì)息期的利率，m、n為正整數(shù)，則總的付款次數(shù)為mn。①期末付年金

?

每次付款額為1/m的年金現(xiàn)值為：

?

每次付款額為1/m的年金積累值為：

?

常用關(guān)系式：

?

n=1時(shí)有：

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②期初付年金

?

每次付款額為1/m的年金現(xiàn)值為：

?

每次付款額為1/m的年金積累值為：

?

常用關(guān)系式：

?

n=1時(shí)有：

?

與及與的關(guān)系：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)③其他各種形式的付款頻率大于計(jì)息頻率的情況

?

期末付永續(xù)年金現(xiàn)值為：

?

期初付永續(xù)年金現(xiàn)值為：

【例2.15】則i=()。A．1.026%B．1.046%C．1.066%D．1.086%E．1.106%

【答案】A

【解析】因?yàn)関16=0.964，又i=v-1－1，故i=1.026%。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.16】某人將收到一項(xiàng)年金支付，該年金一共有5次支付，每次支付100元，每3年支付一次，第一次支付發(fā)生在第10年末，假設(shè)年實(shí)際利率為5%，則該年金的現(xiàn)值為（）元。

A．234B．256C．268D．298E．329

【答案】A【解析】每次支付100元，每3年支付一次，則等價(jià)的年金為每年支付元，則所有的年金在第7年末的價(jià)值為

故該年金的現(xiàn)值為：

【例題2.17】小李從他20歲參加工作開(kāi)始每個(gè)月月末存入100元到一筆基金中，直到60歲退休為止共進(jìn)行了40年480次的存款。假設(shè)該基金的年實(shí)際利率為13%，則小李退休時(shí)這筆基金的累積值為（）元。A．1087768B．1187768C．1287768D．1387768E．1487768

【答案】C【解析】由于i=13%，則：因每年存款12次，每次存款100元，所以每年存款1200元，故小李退休時(shí)這筆基金的累積值為：

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3．連續(xù)年金

（1）定義：連續(xù)年金是付款頻率無(wú)限大的年金。（2）連續(xù)年金現(xiàn)值：（3）連續(xù)年金積累值：

【例題2.18】已知=5，=7，則δ=（）[2011年春季真題]A．0.0238B．0.0286C．0.0333D．0.0476E．0.0571

【答案】E

【解析】由于

于是精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

【例題2.19】一個(gè)10年期的連續(xù)年金，每期支付額為30，年實(shí)際利率為8%，則該年金在第3年末的價(jià)值為（）。A．241B．264C．287D．300E．378

【答案】B【解析】由于i=0.08，則：該年金在第3年末的價(jià)值為：

【例題2.20】則利息強(qiáng)度δ=（）。A．1/36B．1/18C．1/12D．1/8E．1/3

【答案】B

【解析】將前兩式相除，得：即(1+i)2n－4(1+i)n+3=0，解得：(1+i)n=3，或(1+i)n＝1（(1+i)n＞1，舍去）

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4．基本變化年金

（1）各年付款額為等差數(shù)列①一般形式：若某期末付年金首期付款額為P，從第二期開(kāi)始，每期付款額比前一期增加Q，共有n個(gè)付款期，每個(gè)付款期利率為i。若只考慮付款額大于0的年金，須保證P＞0，且P+(n－1)Q＞0。

?

該年金的現(xiàn)值為：

?

該年金的積累值為：②當(dāng)P＝1，Q＝1時(shí)：

?

年金現(xiàn)值為：

?

年金積累值為：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)③當(dāng)P＝1，Q＝－1時(shí)：

?

年金現(xiàn)值為：

?

年金積累值為：④期末付虹式年金與平頂虹式年金

?

對(duì)于各年末的付款額先由1到n遞增，然后再由n－1到1遞減的年金，這種期末付年金的最大付款額n只出現(xiàn)一次時(shí)，稱為期末付虹式年金。期末付虹式年金的現(xiàn)值為：

?

若最大付款額n連續(xù)出現(xiàn)2次，付款額也為n，而后逐年遞減，至2n時(shí)，付款額減為1，這種年金稱為平頂虹式年金。期末付平頂虹式年金的現(xiàn)值為：

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【例題2.21】某期未付年金每月支付一次，首次付款為500元，以后每次付款較前一次增加500元，共支付10年，若實(shí)際年利率為5%，則該年金在10年未累積值為（）[2011年春季真題]

A．4265972B．4272801C．4283263D．4294427E．4303612

【答案】D

【解析】設(shè)月實(shí)際利率為i，則。第10年末，也即第120次支付后，累計(jì)值為：

【例題2.22】有甲乙兩個(gè)永久年金，甲每年末支付15，乙每年末的支付按照1、2、3、…的形式增長(zhǎng)，如果兩個(gè)年金的現(xiàn)值相等，則年利率為（）。[2008年春季真題]A．6.1%B．6.3%C．6.5%D．6.8%E．7.1%

【答案】E

【解析】由題意，得：

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【例題2.23】某永久年金在第一年末支付1，第二年末支付3，第三年末支付5，……，則該年金的現(xiàn)值為（）。[2008年春季真題]【答案】C

【解析】依題意，該年金的現(xiàn)值為：①×v，得：①－②，得：

精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)（2）各年付款額成等比數(shù)列關(guān)系若某期末付年金各項(xiàng)付款額成等比數(shù)列，即各項(xiàng)付款為：1，(1+k)，(1+k)2，…，(1+k)n-1，則該年金現(xiàn)值為：

【例題2.24】每年的年初向某一基金存款，前5年每年存入1000元，以后每年遞增5%，如果10年末的終值為16607元，則基金的年利率為（）。[2008年春季真題]A．6%B．7%C．8%D．9%E．10%

【答案】C

【解析】設(shè)基金的年利率為i，則v=(1+i)-1，又，以第5年初為時(shí)間點(diǎn)，由題意，得：解得：i=8%。精算師考試網(wǎng)官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng)

5．更一般變化年金

（1）付款頻率小于計(jì)息頻率的形式設(shè)某年金共有n=km個(gè)計(jì)息期，每k個(gè)計(jì)息期末付款1次，n個(gè)計(jì)息期共付款m次，每次付款比前一次增加1，則這種年金的現(xiàn)值為：（2）付款頻率大于計(jì)息頻率的等差遞增型年金①每個(gè)計(jì)息期內(nèi)的m次付款保持不變。若m次付款的每次付款額