2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會

2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題

一二三

題號總分

1?56?1011121314

得分

評卷人

復(fù)查人

答題時(shí)注意：

1.用圓珠筆或鋼筆作答；

2.解答書寫時(shí)不要超過裝訂線;

3.草稿紙不上交.

一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.每道小題均給出了代號為A,B,C,D的四個(gè)選項(xiàng)，其中

有且只有一個(gè)選項(xiàng)是對的的.請將對的選項(xiàng)的代號填入題后的括號里,不填、多填或錯填都得。分）

1（甲）.假如實(shí)數(shù)a*,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，那么代數(shù)式

一|a++J（c-a）2+|b+c|可以化簡為（）.

A.2c-a

B.2a-2b

C.-a

D.a

1（乙）.假如。=-2+a,那么1+—1的值為（）.

2+—!—

3+。

A.-418B.夜C.2?D.25/2

2（甲）.假如正比例函數(shù)y=與反比例函數(shù)y=gb#0）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),其中一個(gè)交點(diǎn)

的坐標(biāo)為（-3,-2）,那么另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（).

A.（2,3）?B.（3,-2）C.（-2,3）?D.（3,2）

2（乙）.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，滿足不等式V+y2W2x+2y的整數(shù)點(diǎn)坐標(biāo)（x,），）的個(gè)數(shù)為

）.

A.10oB.9C.72.5

3（甲）.假如a,b為給定的實(shí)數(shù)，且那么1,a+i,2a+b,a+6+l這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)與

中位數(shù)之差的絕對值是（）.

生二。

A.l??B.C.-0D,-

424

3（乙）.如圖,四邊形458中，AC、應(yīng)）是對角線，ZXABC是等邊三角形.ZADC=3O°,

4）=3,或＞=5,則CD的長為（）.

A.3&o?B.4C.2V5D.4.5

4（甲）.小倩和小玲每人都有若干面值為整數(shù)元的人民幣.小倩對小玲說：“你若給我2元，我的

錢數(shù)將是你的“倍”；小玲對小倩說：“你若給我〃元，我的錢數(shù)將是你的2倍”，其中〃為正整數(shù)，則”的

也許值的個(gè)數(shù)是（）.

A.1°eB?20c?3。D.4

4（乙）.假如關(guān)于工的方程“px-q=0Qp,9是正整數(shù)）的正根小于3,那么這樣的方程的個(gè)數(shù)是

（）.

A.5oB.6C.7D.8

5（甲）.一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子的六個(gè)面上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6.擲兩次骰子，設(shè)其朝上的

面上的兩個(gè)數(shù)字之和除以4的余數(shù)分別是0,1,2,3的概率為外,p2,Pi,則為，Pi,p2,P3中最大

的是（）.

A.Po°B.。C.p2o°D.p3

5（乙）.黑板上寫有1,-，…，-L共100個(gè)數(shù)字.每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2個(gè)數(shù)a,b,

23100

然后刪去a,b,并在黑板上寫上數(shù)a+6+而，則通過99次操作后，黑板上剩下的數(shù)是（）.

A.2023B.101?C.100-D.99

二、填空題（共5小題，每小題7分，共35分）

6（甲）.按如圖的程序進(jìn)行操作，規(guī)定:程序運(yùn)營從“輸入一個(gè)值『'到"結(jié)果是否>487?”為一次操

作.假如操作進(jìn)行四次才停止，那么x的取值范圍是.

白一叵一巨一［^3,便

t--------------------1

6（乙）,假如c是正數(shù)，且滿足a+A+c=9,」一+」一+」一=竺，那么

a+bb+cc+a9

，一+上+上的值為_________.

b+cc+aa+b

十7（甲）.如圖，正方形的邊長為2，記，E、尸分別是他、BC的中點(diǎn)，AF與DE、DB，分

別交于點(diǎn)M、N,則4DMN的面積是.

7（乙）.如圖,的半徑為20,A是。O上一點(diǎn)。認(rèn)為04對角線作矩形O8AC,且OC=12.延長BC,

與。。分別交于￡>,E兩點(diǎn)，則CE-必的值等于.

E

R9r20"

8（甲）.假如關(guān)于x的方程Y+履+；二一3%+]=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為％,x2,那么餐的值

為.

8（乙）.設(shè)"為整數(shù)，且1W〃W2（）12.若（〃2-”+3）（/+〃+3）能被5整除，則所有〃的個(gè)數(shù)

為.

9（甲）.2位八年級同學(xué)和機(jī)位九年級同學(xué)一起參與象棋比賽，比賽為單循環(huán)，即所有參賽者彼此

恰好比賽一場.記分規(guī)則是：每場比賽勝者得3分，負(fù)者得0分；平局各得1分.比賽結(jié)束后，所有同學(xué)

的得分總和為130分，并且平局?jǐn)?shù)不超過比賽局?jǐn)?shù)的一半，則機(jī)的值為.

9（乙）.假如正數(shù)x,y,z可以是一個(gè)三角形的三邊長，那么稱（x,y,z）是三角形數(shù).若（a,b,c）

和仕，L“均為三角形數(shù)，且aW/pWc,，則3的取值范圍

\abc）c

是.

10（甲）.如圖，四邊形ABC。內(nèi)接于4?是直徑,AD=DC.分別

延長54,CD,交點(diǎn)、為E.作8FLEC,并與EC的延長線交于點(diǎn)

F.若A￡=AO,3C=6,則b的長為.

10（乙）.已知”是偶數(shù)，且1W〃W1OO.若有唯一的正整數(shù)對（a,6）使得成立，則這樣的

n的個(gè)數(shù)為.

三、解答題（共4題，每題20分，共80分）

11（甲）.已知二次函數(shù)y=V+（機(jī)+3）X+//J+2,當(dāng)一1vx<3時(shí)，恒有y<0;關(guān)于x的方程

f+（m+3）x+m+2=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和小于-2.求〃2的取值范圍.

10

_4

11（乙）.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AO=8,AB^AC,sinZABC=-.

8與y軸交于點(diǎn)E,且S△或E=S△"丁已知通過3，C,E三點(diǎn)的圖象是一條拋物線，求這條拋

物線相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.

12（甲）.如圖,0。的直徑為AB,。01過點(diǎn)O,且與。。內(nèi)切于點(diǎn)B.C為。。上的點(diǎn),OC與OO1交

于點(diǎn)D,月一。￡>>8.點(diǎn)E在OD上，且DC=DE,BE的延長線與00,交于點(diǎn)F，求證:ABOC^ADO.F.

12（乙）.如圖,。。的內(nèi)接四邊形ABC。中,AC,8。是它的對角線，AC的中點(diǎn)/是八鉆。的內(nèi)

心.求證：

⑴O/是△/B￡>的外接圓的切線;

（2）AB+AD^2BD.

13（甲）.已知整數(shù)A滿足:a-萬是素?cái)?shù)，且必是完全平方數(shù).

當(dāng)a,2012時(shí)，求a的最小值.

13（乙）.凸〃邊形中最多有多少個(gè)內(nèi)角等于150。？并說明理由.

14（甲）.求所有正整數(shù)〃，使得存在正整數(shù)不和…，X2012'滿足X＜工2＜…＜工2012，旦

122012

—I-------1---------1-----------=n.

,^2012

14（乙）.將2,3,…，〃（〃22）任意提成兩組，假如總可以在其中一組中找到數(shù)a,b,C（可以相同）

使得〃'=c,求”的最小值.

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2023年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

一、選擇題

1（甲）.C

解:由實(shí)數(shù)〃，b,c在數(shù)軸上的位置可知

b<a<O<c9且網(wǎng)>c,

所以，儲一|。|+J（c-+16+c|=—u+（。+Z?）+（c—。）一（Z?+c）=-a?

1（乙）.B

W：1H----:-=1H------^―:=1-1-----7==]+~7=^=14-\/2-1=>/2.

2+_L2+』2+0-1V2+1

3+a1+V2

2（甲）.D

解：由題設(shè)知2=〃?（—3）,（-3>（-2）=6,所以。=—,0=6.

3

2

y=一龍，

解方程組13得x=—3,卜=3,

67=-2；[y=2.

y=一，

X

所以另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,2）.

注:運(yùn)用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性，可知兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，因此另一個(gè)交點(diǎn)

的坐標(biāo)為（3,2）.

2（乙）.B

解：由題設(shè)Y+y?W2x+2），，得0W（x-l）2+（y-l）2W2.

由于x,y均為整數(shù),所以有

(x-l)2=O,f(x-l)2=O,J(x-l)2=1,J(x-l)2=1,

1(y-1)2=0：1()'-1)2=1；[(y-1)2=0；[(y-1)2=1.

解得

Jx=1>Jx=l,J.r=1>Jx=0,Jx=0,Jx=0?Jx=2,fx=2,Jx=2>

[y=l；[.v=2；[y=0；[y=l；[,v=0；[y=2；[y=1；=0；[y=2.

以上共計(jì)9對(x,y).

3(甲).D

解:由題設(shè)知,l<a+l<a+5+l<2a+A,所以這四個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為

I+(a+1)+(a+6+1)+(2。+h)3+4a+2b

4―4

(a+l)+(a+〃+l)4+4a+2b

中位數(shù)為

2―4，

4+4a+2Z?3+4a+2h_1

于是

44-4,

3(乙).B

解:如圖，認(rèn)為C￡>邊作等邊△口）￡,連接AE.

由于4C=BC,CZ)=CE,

NBCD=ZBCA+ZACD=NDCE+ZACD=ZACE,

所以△BCD會/MCE,BD=AE.

又由于NAOC=30°,所以NAOE=90°.

在RtZ\4￡)E中，AE=5,AD=3,

于是￡>E=〃爐-Ab=4,所以CO=Z)E=4.

4（甲）.D

解：設(shè)小倩所有的錢數(shù)為x元、小玲所有的錢數(shù)為y元,x,y均為非負(fù)整數(shù).由題設(shè)可得

Jx+2=〃（y_2）,

[y+n=2（x-n）f

消去x得（2y-7）〃=y+4,

2〃=(2)-7)+I5=I+』

2y-72y-l

由于士一為正整數(shù)，所以2y-7的值分別為1,3,5,15,所以y的值只能為4,5,6,11.從而w的值分

2y-7

別為8,3,21；x的值分別為14,7,6,7.

4（乙）.C

解:由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知,兩根的乘積為F<0,故方程的根為一正一負(fù).由二次函數(shù)

y=x?-px-g的圖象知，當(dāng)x=3時(shí),y>0,所以3?-3p-q>0,即3P+4<9.由于p,q都是正整數(shù)，所以

0=1,1<夕<5;或p=2,lWqW2,此時(shí)都有△="!+4q>0.于是共有7組（p,q）符合題意.

5（甲）.D

解:擲兩次骰子，其朝上的面上的兩個(gè)數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36個(gè)，其和除以4的余數(shù)分別是

0,1,2,3的有序數(shù)對有9個(gè),8個(gè),9個(gè),10個(gè)，所以為=2,目=芻，p,=2,03=史，因此P3最大.

36363636

5（乙）.C

解：由于。+6+必+1=（。+1）（。+1）,所以每次操作前和操作后，黑板上的每個(gè)數(shù)加1后的乘積不變.

設(shè)通過99次操作后黑板上剩下的數(shù)為x,則

Z=（l+1）加加…g+）

解得x+l=101,x=100.

二、填空題

6（甲）.7<xW19

解:前四次操作的結(jié)果分別為

3x-2,3（3x-2）-2=9x-8,3（9x-8）-2=27x-26,3（27x-26）-2=81x-80

由已知得

J27x-26W487

[81x-80>487

解得7VxW19.

容易驗(yàn)證，當(dāng)7<xW19時(shí)，3x—2W4879x-8W487,故x的取值范圍是

7cxW19.

6（乙）.7

解：由已知可得

abc9-b~c9-c-ci9-a-h

-----1------1-----------1--------1------

b+cc+aa+bb+cc+aa+b

=---9--+---9---+---9-----3c

b+cc+aa+b

=9cx-1-°---3c=7r.

9

7（甲）.8

解：連接。尸，記正方形A3CD的邊長為2a.由題設(shè)易知

WFNs/\DAN,所以

ADANDN=2

2

由此得AN=2NF,所以AN=—AF.

3

在RtZXMF中，由于AB=2o,BF=a,所以

AF=dAB?+BF?=&,

,.AB26

于是cosZBDArr==-----.

AF5

由題設(shè)可知八位出四△&F,所以

ZAME=1800-ZBAF-ZAED=1800-ZBAF-ZAFB=90.

AM=AE-cosZBAF=^-a,

于是

5

MN=AN-AM=-AF-AM=迫0,

315

S^MND_MN_4

S&AFDAF15

又S&AFD=g?（2。）?（2。）=2a2,所以5.機(jī)=2AFO=24?

由于。=岳，所以％MNO=8.

73?

解：如圖，設(shè)DE的中點(diǎn)為M,連接OM,則。0.由于

OB=V202-122=16,所以

OM二四區(qū)16x1248

BC20-M，

64

22

CM=y/0C-0M=—fBM=—

64362R

所以CE-BD=CEM-CM)-(DM-BM)=BM-CM=---=—

555

2

8（甲）.~

解：根據(jù)題意，關(guān)于x的方程有

△=二一4件2-3&+2）20,

由此得（攵一3）2W0.

又（2-3）22。，所以（女一3）一=（）,從而女=3.止匕時(shí)方程為x2+3x+\=0,解得x=w=—1.

8（乙）.1610

解：由于（萬一〃+3）（/+〃+3）=〃4+5/+9=（〃一】）（〃+1）（/+1）+5/+10.

當(dāng)〃被5除余數(shù)是1或4時(shí)，〃一1或〃+1能被5整除，則（/一〃+3）（/+〃+3）能被5整除;

當(dāng)〃被5除余數(shù)是2或3時(shí)，1+1能被5整除，則（/一〃+3）（川+〃+3）能被5整除；

當(dāng)〃被5除余數(shù)是0時(shí)，（/一〃+3）（/+〃+3）不能被5整除.

所以符合題設(shè)規(guī)定的所有”的個(gè)數(shù)為期x8+2=1610.

10

9（甲）.8

解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為“，勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為8,由題設(shè)知

為+勸=130,

由此得0W/?W43.

又.+人=所以2a+2匕=?！?］）（?2+2）.于是

0W8=130-(，*+l)(〃?+2)W43,

87W(m+l)(m+2)W130,

由此得機(jī)=8,或帆=9.

當(dāng)帆=8時(shí),6=40,a=5;當(dāng)機(jī)=9時(shí)，6=20,a=35,a>^-=—,不合題設(shè).

22

故機(jī)=8.

9心

解：由題設(shè)得

a+b>c,

-+—

cba

所以

一+---->—.

cc-aa

整理得

閆一3閆+1＜。，

由二次函數(shù)y=f-3x+l的圖象及其性質(zhì)，得匕叵出叵.

2c2

又由于0W1,所以上避＜@W1.

c2c

10(甲)當(dāng)

解:如圖，連接AC,BD,OD.

由4B是OO的直徑知NBCA=ABDA=90°.

'4E

依題設(shè)NBFC=90°,四邊形ABCD是。0

的內(nèi)接四邊形，所以

ZBCF^ZBAD,

所以RtABC/sRtZjjM),因此曳=絲

CFAD

由于是。O的半徑,A￡)=8,所以8垂直平分AC,OD//BC,

于是器=^=2.因此

DE=2CD=2AD,CE=3AD.

HA3

由AAEDsACEB,知。￡￡C=AEBE.由于AE=—,BE=-BA,

22

所以24。?34￡>=殮?3&4,朋=284。，故

22

6=絲衣=與=述

BA2\122

10（乙）.12

解：由已知有（。-3（4+。）=〃,且〃為偶數(shù),所以。-4Q+b同為偶數(shù)，于是〃是4的倍數(shù).設(shè)〃=4根,

則lWmW25.

（I）若相=1,可得/2=0,與b是正整數(shù)矛盾.

（H）若m至少有兩個(gè)不同的素因數(shù)，則至少有兩個(gè)正整數(shù)對（〃,為滿足包心.色!女=?!；若加恰是

22

一個(gè)素?cái)?shù)的塞，且這個(gè)塞指數(shù)不小于3,則至少有兩個(gè)正整數(shù)對（a,歷滿足巴士.也=〃?.

22

（III）若〃?是素?cái)?shù)，或相恰是一個(gè)素?cái)?shù)的嘉，旦這個(gè)幕指數(shù)為2,則有唯一的正整數(shù)對（a,為滿足

a-ba+b

----------=m.

22

由于有唯一正整數(shù)對（a,6）,所以出的也許值為2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,共有1

2個(gè).

三、解答題

11（甲）.解：由于當(dāng)一lvxv3時(shí)，恒有y<。,所以

△=（TW+3）2—4（m+2）>0,

即（m+1）2>0,所以機(jī)w—l.

........（5分）

當(dāng)x=-l時(shí),yWO;當(dāng)x=3時(shí),yWO,即

（一1）2+（僧+3）（—1）+機(jī)+2W0,

且3"+3(/%+3)++2W0,

解得mW-5.

...............（10分）

設(shè)方程f+（加+3）x+（故+2）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為“％，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得

%=一（"7+3）,x]x2=m+2.

iio

由于—I<-----,所以

X1%210

%1+x2_機(jī)+3<9

XRm+210

解得〃zv-12,或加>一2.

因此tn<—12.

...............（20分）

AnA

11（乙）.解：由于sin/A8C==—,40=8,所以

AB5

AB=\0

由勾股定理，得80=y]AB2-AO2=6.

易知人鉆。絲△ACO,因此CO=3O=6.

于是A（0,-8）,B（6,0）,C（-6,0）.

設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（7%,n）,由%C0E=,得.所以

-BC\n\^-AOBO,

22

gxl2（-〃）=gx8x6,

解得n=-4.

因此。為M的中點(diǎn)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（3,-4）.

...............（10分）

因此CD,AO分別為43,BC的兩條中線，點(diǎn)E為ZVIBC的重心，所以點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,-|

設(shè)通過5,C,E三點(diǎn)的拋物線相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y=a（x-6）（x+6）.將點(diǎn)E的坐標(biāo)代入,

2

解得“

27

故通過B,C,E三點(diǎn)的拋物線相應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為

228

—x——

273

（20分）

12（甲）.證明：連接班），由于03為。q的直徑，所以

NODB=90°.又由于￡）C=￡＞E,所以△C5E是等腰三角形.

設(shè)BC與交于點(diǎn)M,連接,則NOM8=90。.又由于

OC=OB,所以

NBOC=2ZDOM=2ZDBC=2ZDBF=ZDOtF.

（15分）

又由于NBOC,NDO尸分別是等腰△BOC,等腰尸的頂角，所以

WOCs^DO.F.

（20分）

12（乙）.證明：（1）如圖，根據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性

CI=CD.

同理,C1=CB.

故點(diǎn)C是△/%＞的外心.

連接OA,OC,由于/是AC的中點(diǎn)，且。4=OC,

所以O(shè)/_LAC,即O/_LC7.

故。/是△/%＞外接圓的切線.

（10分）

（2）如圖，過點(diǎn)I作/E_LAD于點(diǎn)E,設(shè)OC與BD交于點(diǎn)F.

由8c=8,知OC_L3E>.

由于NCBF=Z7AE,BC=CI=AI,所以

RtABCFgRtAM/￡,

所以3F=AE.

又由于/是入曲的內(nèi)心，所以

AB+AD—BD=2AE=BD.

故=

.......（20分）

13（甲）.解：設(shè)。一。=相（加是素?cái)?shù)），ab=n2（〃是正整數(shù)）.

由于（Q+b）2-=（a-b）2,

所以-4〃2="2,

（2a-m+2n）（^2a-m-In）=nr

.......（5分）

由于2a-m+2〃與2zz-〃2-2n都是正整數(shù)，且2a-m+2n>2a-m-2n{m為素?cái)?shù)），所以

2a-m+2n=m2,2a-tn-2n=\.

（m+1）2m2—1

解得

44

.（加一

于是b—a-m=------

4

.......（10分）

又a22012,即竺亞22012.

4

又由于m是素?cái)?shù)，解得相力89.此時(shí),aN（>+1產(chǎn)=2025.

4

當(dāng)a=2O25時(shí)，機(jī)=89,。=1936,〃=1980.

因此，a的最小值為2025.

.......（20分）

13（乙）.解:假設(shè)凸〃邊形中有上個(gè)內(nèi)角等于150°,則不等于150°的內(nèi)角有〃-％個(gè).

（1）若左=〃，由〃*150°=（〃—2）xl80°,得”=12,正十二邊形的12個(gè)內(nèi)角都等于150°;

........（5分）

（2）若k<n,且〃N13,由“xI50°+（〃-&）*180°>（〃-2）xl80°,可得％<12,即ZW11.

當(dāng)&=11時(shí)，存在凸〃邊形，其中的11個(gè)內(nèi)角等于150°,其余〃-左個(gè)內(nèi)角都等于

,二("2)xl80TM5。。上,。。<”]8。。，350。.

n-11n-11

...............(10分)

(3)若Ac”,且8W〃W11.

當(dāng)々=〃-1時(shí)，設(shè)另一個(gè)角等于a.存在凸“邊形，其中的個(gè)內(nèi)角等于150°,另一個(gè)內(nèi)角

a=(n-2)xl80°-(n-l)xl50o=(n-7)x30o.

由“W11可得a=(〃-7"30°<180°;由“力8可得a=5-7“30°>0°,且0^150°.

...............(15分)

(4)若A<〃，且3W〃W7,由(3)可知ZW"-2.當(dāng)々="-2時(shí)，存在凸"邊形，其中"一2個(gè)內(nèi)

角等于150°,另兩個(gè)內(nèi)角都等于(〃-2)x15°.